Hermit uzay

Gelen matematik bir Hermitsel alan a, vektör uzayı ile değişmeli alan arasında kompleksleri arasında sınırlı boyut ve sahip Hermitesel nokta ürün . Geometri , böyle bir alanı tarif edilene benzer bir Öklid alanı . Her iki yapı için birçok özellik ortaktır.

Böylelikle Cauchy-Schwarz eşitsizliği ve üçgen eşitsizlik gibi karakteristik işaretlemeler her zaman geçerlidir, birimdik olduğu söylenen belirli bazların varlığı garanti edilir ve uzay ile ikilisi arasındaki kanonik ilişki ile aynı niteliktedir. Öklid konfigürasyonununki.

Cebirsel kapalı karakter yatan vücudun yapar köşegenleştirmeyi ait Endomorfizmaların uyumlu daha genel skaler ürün ile. Burada uyumlu terim anlamı , normal söylemek olduğunu, gidip gelmek onun ile yardımcı madde .

Son olarak, n boyutuna sahip bir Hermitçi uzay da 2 n boyutuna sahip bir Öklid uzayıdır , dolayısıyla topolojik özellikler tamamen aynıdır.

Bu yapı, adını Fransız matematikçi Charles Hermite'e ( 1822 - 1901 ) borçludur .

Tanım ve ilk özellikler

Tanımlar

Amaç, Öklid uzay yapısını, cebirsel olarak kapalı bir alan olma avantajını sunan karmaşık sayılara genellemektir. Öte yandan, artık cismin işlemleriyle uyumlu bir düzen ilişkisi yoktur ve bir kompleksin karesi bazen negatiftir. Bu zorluğun üstesinden gelmek için, skaler çarpım artık çift doğrusal bir form değil, Hermitian bir formdur.

Bir Hermitesel bir şekilde a, eşleme <⋅, ⋅> dan D x E ℂ öyle ki:

tüm x in D , φ harita X ve E ℂ içinde φ tarafından tanımlanan X ( y ) = < y , x >, a, doğrusal bir şekilde ve
tüm x ve y de E , (burada temsil konjugasyon ). $\ langle x, y \ rangle = \ overline {\ langle y, x \ rangle}$ ${\ bar {\ cdot}}$

Özel olarak, < x , x > olan gerçek ve a, ikinci dereceden bir şekilde ilgili E ℝ vektör alanı olarak görülmektedir. $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Ayrıca, bu tanıma sahip bir Hermit formunun sağda sesquilinear olduğuna dikkat edin .

Bu da aşağıdaki tanımlara yol açar:

Tanım - Bir ürünü nokta karmaşık bir vektör alanı üzerinde Hermitesel şeklidir <⋅, ⋅> gerçek kuadratik formu öyle ki olduğunu kesin pozitif . $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Bu koşullar altında , 〈⋅, ⋅ 〉'nin gerçek kısmı , kısıtlama ile elde edilen gerçek vektör uzay yapısı için bir Öklid skaler çarpımıdır ve hayali kısım , alternatif bir çift doğrusal dejenere olmayan form , diğer bir deyişle semplektik bir formdur . ${\ mathfrak {Re}} \ left (\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ right)$

Hermitesel çarpım terimi , karmaşık bir vektör uzayı üzerindeki iç çarpım ile eş anlamlıdır.

Tanım - Bir Hermitik alanı kompleks vektör sonlu boyutlu alanı ve bir nokta ürün ile temin edilmiştir.

Bir vektör için haritalama x ortakları karekök dot ürünün x kendisi tarafından, bir olan norm denilen Hermitesel norm ; ilgili mesafe iki vektör ile fark norm ilişkilendirir, adı Hermitik mesafe .

Makalenin geri kalanında E , sonlu boyutlu karmaşık bir vektör uzayını, ℂ karmaşık sayıların gövdesini, 〈⋅, ⋅〉E üzerinde bir skaler çarpımı , ilk değişkene göre doğrusal ve per'e göre yarı doğrusal olarak seçildiğini belirtir. ikinci. Norm not edilir ║ ∙ ║.

