Lie cebir gösterimi

Bu makalede ise anahat ilişkin cebir .

İlgili projelerin tavsiyelerine göre bilginizi geliştirerek ( nasıl ? ) paylaşabilirsiniz .

Gelen matematik bir temsilidir Lie cebir bir cebri olarak bu cebir yazma bir yöntemdir matrisler ya da genel olarak daha fazla Endomorfizmlerin a vektör alanı ile, Lie tarafından verilen komütatör .

yalan cebirleri

Let K olmak bir değişmeli alan 2. karakteristik farklı olan Lie cebir ilgili K a, vektör uzayı , iki doğrusal harita ile donatılmış bir bölgesi olan biri aşağıdaki özellikleri: g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}(x,y)↦[x,y]{\ displaystyle (x, y) \ mapto [x, y]}g×g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ kere {\ mathfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}

1. ∀x∈g, [x,x]=0{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0} ;
2. ∀x,y,z∈g, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.{\ displaystyle \ forall x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.}

Poz vererek herhangi bir vektör uzayına bir Lie cebiri yapısı kazandırılabilir . Lie parantezinin aynı şekilde sıfır olduğu böyle bir Lie cebirine değişmeli denir . Aşağıdakiler için temel olan başka bir örnek aşağıdaki gibidir. V , K üzerinde bir vektör uzayı olsun . Vektör uzayı sonu (V) ait Endomorfizma arasında V ayarı ile, bir Lie cebir yapı ile temin edilebilir: . Bu şekilde elde edilen Lie cebirini de belirtiyoruz . Tüm V sonlu boyut N , matrislerin tanımlar boyutu katsayılı K . Daha sonra not edilir .V{\ görüntü stili V}∀x,y∈V, [x,y]=0{\ görüntü stili \ için tüm x, y \ V'de, \ [x, y] = 0}[sen,v]=sen∘v-v∘sen{\ displaystyle [u, v] = u \ circ vv \ circ u}gben(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}gben(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}değil×değil{\ displaystyle n \ kez n}gben(değil,K){\ görüntü stili {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

Bir alt-Lie cebir ait bir vektör alt uzay olan bir deyişle bu şekilde kararlı Lie, . g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}∀x,y∈h, [x,y]∈h{\ displaystyle \ forall x, y \ {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ {\ mathfrak {h}}}

Örnekler

• Eğer bir abeliyan Lie cebir sonra herhangi vektör alt uzay otomatik Lie alt cebiri olduğunu.g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}
• Bir alt uzay eğitimli Traceless matrisleri bir alt Lie cebir çünkü bütün matrisler için A ve B . Bu alt cebir not edilir .gben(değil,K){\ görüntü stili {\ mathfrak {gl}} (n, K)}gben(değil,K){\ görüntü stili {\ mathfrak {gl}} (n, K)}tr(ATB)=tr(BAT){\ görüntü stili tr (AB) = tr (BA)}sben(değil,K){\ görüntü stili {\ mathfrak {sl}} (n, K)}

Bir İdeal bir Lie cebir bir vektör alt uzay olduğunu ve öyle ki . Herhangi bir Lie cebiri ideali özellikle bir Lie alt cebiridir (ancak tersi yanlıştır). g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}∀x∈g,y∈h, [x,y]∈h{\ displaystyle \ forall x \ {\ mathfrak {g}}, y \ {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ {\ mathfrak {h}}}

Örnekler

• Eğer bir abeliyan Lie cebir sonra herhangi vektör alt uzay otomatik olarak bir idealdir.g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}
• Yalan alt cebiri ait bir idealdir.sben(değil,K){\ görüntü stili {\ mathfrak {sl}} (n, K)}gben(değil,K){\ görüntü stili {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

İki Lie cebiri arasında bir morfizm ve öyle bir lineer haritadır ki . Bir Lie cebiri morfizminin çekirdeği, o zaman kaynak Lie cebirinin bir idealdir ve görüntü, hedef Lie cebirinin bir Lie alt cebiridir. Bir izomorfizm iki Lie cebirlerin arasındaki vektör uzayı bir izomorfizması Lie Cebirlerin bir morfizmanın olup. g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}φ:g→h{\ displaystyle \ varphi: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}∀x,y∈g, φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]{\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi ([x, y]) = [\ varphi (x), \ varphi (y)]}

