Ortonormal taban
Olarak vektör geometri , bir ortonormal olarak veya ortonormal olarak ( BON a) Öklid veya Hermitesel alan a, baz bu vektör uzayı oluşan vektörler arasında norm 1 ve ortogonal ikişer ikişer. Böyle bir temelde, uzaydaki herhangi bir vektörün koordinatları , temel vektörlerin her biri tarafından o vektörün ilgili nokta ürünlerine eşittir ve herhangi iki vektörün iç çarpımı, koordinatlarının bir fonksiyonu olarak kanonik bir ifadeye sahiptir .
Tanımlar
Bir prehilbertian uzayında E'de (yani skaler bir çarpımla sağlanan bir gerçek veya karmaşık vektör uzayında ), bir vektör ailesinin ( v i ) i ∈ I , bu vektörler çiftler halinde ortogonal ise ortogonal olduğu söylenir :
∀ben,j∈ben(ben≠j⇒vben⊥vj).{\ displaystyle \ forall i, j \ in I \ quad \ left (i \ neq j \ Rightarrow v_ {i} \ perp v_ {j} \ sağ).}
Böyle bir ailenin, tüm bu vektörler üniter olması halinde ortonormal olduğu söylenir :
∀ben∈ben‖vben‖=1.{\ displaystyle \ forall i \ in I \ quad \ | v_ {i} \ | = 1.}
Özetle, bir aile ( v ı ) ı ∈ I eğer ortogonal olan ∀ i , j ∈ I ⟨ v ı , v j ⟩ = δ i , j .
Sıfır olmayan vektörlerden oluşan herhangi bir ortogonal aile serbesttir .
Bir birimdik aile bu nedenle ücretsizdir. Bu denir ortonormal ait E daha ise jeneratör ait E bu temel ise, yani e .
Prehilbert uzay Eğer E ise Öklit veya Hermitsel Çünkü eğer demek ki, sonlu boyutlu ancak ve ancak o içeriyorsa, bir ortonormal aile üs n nerede, vektörler n olan boyut ve E .
Makalenin geri kalanında E n , n boyutunda bir Öklid uzayını belirtir .
Ortonormal (veya ortonormal) yer işareti
Let A burada n bir benzeşik Öklid uzay Öklid vektör uzayı ilişkili E , n ve O olabilir ve herhangi bir noktada , A , n , o, bir afin koordinat sistemi
R=( Ö,e→1,e→2,...,e→değil){\ displaystyle {\ mathcal {R}} = (\ O, {\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, ..., {\ vec {e}} _{değil})}![{\ mathcal R} = (\ O, {\ vec e} _ {1}, {\ vec e} _ {2}, ..., {\ vec e} _ {n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2d98ab9dc0d8197c84423ca41b5a23c1fbedd4)
ilişkili tabanı kendisi birimdik ise birimdik olduğu söylenir .
B=(e→1,e→2,...,e→değil){\ displaystyle {\ mathcal {B}} = ({\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, ..., {\ vec {e}} _ {n })}![{\ mathcal B} = ({\ vec e} _ {1}, {\ vec e} _ {2}, ..., {\ vec e} _ {n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e144bebb99064f607e35e7c80fd996f1b071c0f)
Uzayda geometride
Gelen uzayda geometri , baz genellikle not edilir yerine .
(ben→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}
(e1→,e2→,e3→){\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}})}![({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d28a432397a969f8b2fb95d630faa69c439581)
Baz ise , doğrudan , daha sonra bir çapraz ürün içinde ve (olup, ).
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
ben→{\ displaystyle {\ vec {i}}}
j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}
k→=ben→∧j→{\ displaystyle {\ vec {k}} = {\ vec {i}} \ kama {\ vec {j}}}![{\ vec {k}} = {\ vec {i}} \ kama {\ vec {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa63dfb0ac5d37e5cc2b5c40c73bba4c32f991d)
Özellikleri
Ortonormal bazların varlığı
Öklid uzayın herhangi bir temelinden, Gram-Schmidt yöntemi bu uzayın ortonormal bir temelini elde etmek için yapıcı bir yöntem sağlar. Özellikle şunu söyleyebiliriz:
Sıfır boyutlu olmayan herhangi bir Öklid uzayında birimdik tabanlar vardır.
Bu sonucu , E n'nin ortonormal bir p vektörleri ailesi tarafından üretilen uzayın ortogonaline uygulayarak , tamamlanmamış ortonormal taban teoremini oluşturuyoruz:
Bir Öklid uzayının herhangi bir ortonormal vektör ailesi, bu uzayın birimdik temelinde tamamlanabilir.
Ortonormal tabanların varlığı, bir vektör uzayının sağlanabileceği Öklid yapılarının sonsuzluğunun - farklı ortogonalite kavramlarıyla - bunların arasında izomorfik olduğunu tespit etmeyi mümkün kılar .
