Kuadrik
Gelen matematik bir koniğin veya ikinci dereceden bir yüzeye , a, bir yüzey , bir tatmin polinom Kartezyen denklem üç değişken (genel olarak belirtildiği ile derecesi 2 x , y ve z formunun)
ATx2+By2+VSz2+2Dyz+2Exz+2Fxy+Gx+Hy+benz+J=0{\ displaystyle Ax ^ {2} + Yazan ^ {2} + Cz ^ {2} + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy + Gx + Hy + Iz + J = 0}.
Bir in azaltılmış bir denklem ile sınıflandırılır Bu yüzeyler ortonormal çerçeve uyarlanmış Öklid geometrisi ve dokuz dejenere olmayan sınıfları için lineer transformasyon olarak afin geometri . Sonuçları tamamen basitleştiren ve birleştiren projektif geometri çerçevesinde de incelenebilirler .
Onların düzlem bölümler vardır konikler .
Tanım, gerçek sayılardan başka bir katsayı gövdesi üzerinde bile, 2. dereceden bir polinomun iptal yeri (in) olarak nitelendirilen bir hiper yüzey olan afin kuadrik kavramı ile daha yüksek boyutta genelleştirilmiştir .
Sınıflandırma
Ana kuadriklerin sunumu
Dejenere olmayan kuadrikler, indirgenmiş denklemlerinden uygun bir ortonormal çerçeve içinde aşağıda açıklanmıştır.
elipsoid
|
x2-de2+y2b2+z2vs2-1=0{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} - 1 = 0 \,} ,
|
|
Tek yapraklı hiperboloid (H1)
|
x2-de2+y2b2-z2vs2-1=0{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} - 1 = 0 \,} ,
|
|
İki yapraklı hiperboloid (H2)
|
x2-de2+y2b2-z2vs2+1=0{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} + 1 = 0 \,} ,
|
|
Eliptik paraboloid (PE)
|
x2-de2+y2b2=z{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = z \,} ,
|
|
Hiperbolik paraboloid (PH)
|
x2-de2-y2b2=z{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = z \,} ,
|
|
Eliptik
koni |
x2-de2+y2b2-z2vs2=0{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 0 \,} ,
|
|
eliptik bir silindir
|
x2-de2+y2b2-1=0{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - 1 = 0 \,} ,
|
|
hiperbolik silindir
|
x2-de2-y2b2-1=0{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - 1 = 0 \,} ,
|
|
parabolik silindir
|
x2=2py{\ displaystyle \ displaystyle {x ^ {2} = 2py}} .
|
|
Genel sınıflandırma
Yüzey denklemi yazılabilir:
Q(x,y,z)+Gx+Hy+benz+J=0 {\ displaystyle Q (x, y, z) + Gx + Hy + Iz + J = 0 ~}burada Q, anlamına gelir ikinci dereceden bir form
Q(x,y,z)=ATx2+By2+VSz2+2Dyz+2Exz+2Fxy {\ displaystyle Q (x, y, z) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy ~}matris:
MQ=(ATFEFBDEDVS){\ displaystyle M_ {Q} = {\ başlar {pmatrix} A & F & E \\ F & B & D \\ E & D & C \ end {pmatrix}}}bu matris gerçek simetrik olduğu için özdeğerlerinin tümü gerçektir .
İkinci dereceden formun imzası , (p, q) çiftidir ; burada p , Q'nun kesinlikle pozitif özdeğerlerinin sayısı ve q , kesinlikle negatif özdeğerlerin sayısıdır. Sıralaması Q daha sonra p + q . Kuadriğin tanımına göre, Q'nun derecesi sıfır olamaz. İkinci dereceden bir formun imzasının seçilen temele bağlı olmadığı gerçeği, Sylvester'ın eylemsizlik yasası tarafından gösterilmektedir .
Sıra 3'e eşit olduğunda, kuadrik bir simetri merkezini kabul eder.