Örnekler

• Eğer bir Lie alt cebiri olduğunu daha sonra dahil edilmesi in sıfır çekirdek ile ve bir resim arasında Lie cebirlerinin bir morfizmanın olduğunu .g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}
• Eğer bir ideal ise , bölüm vektör uzayı üzerinde benzersiz bir Lie cebiri yapısı vardır, öyle ki, kanonik izdüşüm Lie cebirlerinin bir morfizmidir. p'nin çekirdeği o zaman ve görüntüsüdür . Lie cebiri Bu şekilde tanımlanan bir bölüm Lie cebiri denir üzerinde . Örneğin, bölüm Lie cebri , değişmeli Lie cebrine eşbiçimlidir .h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}p:g→g/h{\ displaystyle p: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}gben(değil,K)/sben(değil,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K) / {\ mathfrak {sl}} (n, K)}K{\ görüntü stili K}

temsiller

Tanımlar

Bir temsili bir Lie cebri bir bölgesindeki vektör alan V bir morfizma verilerdir . Başka bir deyişle, aynı zamanda kontrol eden doğrusal bir haritadır . Bu gösterimi veya basitçe üzerinde olası bir belirsizlik olmadığında not ederiz . Biz de söylemek V bir olduğunu - modül ya da sadece bir modül . Bazen vektör üzerindeki elemanın eylemi yerine not ederiz . g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}} π:g→gben(V){\ displaystyle \ pi \,: \, {\ mathfrak {g}} \ ila {\ mathfrak {gl}} (V)}π{\ görüntü stili \ pi}∀x,y∈g, π([x,y])=π(x)∘π(y)-π(y)∘π(x){\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi ([x, y]) = \ pi (x) \ circ \ pi (y) - \ pi (y) \ circ \ sayı (x)}(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}V{\ görüntü stili V}π{\ görüntü stili \ pi}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}x⋅v{\ displaystyle x \ cdot v}π(x)(v){\ görüntü stili \ pi (x) (v)}x∈g{\ displaystyle x \ {\ mathfrak {g}}}v∈V{\ displaystyle v \ V'de}

Morfizmin injektif olması durumunda bir temsilin sadık olduğu söylenir . Bu durumda, Lie cebiri , 'nin bir Lie alt cebiri olarak görülebilir . (π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}π{\ görüntü stili \ pi}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}gben(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

Bir alt temsili bir temsilinin bir vektör alt uzay veri olan W bir V aksiyonu ile kararlı , yani, bu şekilde . Özellikle, bir v vektörü tarafından üretilen bir D vektör çizgisinin kararlı olması için, v'nin tüm endomorfizmlerde ortak bir özvektör olması gerekli ve yeterlidir . Bir temsil , alt-uzaylar ve V dışında hiçbir temiz eksik temsili kabul etmiyorsa indirgenemez . Özellikle boyut 1'in herhangi bir temsili indirgenemez, çünkü bu durumda V'nin sadece alt uzayları tam olarak ve V'dir . 'nin eksik bir temsili olsun . Bölüm temsili bir gösterimidir arasında bölüm alanı ile tanımlanır . (π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}∀x∈g, π(x)(W)⊂W{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) (W) \ alt küme W}π(x){\ görüntü stili \ pi (x)}(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}{0}{\ görüntü stili \ {0 \}}(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}{0}{\ görüntü stili \ {0 \}}V′{\ görüntü stili V '}(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}π¯{\ görüntü stili {\ bar {\ pi}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}V/V′{\ görüntü stili V / V '}∀x∈g, ∀v∈V, π¯(x)(v+V′)=π(x)(v)+V′{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ {\ bar {\ pi}} (x) (v + V ') = \ pi (x) (v ) + V'}

İki temsil arasındaki ve aynı Lie cebirindeki bir morfizm , eylemine geçiş yapan , yani şöyle ki lineer bir haritanın verileridir . Ne zaman vektör uzayı bir izomorfizması, biz iki temsili izomorf olduğunu söylüyorlar. Temsil ve arasındaki tüm morfizmlerin kümesi ile gösterilen bir vektör uzayı oluşturur .(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}(π′,V′){\ görüntü stili (\ pi ', V')}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}φ:V→V′{\ displaystyle \ varphi: V \ sağ ok V '}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}∀x∈g, φ∘π(x)=π′(x)∘φ{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi \ circ \ pi (x) = \ pi '(x) \ circ \ varphi}φ{\ görüntü stili \ varphi}(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}(π′,V′){\ görüntü stili (\ pi ', V')}HÖmg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Schur lemması bu uzayın anlaşılması için önemli bir sonuçtur . İşte açıklama: HÖmg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Schur'un lemması  - 