Ortonormal bazda hesaplamalar
Izin vermek E n'nin birimdik bir temeli olsun .
B=(e→1,e→2,...,e→değil){\ displaystyle {\ mathcal {B}} = ({\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, ..., {\ vec {e}} _ {n })}![{\ mathcal B} = ({\ vec e} _ {1}, {\ vec e} _ {2}, ..., {\ vec e} _ {n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e144bebb99064f607e35e7c80fd996f1b071c0f)
Bu temelde bir E n vektörünün ayrışması şu şekilde verilir:
∀x→∈Edeğil,x→=∑ben=1değil(e→ben⋅x→)e→ben{\ displaystyle \ forall {\ vec {x}} \ in E_ {n}, {\ vec {x}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} ({\ vec {e}} _ {i } \ cdot {\ vec {x}}) {\ vec {e}} _ {i}}
.
E n'nin iki vektörünün skaler çarpımının ifadesi şu şekilde verilir:
∀x→,y→∈Edeğil,(x→⋅y→)=∑ben=1değil(e→ben⋅x→)(e→ben⋅y→){\ displaystyle \ forall {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ in E_ {n}, ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}}) = \ sum _ { i = 1} ^ {n} ({\ vec {e}} _ {i} \ cdot {\ vec {x}}) ({\ vec {e}} _ {i} \ cdot {\ vec {y} })}
.
Dolayısıyla , E n'nin bir vektörünün normunun karesinin ifadesi şu şekildedir:
∀x→∈Edeğil,‖x→‖2=∑ben=1değil(e→ben⋅x→)2{\ displaystyle \ forall {\ vec {x}} \ içinde E_ {n}, \ | {\ vec {x}} \ | ^ {2} = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} ({\ vec {e}} _ {i} \ cdot {\ vec {x}}) ^ {2}}
.
Bu üç özellik aslında birbirine eşdeğerdir ve ailenin E n'nin ortonormal bir temeli olduğu gerçeğine eşdeğerdir .
B=(e→1,e→2,...,e→değil){\ displaystyle {\ mathcal {B}} = ({\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, ..., {\ vec {e}} _ {n })}![{\ mathcal B} = ({\ vec e} _ {1}, {\ vec e} _ {2}, ..., {\ vec e} _ {n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e144bebb99064f607e35e7c80fd996f1b071c0f)
- Eğer U , bir olan Endomorfizma arasında e n , baz onun matris B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}
olup:M=[(e→ben⋅sen(e→j))]1≤ben,j≤değil.{\ displaystyle M = [({\ vec {e}} _ {i} \ cdot u ({\ vec {e}} _ {j}))] _ {1 \ leq i, j \ leq n}.}
Bu, simetrik endomorfizmleri veya ortogonal otomorfizmleri matrisleri ile ortonormal bir temelde karakterize etmeyi mümkün kılar : sırasıyla simetrik ve ortogonaldirler .
- Eğer D , n , bir prehilbertian alan bir vektör alt uzay olan E , dik izdüşüm ile E n bir vektör bir E ifade vardırp(x→){\ displaystyle p ({\ vec {x}})}
x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}
p(x→)=∑ben=1değil(e→ben⋅x→)e→ben.{\ displaystyle p ({\ vec {x}}) = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} ({\ vec {e}} _ {i} \ cdot {\ vec {x}}) {\ vec {e}} _ {i}.}
Ortogonal bir projektörün 1- Lipschitzian karakteri , ondan sonsuz bir ortonormal aileye bir genelleme içeren Bessel eşitsizliğini çıkarmayı mümkün kılar .
Ortonormal temeli değiştirme
Bir birimdik taban ve herhangi bir E n ailesi ise , o zaman
B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}![{\ mathcal C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}![{\ mathcal C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
ortonormal baz, ancak ve ancak, eğer
ailesinin matris bazındaVS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}![{\ mathcal B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13)
ortogonaldir.
Ortonormal bir temeli ortonormal bir temele dönüştüren endomorfizmler bu nedenle ortogonal otomorfizmlerdir .
Notlar ve referanslar
-
Gérard Debeaumarché, Francis Dorra ve Max Hochart, Matematik PSI-PSI *: Testler, alıştırmalar ve düzeltilmiş problemlerle kursu tamamlayın , Pearson , coll. "Cap Prépa",2010( çevrimiçi okuyun ) , s. 113-114.
-
Steeve Sarfati ve Matthias Fegyvères, Matematik: yöntemler, teknik bilgi ve ipuçları , Bréal , coll. "Optimal matematik",1997( çevrimiçi okuyun ) , s. 129-130, gerçek bir prehilbertian uzayın sınırlı bir ailesi için .
-
Jean Dieudonné , "Gruplar: Cebir, analiz, geometri" , Matematik , Cebir, analiz, geometri sözlüğünde , Albin Michel & Encyclopædia Universalis ,2002, 924 s. ( ISBN 2-226-09423-7 ) , s. 534.
İlgili Makaleler