Sıra
|
İmza
|
Dejenere olmayan kuadrik
|
Kuadrik dejenere
|
3
|
(3.0) veya (0.3)
|
elipsoid
|
∅{\ displaystyle \ varnothing} veya nokta
|
(2,1) veya (1,2)
|
1 veya 2 katmanlı veya konili hiperboloid
|
2
|
(2.0) veya (0.2)
|
eliptik paraboloid veya eliptik silindir
|
∅{\ displaystyle \ varnothing} veya doğru
|
(1.1)
|
hiperbolik paraboloid veya hiperbolik silindir
|
iki planın buluşması
|
1
|
(1.0) veya (0.1)
|
parabolik silindir
|
∅{\ displaystyle \ varnothing} veya iki planın planı veya kombinasyonu
|
Gösteri
Basitleştirmek için, koordinatlar , takip edecek birimdik referans işaretlerinin çeşitli değişikliklerinden sonra her zaman x , y ve z not edilecektir.
İkinci dereceden formunun matris temiz alan değerleri , , , bir dikgen dönüştürme matrisi kullanılarak kösegenlestirilir. Yeni bir ortonormal koordinat sisteminde, yüzeyin denklemi yazılır
α {\ displaystyle \ alpha ~}β {\ displaystyle \ beta ~}γ {\ displaystyle \ gama ~}
αx2+βy2+γz2+px+qy+rz=k {\ displaystyle \ alpha x ^ {2} + \ beta y ^ {2} + \ gamma z ^ {2} + px + qy + rz = k ~}.
Örneğin özdeğerlerden biri sıfır olmadığında , karşılık gelen koordinatı ortalamak mümkündür:
α {\ displaystyle \ alpha ~}
αx2+px=α((x+p2α)2-(p2α)2){\ displaystyle \ alpha x ^ {2} + px = \ alpha ((x + {\ frac {p} {2 \ alpha}}) ^ {2} - ({\ frac {p} {2 \ alpha}} ) ^ {2})}bu, bir çeviri veya referans çerçevesinin kökeni değişikliğinin yapılması anlamına gelir.
- Sıra üçe eşit olduğunda, üç özdeğer sıfır değildir; yeni bir birimdik koordinat sisteminde denklem şöyle olur:
αx2+βy2+γz2=K {\ displaystyle \ alpha x ^ {2} + \ beta y ^ {2} + \ gama z ^ {2} = K ~}.
- imza (3.0) veya (0.3) değerindeyse, üç özdeğer aynı işarete sahiptir. Eğer K sıfırdır, bu bir noktadır; aksi takdirde, K özdeğerlerin işaretine sahipse, aksi takdirde boş kümenin işaretine sahipse bu bir elipsoiddir .
- imza (2,1) veya (1,2) değerindeyse, iki özdeğer aynı işarete sahiptir, burada çoğunluk diyeceğiz; Eğer K sıfır, bir koni; aksi takdirde, K çoğunluk işaretine sahipse tek yapraklı bir hiperboloit ve aksi takdirde iki yapraklı bir hiperboloiddir.
- Sıra ikiye eşit olduğunda, özdeğerlerden biri sıfırdır ve yalnızca bir, örneğin ; yeni bir birimdik koordinat sisteminde denklem şöyle olur:γ {\ displaystyle \ gama ~}
αx2+βy2+rz=K {\ displaystyle \ alpha x ^ {2} + \ beta y ^ {2} + rz = K ~}.
- eğer r sıfır değilse, sıfır olmayan iki özdeğer aynı işarete sahipse eliptik bir paraboloit ve aksi takdirde hiperbolik bir paraboloid elde ederiz, çünkü denklem yazılır:
αx2+βy2=-r(z-Kr{\ displaystyle \ alpha x ^ {2} + \ beta y ^ {2} = - r (z - {\ frac {K} {r}}}).