• Let ve olmayacak bir Lie cebir iki indirgenemez temsilleri . Ya . O zaman ya boş harita ya da bir izomorfizmdir. Özellikle, isomorfik değilse ve değilse .V{\ görüntü stili V}V′{\ görüntü stili V '}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}φ∈HÖmg(V,V′){\ displaystyle \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}φ{\ görüntü stili \ varphi}V{\ görüntü stili V}V′{\ görüntü stili V '}HÖmg(V,V′)={0}{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ') = \ {0 \}}
• Burada K alanının cebirsel olarak kapalı olduğunu varsayalım . nin indirgenemez sonlu boyutlu bir temsili olsun . Yani herhangi bir morfizm bir özdeşliğin katıdır. Başka bir deyişle, .V{\ görüntü stili V}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}φ∈HÖmg(V,V){\ displaystyle \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V)}HÖmg(V,V)≅K{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V) \ cong K}

Uyarılar

• Gerçeğinden Schur lemması sonuçlarının ilk nokta arasında bir alt-temsilidir ve bir altı-temsilidir .ker(φ){\ displaystyle ker (\ varphi)}V{\ görüntü stili V}benm(φ){\ displaystyle Im (\ varphi)}V′{\ görüntü stili V '}
• Schur'un lemmasının ikinci noktası, sonlu boyutlu bir vektör uzayının herhangi bir endomorfizminin, cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde en az bir özdeğer kabul etmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır . Bu nedenle bir morfizmanın olan V için V bir izomorfizm değildir. İlk noktaya göre, bu nedenle boş harita, yani . Bu sonuç sonsuz boyutta hala geçerlidir ancak spektral teoremin gücünü gerektirir .λ{\ görüntü stili \ lambda}φ-λbend{\ displaystyle \ varphi - \ lambda kimliği}φ=λbend{\ displaystyle \ varphi = \ lambda kimliği}
• Schur'un lemmasının ikinci noktası, cebirsel olarak kapalı olmayan bir alan için yanlıştır. Örneğin varsayalım . Formül tarafından verilen temsili düşünün . Bunun değişmeli Lie cebirinin indirgenemez bir temsili olduğunu doğrularız . Düşünün ve konumlandırın . Lie cebiri Çünkü değişmeli olduğunu bir morfizmanın olan V in V . Ayrıca bunun gerçekten bir izomorfizm olduğunu doğrulayabiliriz . Ancak çoklu kimlik değildir. Bu bağlamda, gerçek özdeğerlerin bulunmadığına dikkat edin (bu, lemmanın ikinci noktasının kanıtının bu durumda neden geçerli olmadığını açıklar).K=${\ displaystyle K = \ matbb {R}}(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}∀x∈$, π(x)=(çünkü⁡x-günah⁡xgünah⁡xçünkü⁡x)∈gben(2,$){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) = \ left ({\ start {dizi} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {dizi}} \ sağ) \ {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})} içinde(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}${\ displaystyle \ matematik {R}}y=45Ö{\ görüntü stili y = 45 ^ {o}}φ: =π(y){\ displaystyle \ varphi: = \ pi (y)}${\ displaystyle \ matematik {R}}φ{\ görüntü stili \ varphi}φ{\ görüntü stili \ varphi}φ{\ görüntü stili \ varphi}φ{\ görüntü stili \ varphi}