Örnekler

X = ( x 1 ,…, x n ) ve y = ( y 1 ,…, y n ) için tanımlanan kanonik skaler çarpım ve ilişkili norm ile donatılmış ℂ n vektör uzayı , $\ langle x, y \ rangle = x_ {1} \ overline {y_ {1}} + x_ {2} \ overline {y_ {2}} + \ ldots + x_ {n} \ overline {y_ {n}} = \ toplam _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} \ overline {y_ {i}} {\ text {et}} \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}},$ n boyutunun kanonik Hermitesel uzayı denen bir Hermitesel uzaydır .
ℂ ( n 2 ) ile tanımlanan, n dereceli kare matrislerin M n (ℂ) vektör uzayında , kanonik skaler çarpım bu nedenle yeniden yazılır: $\ langle A, B \ rangle = \ sum _ {{i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}}} A _ {{ij}} \ overline {B _ {{ij}}} = { \ mathrm {tr}} (AB ^ {*})$ burada $: tr$ belirtmektedir iz ve B * belirtmektedir yardımcı (veya transconjugate) matrisi içinde B (demek ki devrik katsayıları matrisinin konjugatları katsayıları B ). İlişkili norm, " Frobenius normu " olarak adlandırılır .
N'den küçük veya n'ye eşit derecede karmaşık polinomların vektör uzayı ,
- skaler ürün ile sağlanır $\ left \ langle \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} X ^ {i}, \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} b_ {i} X ^ {i} \ right \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} \ overline {b_ {i}}$ n + 1 boyutunun kanonik Hermit uzayına önemsiz bir şekilde eşbiçimli olan bir Hermitesel uzaydır .
- farklı bir skaler ürünle: $\ langle P, Q \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} P (t) \ overline {Q (t)} \ {{\ rm {d}}} t$ aynı zamanda bir Hermit alanıdır. Bu skaler çarpım,
n'den küçük veya eşit derecede polinom fonksiyonlarının (polinomlar olarak tanımlanmış) alt uzayıyla sınırlandırılmış Hilbert uzayı $L 2 ([0, 1])$ (sonsuz boyutlu) ' $nin$ ürünüdür .
skaler ürün ile sağlanır (önceki ikisinden farklı): $\ langle P, Q \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} P (x_ {i}) \ overline {Q (x_ {i})}$ (burada x 0 ,…, x n , n + 1 ayrı komplekslerdir), P ↦ ( P ( x 0 ),…, P ( x n )) haritası ile, n + 1 boyutunun kanonik Hermitian uzayına izomorfiktir .

Eşitsizlikler ve Kimlikler

Aşağıdaki özellikler, herhangi bir karmaşık prehilbertian uzayda doğrulanır , boyutun zorunlu olarak sonlu olması gerekmez. Bazıları, 〈⋅, ⋅〉 ile aynı normlara sahip olan gerçek $nokta$ çarpımı $Re'nin$ (〈⋅, ⋅〉) özelliklerinin sadece bir tekrarıdır .

Gerçek durumda olduğu gibi, iki klasik ek ücret her zaman doğrulanır. Eğer x ve y , E'nin iki vektörünü gösteriyorsa :

Cauchy-Schwartz : ; $| \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |$
üçgen eşitsizliği : bir tanımı üçüncü aksiyomu bu ikinci gösterir standart , bahsedilen subadditivity kontrol edilir. Diğer ikisi (ayrılık ve homojenlik) açıkça böyledir. $\ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.$
Bir toplamın normunun karesinin gelişimi, $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 {{\ rm {Re}}} \ left (\ langle x, y \ rangle \ sağ),$ Bize kurmak için izin verir Pisagor teoremini : eğer x ve y olan dik , sonra bir skaler ürünü burada olabilir çünkü Öklid durumdan farklı olarak, tersi, artık doğru sıfır olmayan hayali saf . $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2}.$
İki vektörler gösterileri toplamının normun karenin geliştirme paralelkenar kuralı , bir nokta üründen kaynaklanan normları karakterize : $\ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2},$
kutupsal kimliğin yanı sıra: $\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ langle x, y \ rangle +2 \ langle y, x \ rangle.$
Polarizasyon kimliği (a için formüle doğru sesquilinear formu daha hassas), skaler ürün tamamen norm ile belirlenir olduğunu göstermektedir: $\ langle x, y \ rangle = {\ frac 14} \ sum _ {{k = 0}} ^ {3} {{\ rm {i}}} ^ {k} \ | x + {{\ rm {i }}} ^ {k} y \ | ^ {2}.$