- Eğer R sıfırdır ve eğer K sıfır, bir sıfır olmayan özdeğerler zıt işaretli ise, iki düzlem birliği ve başka türlü bir düz çizgi halinde;
- Eğer R , sıfır ve bir K sıfır olmayan sıfır olmayan özdeğerler zıt işaretli ise, bir hiperbolik bir silindirdir, ve değilse, eliptik bir silindir zaman K sıfır olmayan özdeğerler işaretinin ve Aksi takdirde boş set.
- Sıra bire eşit olduğunda, yalnızca bir özdeğer sıfırdan farklıdır, örneğin ; yeni bir birimdik koordinat sisteminde denklem şöyle olur:β {\ displaystyle \ beta ~}
βy2+px+qy=K {\ displaystyle \ beta y ^ {2} + px + qy = K ~~},
sonra son bir birimdik koordinat sistemi değişikliğinden sonra
βy2+Px=L {\ displaystyle \ beta y ^ {2} + Px = L ~~}.
Eğer P sıfır ise, bir uçağı olsun L sıfırdır ve iki uçaklarının birliği veya boş seti, olmadığına bağlı L işaretidir ya da değil. Aksi takdirde parabolik bir silindirdir.
β{\ displaystyle \ beta}
Afin geometride sınıflandırma
Projektif geometride sınıflandırma
Her boyutta kuadrik
Daha genel olarak, D boyutundaki bir uzayda, eğer uzayın koordinatları ise , genel kuadrik, cebirsel denklem tarafından tanımlanan bir hiper yüzeydir:
{x1,x2,...,xD}{\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ noktalar, x_ {D} \}}
∑ben,j=1DQben,jxbenxj+∑ben=1DPbenxben+R=0{\ displaystyle \ toplam _ {i, j = 1} ^ {D} Q_ {i, j} x_ {i} x_ {j} + \ toplamı _ {i = 1} ^ {D} P_ {i} x_ { i} + R = 0}belirli bir Q, P ve R seçimi için
Merkezde merkezlenmiş dejenere olmayan bir kuadrik için normalleştirilmiş denklem şu şekildedir:
∑ben=1D±xben2-deben2=1{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {D} \ pm {x_ {i} ^ {2} \ over a_ {i} ^ {2}} = 1}Başvurular
Görüntü modellemede
Bir denklem yüzeyi için Taylor-Young formülü , dörtlü denklem ile yüzeyin yerel bir yaklaşımını sağlar:
z=f(x,y) {\ displaystyle z = f (x, y) ~}
p(x--de)+q(y-b)+12[r(x--de)2+2s(x--de)(y-b)+t(y-b)2]{\ displaystyle p (xa) + q (yb) + {\ frac {1} {2}} [r (xa) ^ {2} + 2s (xa) (yb) + t (yb) ^ {2}] }
sözde Monge notasyonları ile
p=∂f∂x(-de,b),q=∂f∂y(-de,b),r=∂2f∂x2(-de,b),t=∂2f∂y2(-de,b),s=∂2f∂x∂y(-de,b).{\ displaystyle p = {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x}} (a, b), q = {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi y}} (a, b), r = { \ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x ^ {2}}} (a, b), t = {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi y ^ {2}} } (a, b), s = {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x \ kısmi y}} (a, b).}
Bu yerel yaklaşım, ilginç sonuçlar sağladığı görüntü modellemede kullanılır.
Notlar ve referanslar
-
André Warusfel , "Quadriques" , matematik, cebir, analiz, geometri , Encyclopædia Universalis ve Albin Michel sözlüğünde ,1997.
-
Ne boş ne de bir noktaya indirgenmiş, bir doğru, bir düzlem veya iki düzlemin birleşimi.
-
Sylvie Philipp, Yapısal doku modellemesi. Birincil tahıl Ekstraksiyon ve yerleştirme kural içinde Onikinci colloque Gretsi , Juan-les-Pins, 1988, Oku Online , s. 590 .
-
Alaa Mustafa, Kesikli eğriliklerin çalışılmasına katkı ve uygulamaları , 2008 [Tez].
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">