Örnekler

• Değişken bir Lie cebirinin bir temsili, bir vektör uzayı V'nin uzay değişmeli endomorfizminin bir alt uzayındaki doğrusal bir eşleme değerleridir . Örneğin, V sonlu boyuttaysa, köşegen matrislerle (bunlar arasında gidip gelir) temsil edebiliriz .g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}
• Önemsiz gösterimi arasında bir vektör uzayı içinde V temsilidir ile tanımlanır .g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}π{\ görüntü stili \ pi}∀x∈g, π(x)=0{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = 0}
• If , doğal temsilini ile tanımlanan temsil olarak tanımlarız . Daha genel olarak, bir Lie altcebirine doğal gösterimi arasında dahil edilmesi olarak tanımlanır içinde . Bu nedenle içindeki değerlerle .g=gben(değil,K){\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}(π, Kdeğil){\ görüntü stili (\ pi, \ K ^ {n})}∀x∈g, π(x)=x{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = x}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}gben(değil,K){\ görüntü stili {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}gben(değil,K){\ görüntü stili {\ mathfrak {gl}} (n, K)}Kdeğil{\ görüntü stili K ^ {n}}
• İlişkisel gösterimi  (tr) bir Lie cebir temsilidir tarafından tanımlanan .g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}(ded,g){\ displaystyle (reklam, {\ mathfrak {g}})}∀x∈g, ded(x): y∈g↦[x,y]∈g{\ displaystyle \ forall x \ {\ mathfrak {g}}, \ reklam (x): \ y \ {\ mathfrak {g}} \ mapto [x, y] \ {\ mathfrak {g}}}
• üzerinde tanımlanan boyut 1'in değişmeli Lie cebiri olsun . Alanı düşünün . Biz bir temsilini tanımlar içinde V formülü ile burada, .g=${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=${\ displaystyle K = \ matbb {R}}V=L2($){\ displaystyle V = L ^ {2} (\ mathbb {R})}${\ displaystyle \ matematik {R}}∀x∈$, π(x)(f)=f∘τx {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) (f) = f \ circ \ tau _ {x} \}τx: y∈$↦y-x∈${\ displaystyle \ tau _ {x}: \ y \ in \ mathbb {R} \ mapsto yx \ in \ mathbb {R}}

Temsil yapıları

• Doğrudan toplam  : let ve iki temsili . Vektör uzayında doğrudan toplam gösterimini formülle tanımlarız . Bu durumda, ve alt temsilleridir .(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}(π′,V′){\ görüntü stili (\ pi ', V')}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}π⊕π′{\ displaystyle \ pi \ oplus \ pi '}V⊕V′{\ displaystyle V \ oplus V '}∀x∈g, ∀v∈V, ∀v′∈V′, (π⊕π′)(x)(v,v′)=(π(x)(v),π′(x)(v′)){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ oplus \ pi ') (x) (v, v ') = (\ pi (x) (v), \ pi' (x) (v '))}V⊕{0}{\ displaystyle V \ oplus \ {0 \}}{0}⊕V′{\ displaystyle \ {0 \} \ oplus V '}(π⊕π′,V⊕V′){\ görüntü stili (\ pi \ oplus \ pi ', V \ oplus V')}
• Tensör çarpımı  : let ve iki temsili . Vektör uzayında tensör çarpım gösterimini formülle tanımlarız .(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}(π′,V′){\ görüntü stili (\ pi ', V')}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}π⊗π′{\ displaystyle \ pi \ bazen \ pi '}V⊗V′{\ görüntü stili V \ bazen V '}∀x∈g, ∀v∈V, ∀v′∈V′, (π⊗π′)(x)(v⊗v′)=π(x)(v)⊗v′+v⊗π′(x)(v′){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ otimes \ pi ') (x) (v \ otimes v ') = \ pi (x) (v) \ otimes v' + v \ otimes \ pi '(x) (v')}
• Contragredient  : ya bir temsili . Bu tanımlar contragredient temsil ikili vektör uzayında formül .(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}} π∗{\ görüntü stili \ pi ^ {*}}V∗{\ görüntü stili V ^ {*}}∀x∈g, ∀v∗∈V∗, π∗(x)(v∗)=-v∗∘π(x){\ displaystyle \ forall x \ {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v ^ {*} \ V ^ {*}, \ \ pi ^ {*} (x) (v ^ {*}) = -v ^ {*} \ circ \ pi (x)}
• Morfizmlerin uzayı  : let ve iki temsili . Bu vektör alan tanımlamak üzere nasıl gördük gelen morphimes arasında V bölgesi . Hala gösterilen bir gösterimini tanımlamak göre , aşağıdaki formül ile bu alanı .(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}(π′,V′){\ görüntü stili (\ pi ', V')}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}HÖmg(V,V′){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}V′{\ görüntü stili V '}π{\ görüntü stili \ pi}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}∀x∈g, ∀φ∈HÖmg(V,V′), π(x)(φ)=-φ∘π(x){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V '), \ \ pi (x) (\ varphi) = - \ varphi \ circ \ pi (x)}
• Bir Lie alt cebirinin kısıtlanması  : Let'in bir temsili olsun . ' nin bir Lie alt cebiri olsun . Daha sonra bir temsilidir kısıtlanması olarak adlandırılan için . Bazen derecelendirmelerin kötüye kullanılmasıyla not edilir.(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}(π|h,V){\ görüntü stili (\ pi _ {| {\ mathfrak {h}}}, V)}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}V|h{\ displaystyle V_ {| {\ mathfrak {h}}}}

