Q0 matrisi

Gelen matematik bir -Matris a, gerçek kare matris belirli özellikler veren doğrusal tamamlayıcılık sorunları . Sorun olur olmaz çözümün varlığını sağlayanlar bunlardır. Q0{\ displaystyle \ mathbf {Q_ {0}}}

Tanımlar

Bazı notlar

Bir vektör için gösterim , vektörün tüm bileşenlerinin pozitif olduğu anlamına gelir . v∈Rdeğil{\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}v⩾0{\ displaystyle v \ geqslant 0}vben{\ displaystyle v_ {i}}

Biz ifade pozitif orthant arasında . R+değil: ={x∈Rdeğil:x⩾0}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}: = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x \ geqslant 0 \}}Rdeğil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Bir düzen matrisi ise , görüntüsünü by ile ifade ederiz  ; Bir olan bir çok-yüzlü koni (dolayısıyla kapalı bir tane). AT{\ displaystyle A}değil{\ displaystyle n}AT(R+değil): ={ATx:x⩾0}{\ displaystyle A (\ mathbb {R} _ {+} ^ {n}): = \ {Ax: x \ geqslant 0 \}}R+değil{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}AT{\ displaystyle A}

Tamamlayıcılık sorunu

Kare bir gerçek matris verilen ve bir vektör , bir doğrusal tamamlayıcılık sorun bir vektörün bulunmasında meydana gelmektedir şekilde , ve aşağıdaki şekilde kısaltılmış şekilde yazılır: M∈Rdeğil×değil{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}q∈Rdeğil{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}x∈Rdeğil{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}x⩾0{\ displaystyle x \ geqslant 0}Mx+q⩾0{\ displaystyle Mx + q \ geqslant 0}x⊤(Mx+q)=0{\ displaystyle x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0}

CL(M,q):0⩽x⊥(Mx+q)⩾0.{\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}

Doğrulayan ve sorunu ve seti için kabul edilebilir olduğu söylenen bir noktax{\ displaystyle x}x⩾0{\ displaystyle x \ geqslant 0}Mx+q⩾0{\ displaystyle Mx + q \ geqslant 0}CL(M,q){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q)}

Adm(M,q): ={x∈Rdeğil:x⩾0, Mx+q⩾0}{\ displaystyle {\ mbox {Adm}} (M, q): = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}}

bu sorunun kabul edilebilir kümesi olarak adlandırılır . Sorun olduğu söylenir mümkün olsa . CL(M,q){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q)}Adm(M,q)≠∅{\ displaystyle {\ mbox {Adm}} (M, q) \ neq \ varnothing}

Q0 matrisi

İçin , iki tanıtmak koni arasında aşağıdakilerden M∈Rdeğil×değil{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}Rdeğil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

QR(M): ={q∈Rdeğil:CL⁡(M,q) ulaşılabilir},QS(M): ={q∈Rdeğil:CL⁡(M,q) bir çözümü var}.{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} Q_ {R} (M) &: = & \ {q \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ operatorname {CL} (M, q) ~ { \ mbox {uygulanabilirdir}} \}, \\ Q_ {S} (M) &: = & \ {q \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ operatorname {CL} (M, q) ~ { \ mbox {bir çözümü var}} \}. \ end {dizi}}}

Açıktır ki , mutlaka eşitliğe sahip olmadan ( -matris kavramının girişini motive eden şey budur ). Koni bu çok-yüzlü dışbükey koniler iki toplamı olarak yazıldığı için bir çok-yüzlü konvekstir: QS(M)⊂QR(M){\ displaystyle Q_ {S} (M) \ alt küme Q_ {R} (M)}Q0{\ displaystyle \ mathbf {Q_ {0}}} QR(M){\ displaystyle Q_ {R} (M)}

QR(M)=R+değil-M(R+değil){\ displaystyle Q_ {R} (M) = R _ {+} ^ {n} -M (R _ {+} ^ {n})}.

Aksine, mutlaka dışbükey değildir. Gerçekte, bunu göstermek çok yüzlü dışbükey kozalakları bir birliktir (bakılmaksızın ayrık ancak ve ancak bir sütunda yeterli ): QS(M){\ displaystyle Q_ {S} (M)}QS(M){\ displaystyle Q_ {S} (M)}q{\ displaystyle q}M{\ displaystyle M}

QS(M)=⋃ben⊂{1,...,değil}Kben(R+değil){\ displaystyle Q_ {S} (M) = \ displaystyle \ bigcup _ {I \ alt küme \ {1, \ ldots, n \}} \, K_ {I} (\ mathbb {R} _ {+} ^ {n })},

sütunları tarafından verilen matris neredeKben{\ displaystyle K_ {I}}

(Kben)ben=-Mbenve(Kben)benvs=benbenvs.{\ displaystyle (K_ {I}) ^ {I} = - M ^ {I} \ qquad {\ mbox {et}} \ qquad (K_ {I}) ^ {I ^ {c}} = I ^ {I ^ {c}}.}

Toplamı olan iki koninin içinde bulunduğunu görüyoruz  ; ve alınarak elde edilirler . Bu gözlemler aşağıdaki tanıma götürür. QR(M){\ displaystyle Q_ {R} (M)}QS(M){\ displaystyle Q_ {S} (M)}ben=∅{\ displaystyle I = \ varnothing}ben={1,...,değil}{\ displaystyle I = \ {1, \ ldots, n \}}

Q0-matriks  -  Biz demek matris bir olduğunu -Matris eğer biri aşağıdaki eşdeğer koşullardan biri: M∈Rdeğil×değil{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}Q0{\ displaystyle \ mathbf {Q_ {0}}}

1. Mümkünse sorunun bir çözümü vardır,CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatöradı {CL} (M, q)}
2. QS(M)=QR(M){\ displaystyle Q_ {S} (M) = Q_ {R} (M)},
3. QS(M){\ displaystyle Q_ {S} (M)} dışbükeydir.

Biz göstermek kümesini -matrisleri. Q0{\ displaystyle \ mathbf {Q_ {0}}}Q0{\ displaystyle \ mathbf {Q_ {0}}}

Ekler

Notlar

1. Cottle, Pang ve Venkateswaran'a (1989) göre, koniler Samelson, Thrall ve Wesler (1958) tarafından tanıtılmış ve Murty (1972) tarafından doğrusal tamamlayıcılık problemleri bağlamında incelenmiştir.Kben(R++değil){\ displaystyle K_ {I} (\ mathbb {R} _ {++} ^ {n})}
2. (inç) H. Samelson, RM Thrall, Wesler O. (1958). Öklid n-uzayı için bir bölme teoremi. Amerikan Matematik Derneği Bildirileri , 9, 805–807.
3. (en) KG Murty (1972). Tamamlayıcılık problemine çözüm sayısı ve tamamlayıcılık konilerinin kapsayan özellikleri hakkında. Doğrusal Cebir ve Uygulamaları , 5, 65–108.
4. (inç) RW Cottle, JS Pang, V. Venkateswaran (1989). Yeterli matrisler ve doğrusal tamamlayıcılık problemi. Doğrusal Cebir ve Uygulamaları , 114, 231–249. doi

İlgili Makaleler

• Doğrusal tamamlayıcılık
• P-matrisi

Kaynakça

• (tr) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Doğrusal tamamlayıcılık problemi . Uygulamalı Matematikte Klasikler 60. SIAM, Philadelphia, PA, ABD.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">