Özellikleri

Ortonormal taban

Durum, bir Öklid uzayı ile tamamen aynıdır:

herhangi bir ortonormal aile ücretsizdir ;
Eğer D boyutunun Hermitesel alanıdır , n ve B bir ortonormal baz E daha sonra, bütün vektörler için u ve v ve E , koordinatlar x ve y de B , skaler ürün < u , v > Skalar çarpımın eşittir < x , y〉boyutunun kanonik Hermit uzayında n . Diğer bir deyişle, doğrusal bijection gelen E ℂ içine n herhangi bir vektör ile olan ilişkilendirdiğinden koordinat B böylece bakımdan iki sayısal ürün ve Hermitsel boşlukların bir izomorfizm oluşturur;
kanıtı Bessel eşitsizliği (gösterir eğer f I ) 'nın bir ortonormal baz olan vektör alt uzay F arasında E , herhangi bir vektör X ve E , bir kabul ortogonal projeksiyonu ile F koordinatlar ( f i adı verilen Fourier katsayıları) vardır 〈X , f ben〉 ve doğrula $\ toplam | \ langle x, f_ {i} \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} ~;$
biz anlamak Gram-Schmidt algoritması bir ortonormal baz varlığını garanti eder.

İkili, yardımcı ve tensör ürün

Bu makalede, Hermit formunun Hermit simetrisi ile doğru seskilineer form olduğunu hatırlayın.

Konfigürasyon yine Öklid uzaylarınınkine benzer. Nokta çarpım, ikili E * ' sinde E'nin kanonik bir haritasını φ sağlar :

{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ varphi _ {x}: E \ rightarrow \ mathbb {C} \ quad y \ mapsto \ varphi _ {x} (y) = \ langle y, x \ rangle .}

Burada sıra, Öklid uzayı makalesinde seçilen konvansiyona kıyasla tersine çevrilmiştir. Aslında, φ x , aksi takdirde yarı doğrusal olurdu ve kendi antidualinde (yarı doğrusal formların vektör uzayında) E'nin doğrusal bir eşlemesini elde ederiz .

Seçilen sırayla, E'den ikili E * ' ye yarı doğrusal bir bijeksiyonumuz var . Ne zaman D * ile donatılmıştır çift norm , bu bijection daha olduğunu izometrisi (e göre Cauchy-Schwarz eşitsizliği bir skaler ürün ile ilişkili söylemek için bu norm Hermitsel kanıtlıyor,): <φ ile tanımlanan bir ( x ), φ ( y )〉 = 〈y , x〉.

Sağdaki sesquilinear formlardan L 3/2 ( E ) uzayındaki E uzayındaki L ( E ) endomorfizmlerinden φ iki bijections ψ 1 ve ψ 2'den çıkarsıyoruz:

\ forall a \ {{\ rm {L}}} (E) ~ \ forall x, y \ in E \ quad \ psi _ {1} (a) (x, y) = \ langle a (x), y \ rangle {\ text {ve}} \ psi _ {2} (a) (x, y) = \ langle x, a (y) \ rangle.

ψ 1 doğrusaldır ve ψ 2 yarı doğrusaldır, dolayısıyla bileşik bijeksiyon ψ 2 −1 ∘ψ 1 yarı doğrusaldır. Bir endomorfizm a için , ek olarak adlandırılan ve aşağıdaki eşitlikle tanımlanan endomorfizmi a * ilişkilendirir :

\ forall x, y \ in E \ quad \ langle a (x), y \ rangle = \ langle x, a ^ {*} (y) \ rangle.

Endomorfizmlerin yardımcılarına eşittir (karşıt olarak) Hermitianlar veya kendileriyle ilişkili olduğu söylenir (sırasıyla Antihermitians veya anti-self-Associates).