Bir temsili olan ayrıştırılamaz iki doğru alt temsiller doğrudan toplamına izomorf değilse. Özellikle, indirgenemez herhangi bir temsil ayrıştırılamaz, ancak tersi yanlıştır. Bir temsil, indirgenemez alt temsillerin doğrudan toplamına (muhtemelen sonsuz sayıda) izomorf ise yarı basittir (veya tamamen indirgenebilir ). Ayrıştırılamaz ve yarı-basit bir temsil zorunlu olarak indirgenemezdir. g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}

Örnekler

• Alan üzerinde 1 boyutunun değişmeli Lie cebiri olsun . Bir temsili tanımlar içinde de formül . Bu temsil indirgenemez değildir. Örneğin , vektör tarafından oluşturulan çizgi , tıpkı vektör tarafından oluşturulan çizgi gibi kararlıdır . Bu nedenle , boyut 1 nedeniyle indirgenemez olan 'nin iki alt temsili meselesidir. Şimdi elimizde . Yani temsil yarı basittir.g=${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=${\ displaystyle K = \ matbb {R}}π{\ görüntü stili \ pi}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}$2{\ displaystyle \ matematik {R} ^ {2}}π(x)=(x00-x)∈gben(2,$){\ displaystyle \ pi (x) = \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {cc} x & 0 \\ 0 & -x \ bitiş {dizi}} \ sağ) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ matematik {R})}D1{\ görüntü stili D_ {1}}(10){\ displaystyle \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {c} 1 \\ 0 \ bitiş {dizi}} \ sağ)}D2{\ görüntü stili D_ {2}}(01){\ displaystyle \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {c} 0 \\ 1 \ bitiş {dizi}} \ sağ)}π{\ görüntü stili \ pi}D1⊕D2=$2{\ displaystyle D_ {1} \ oplus D_ {2} = \ mathbb {R} ^ {2}}π{\ görüntü stili \ pi}
• Önceki örnekte işaretleme sistemi ile, aynı zamanda temsil düşünebiliriz içinde aşağıdaki formül ile tanımlanmaktadır . Yine çizgi kararlı bir altuzaydır. Yani temsil indirgenemez değildir. Daha genel olarak, bunun tek kararlı çizgi olduğunu ve dolayısıyla . Böylece ayrılmaz.π′{\ görüntü stili \ pi '}$2{\ displaystyle \ matematik {R} ^ {2}}π′(x)=(1x01)∈gben(2,$){\ displaystyle \ pi '(x) = \ sol ({\ start {dizi} {cc} 1 & x \\ 0 & 1 \ end {dizi}} \ sağ) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ matematik bb { R})}D1{\ görüntü stili D_ {1}}π′{\ görüntü stili \ pi '}D1{\ görüntü stili D_ {1}}π′{\ görüntü stili \ pi '}π′{\ görüntü stili \ pi '}
• Her zaman aynı notları tutalım. Biz temsil tanımlar içinde de formül . Temsil ile sabit çizgi olmadığını doğrulayabiliriz . Başka bir deyişle, indirgenemez.π″{\ görüntü stili \ pi ''}${\ displaystyle \ matematik {R}}$2{\ displaystyle \ matematik {R} ^ {2}}π″(x)=(çünkü⁡x-günah⁡xgünah⁡xçünkü⁡x)∈gben(2,$){\ displaystyle \ pi '' (x) = \ sol ({\ start {dizi} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {dizi}} \ sağ) \ { \ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})} içindeπ″{\ görüntü stili \ pi ''}π″{\ görüntü stili \ pi ''}

Bu üç örnek, gerçek bir matrisin köşegenleştirilebilir veya üçgenleştirilebilir ancak köşegenleştirilemez olabileceği veya gerçek özdeğerlere sahip olmadığı gerçeğini yansıtır . Böylece bir Lie cebirinin temsili kavramının klasik endomorfizm indirgeme kavramını genelleştirdiğini görüyoruz .

zarflama cebiri temsilleri ile bağlantı

Bir Lie cebirinin zarflama cebiri

A , birimli bir ilişkisel cebir olsun . O zaman A üzerinde , Lie parantezinin formül tarafından verildiği bir Lie cebiri yapısı vardır . Bazen bu Lie cebirini ifade ederiz. Böylece herhangi bir ilişkisel cebir, bir Lie cebiri sağlar. Bu yapının bir örneğini gördük . Bu sonucun tersini verebilir miyiz? Bir Lie cebirinden ilişkisel bir cebir oluşturabilir miyiz? Bu fikir, bir Lie cebirinin zarflama cebiri kavramına götürür. ∀de,b∈AT, [de,b]=deb-bde{\ displaystyle \ için tüm a, b \ in A, \ [a, b] = ab-ba}ATL{\ görüntü stili A_ {L}}gben(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

Mı üzerinde Lie cebiri K . ' nin tensör cebri olsun . Let J olmak iki taraflı yere tensörlerin tarafından oluşturulan tüm x ve y arasında . Zarflama cebiri , bölüm olarak tanımlanan üniter ilişkisel cebirdir . not ediyoruz . Bileşim olup adı kanonik uygulama arasında kendi saran cebir. Bir cebir olarak, 1 ve image tarafından üretilir . Üstelik gelen Lie cebirlerinin bir morfizmanın olduğu içinde . Bir Lie cebirinin zarflama cebiri aşağıdaki evrensel özelliği karşılar: g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}x⊗y-y⊗x-[x,y]∈T(g){\ displaystyle x \ otimes yy \ otimes x- [x, y] \ in T ({\ mathfrak {g}})}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}T(g)/J{\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}}) / J}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι:g↪T(g)→sen(g){\ displaystyle \ iota: {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow T ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι(g){\ displaystyle \ iota ({\ mathfrak {g}})}ι{\ görüntü stili \ iota}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}sen(g)L{\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}}) _ {L}}

Zarflama cebirinin evrensel özelliği  -  A , bir birimli bir çağrışımsal cebir olsun . Izin Lie cebirlerinin bir morfizmanın içinde . Sonra ilişkisel cebirlerin eşsiz morfizmalar vardır den de bir şekilde ve . φ{\ görüntü stili \ varphi}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}ATL{\ görüntü stili A_ {L}}Φ{\ görüntü stili \ Phi}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}Φ(1)=1{\ görüntü stili \ Phi (1) = 1}Φ∘ι=φ{\ displaystyle \ Phi \ circ \ iota = \ varphi}

Misal

• Eğer bir değişmeli Lie cebir, daha sonra saran cebri olarak simetrik cebri ile tanımlanır , ki kendisi belirler polinomların bir cebri ile bir tabanı (seçtikten sonra). Özellikle, belirsiz olan polinomların cebiri için izomorfiktir .g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}S(g){\ displaystyle {\ matematik {S}} ({\ mathfrak {g}})}sen(K){\ görüntü stili {\ matematik {U}} (K)}K[X]{\ görüntü stili K [X]}

Bir Lie Cebirinin Temsilleri ve Zarf Cebirinin Temsilleri

temsili olsun . Yana ünitesi ile birleşmeli cebir, evrensel özellik cebiri eşsiz morfizmalar var olduğu ima şekilde . Bu işlem, bu nedenle, bir Lie cebirinin temsilinden, çağrışımsal cebirlerin bir morfizmine geçmeyi mümkün kılar. Tersine, birleştirici cebirlerin herhangi bir morfizmi, kısıtlama yoluyla Lie cebirlerinin bir morfizmine, yani bir temsiline verir . Bu ilke, belirli bir Lie cebirinin temsil kategorisi ile onu saran cebirin temsil kategorisi arasındaki kategorilerin denkliği olarak yorumlanır . (π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}gben(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}π~:sen(g)→gben(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}∀x∈g, π~(x)=π(x){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ {\ tilde {\ pi}} (x) = \ pi (x)}π~:sen(g)→gben(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}