Yarı doğrusal harita - dolayısıyla ℝ-lineer - L ( E ) → L ( E ), a ↦ a * sadece önyargılı (yarı izomorfizm) değil, kapsayıcıdır (( a *) * = a ). Bir vector-vektör uzayı olarak kabul edilen L ( E ) 'de, bu nedenle, Hermitian endomorfizmlerinin ℝ-alt uzayına göre simetridir , ek antihermisyanlara göre.

Bir tensör ürünü , özellikle L ( E ) ≃ E * ⊗ E üzerindeki Hermitian skaler çarpımı , Öklid durumuna benzer şekilde tanımlanır. Elde ederiz

\ langle a, b \ rangle = {\ mathrm {Tr}} (a \ circ b ^ {*}).

Yarı doğrusal simetri a ↦ a * ilişkili normu ve dolayısıyla ilişkili Öklid skaler ürünü $Re$ (〈⋅, ⋅〉) (bkz. § “Tanımlar” ) korur .

Örnekler

Elimizde ( $i$ a ) * = - $i$ ( a *) var. Eğer bir Hermitsel olduğunu $ben$ bir antihermitian olduğunu.
Eğer bir matrisi olan bir ilave maddenin olduğu, ortonormal tabana göre ilave matris bir *.
Endomorfizmler matrisler tarafından sabit bir ortonormal bazda temsil edildiğinde , böylece M n (it) üzerinde kanonik Hermitesel çarpımı buluruz .

Öklid uzayı, Hermit uzayı

Let E olmak Hermitesel alanı. Skalerlerin (en) sınırlandırılmasıyla çıkarılan gerçek vektör uzayı E ℝ doğal olarak bir Öklid skaler çarpımı 〈⋅, ⋅〉ℝ = $Re$ (〈⋅, ⋅〉) ile donatılmıştır. Eğer B = ( E 1 , ..., e n ) bir taban olup , E ve eğer $i$ temsil eder hayali birimi , daha sonra oda ℝ = ( e 1 , ..., e n , $ı$ e 1 , ..., $I$ e n ) a, temeli D ℝ nedenle boyutu 2 olduğu, n . Dahası, eğer B〈⋅, ⋅ or için ortonormal ise , o zaman B〈〈⋅, ⋅〉ℝ için ortonormaldir .
Bunun aksine, izin F olması boyuta bir Öklid alan n , o sokmak mümkündür F boyutlu bir Hermitesel boşlukta N : complexified F ℂ : = ℂ⊗ F arasında F ile elde edilen Hermitesel Skalar çarpımın sahip, tensorizing bu ℂ bölgesinin F'nin Öklid skaler çarpımı ile : ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ in F _ {\ mathbb {C}} \ quad \ langle \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ rangle _ {F _ {\ mathbb {C}}} = \ lambda {\ overline {\ mu}} \ langle x, y \ rangle _ {F}.}$ Eğer ( f 1 , ..., f n ), F'nin bir ortonormal temeli ise (1⊗ f 1 ,…, 1⊗ f n ), F ℂ'nin bir ortonormal tabanıdır . F i ve 1⊗ f i vektörlerini tanımlamak yaygındır .

Bu iki yapı, zorunlu olarak sonlu olmak zorunda olmayan boyutların prehilbertian uzayları çerçevesine uzanır .

Notlar

İki kural (sol ve sağ) bir arada bulunur. Bu makale doğru kuralı alır; Karmaşık seskilineer form ve Kutuplaşmanın kimliği makaleleri sol tarafa kayar .
Burada ifşa edilen yöntem, genellikle bir çalışmanın yazarı resmi olarak titiz olmak istediğinde kullanılır. Fiziğe yönelik bir biçimlendirme, C. Semay ve B. Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, application à la physique , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 ) 'te verilmiştir .

Ayrıca görün

Dış bağlantılar

Montreal Üniversitesi'nden Véronique Hussin ve Alina Stancu tarafından ℂ n üzerinden iç çarpım , Gram-Schmidt yöntemi, Hermit matrisleri, üniter ve köşegenleştirme
Hermitian uzaylar , C. Antonini ve ark. , 2001, les-mathematiques.net'te

Kaynakça

Serge Lang , Algebra [ sürümlerin detayı ]