Bu yeni bakış açısı önemlidir çünkü yeni temel nesneleri değerlendirmeye izin verir. Bunlardan ilki, bir performansın iptal edilmesidir. temsili olsun . Çıkarıldığı temsili harfle tekrar not edelim . Daha sonra iptal edicisi ve V kümesidir . Bu bir iki taraflı idealdir çünkü cebirlerin bir morfizmanın olduğunu. İndirgenemez bir temsilinin sıfırlayıcısı olan herhangi bir ideale ilkel ideal denir . (π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}π{\ görüntü stili \ pi}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}ATdeğildeğil(V): ={sen∈sen(g), π(sen)=0}{\ displaystyle Ann (V): = \ {u \ {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}), \ \ pi (u) = 0 \}}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}π{\ görüntü stili \ pi}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}

temsili olsun . Çıkarıldığı temsili harfle tekrar not edelim . Tüm için v olarak V , grubu , bir sıfır olmayan az temsil tanımlar V . Ne zaman V indirgenemez, biz bu nedenle var . Daha genel olarak, bir temsil V olduğu söylenir siklik varsa bu şekilde . Vektör v bir adlandırılan siklik vektör . Bir V temsili , ancak ve ancak V'nin sıfır olmayan herhangi bir vektörü döngüsel ise indirgenemez . Bir temsili V arasında olduğu söylenir sonlu tip vektörler sonlu sayıda mevcutsa bir V bu şekilde . İndirgenemez bir temsil bu nedenle sonlu tiptedir. Let V olabilir bir siklik gösterimi ve izin v olduğu bir siklik vektör. Daha sonra formülle bir uygulama tanımlarız . Çekirdeği olan iptalcisi arasında v , gösterilen . Bu ideal bir soldur . Olarak V siklik olduğu, resim her eşittir V . Bu nedenle şunu çıkarıyoruz . Bu nedenle, herhangi bir döngüsel gösterim (ve özellikle herhangi bir indirgenemez gösterim), zarflama cebirinin bir bölümü olarak görünür . Ayrıca, V indirgenemez olduğunda ideal maksimumdur. Böylece, indirgenemez temsillerinin sınıflandırılması, onu kuşatan cebirin maksimum sol ideallerinin sınıflandırılmasına eşdeğerdir.(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}π{\ görüntü stili \ pi}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}π(sen(g))(v){\ displaystyle \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}V=π(sen(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v∈V{\ displaystyle v \ V'de}V=π(sen(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v1,...,vdeğil{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}V=∑k=1değil π(sen(g))(vk){\ displaystyle V = \ toplam _ {k = 1} ^ {n} \ \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v_ {k})}φ:sen(g)→V{\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow V}φ(sen)=π(sen)(v){\ displaystyle \ varphi (u) = \ pi (u) (v)}φ{\ görüntü stili \ varphi}ATdeğildeğil(v){\ görüntü stili Ann (v)}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}φ{\ görüntü stili \ varphi}V≅sen(g)/ATdeğildeğil(v){\ displaystyle V \ cong {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}}) / Ann (v)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}ATdeğildeğil(v){\ görüntü stili Ann (v)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}

Örnek Değişmeli Lie cebirini düşünün . Polinomlar halkasıyla zarf cebirini tanımlayın . Bu halka asaldır ve bu nedenle idealleri tek bir polinom tarafından üretilir. Polinom Ayrıca, eğer P (X) şeklinde ayrışabilir , daha sonra yere tarafından üretilen P ideal içerdiği tarafından oluşturulan . D'Alembert-Gauss teoremi daha sonra maksimal idealler ima formun idealler için, bir açıklayan her şey . Karşılık gelen bölüm daha sonra izomorfik için ve hareketi ile verilir ve . Şimdi nerede bölümüne bakalım . Eğer bölüm yarı-basit bir gösterim ise, iki indirgenemez gösterimin doğrudan toplamı ve . olduğunda durum temelde farklıdır . Bu durumda, bölüm ile çarpma verilen operatör hangi boyut 2 bir vektör alanıdır Lie cebir gösteriminde indeksi 2'nin nilpotenttir , aşağıdaki formül ile verilen temsili için bu bölüm karşılık olduğu, ayrıştırılamaz ama indirgenemez. VS{\ displaystyle \ matematik {C}}VS[X]{\ displaystyle \ matematik {C} [X]}P(X)=S(X)(X-de){\ görüntü stili P (X) = Q (X) (Xa)}(P){\ görüntü stili (P)}(X-de){\ görüntü stili (Xa)}X-de{\ görüntü stili Xa}VS[X]{\ displaystyle \ matematik {C} [X]}(X-de){\ görüntü stili (Xa)}VS{\ displaystyle \ matematik {C}}VS[X]/(X-de){\ displaystyle \ matematik {C} [X] / (Xa)}VS{\ displaystyle \ matematik {C}}VS[X]{\ displaystyle \ matematik {C} [X]}1⋅1¯=1¯{\ displaystyle 1 \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {1}}}X⋅1¯=de¯{\ displaystyle X \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {a}}}VS[X]/(P){\ displaystyle \ matematik {C} [X] / (P)}P(X)=(X-de)(X-b){\ görüntü stili P (X) = (Xa) (Xb)}de≠b{\ görüntü stili a \ değil = b}VS[X]/(X-de){\ displaystyle \ matematik {C} [X] / (Xa)}VS[X]/(X-b){\ displaystyle \ matematik {C} [X] / (Xb)}de=b{\ görüntü stili a = b}X-de{\ görüntü stili Xa}VS{\ displaystyle \ matematik {C}}π(z)=(dez0de){\ displaystyle \ pi (z) = \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {cc} a & z \\ 0 & a \ bitiş {dizi}} \ sağ)}

indüksiyon

Izin bir Lie cebiri. ' nin bir Lie alt cebiri olsun . temsili olsun . Kısıtlama yoluyla bir temsil elde edebileceğimizi gördük . Zarflama cebiri kavramı, karşılıklı problemin ele alınması için basit bir yol sağlayacaktır. Dolayısıyla olalım temsilidir biz onun zarflama cebir bir temsili olarak bkz . Poincaré-Birkhoff-Witt teoreminin bir sonucu, bunun bir alt cebiri olarak görünmesidir . Öte yandan, tensörler üzerinde sol çarpma ile işlem yaparak temsilini sağlar . Daha sonra temsili oluşturuyoruz . Bu temsili olarak adlandırılır kaynaklı gelen için göre . g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}(π,V){\ görüntü stili (\ pi, V)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}(π′,V′){\ görüntü stili (\ pi ', V')}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}sen(h){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {h}})}sen(h){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {h}})}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}bendeğildhg(V′): =sen(g)⊗sen(h)V′{\ displaystyle Ind _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} (V '): = {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ bazen _ {{\ matematik { U }} ({\ mathfrak {h}})} V '}h{\ görüntü stili {\ matfrak {h}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}(π′,V′){\ görüntü stili (\ pi ', V')}

Lie gruplarının temsilleriyle bağlantı

Bu bölümde, vücut K olduğu (ya da ). Bir Lie grubu G , iki harita ile donatılmış gerçek (veya karmaşık) bir diferansiyel manifolddur ve bir grup olan düzgün (veya holomorfik) . K alanının kendisi değişmeli bir Lie grubudur. Lie gruplarının başka bir örneği, n boyutundaki ters çevrilebilir matrisler grubudur . Bir Lie grubu morfizmi, türevlenebilir (veya holomorfik) bir grup morfizmidir. Lie grubunun bir sonlu boyutlu gösterimidir G bir morphsime olan G içinde . ${\ displaystyle \ matematik {R}}VS{\ displaystyle \ matematik {C}} μ: G×G→G{\ displaystyle \ mu: \ G \ kez G \ sağ ok G}ben: G→G{\ displaystyle i: \ G \ sağ ok G}(G, μ, ben){\ görüntü stili (G, \ \ mu, \ i)}GL(değil,K){\ displaystyle GL (n, K)}GL(değil,K){\ displaystyle GL (n, K)}

Lie grupları, Lie cebirleriyle ilişkilidir. Gerçekten de, teğet alanı Lie grubuna G kimlik grubunun Lie cebri olarak adlandırılan sonlu boyutlu bir Lie cebri, olup G ve not . Örneğin, Lie cebri K olan K kendisi; Lie cebiri is . Lie grubu G'nin Lie cebiri , özdeşlikteki teğet uzay olduğundan, aslında yalnızca kimliğin bağlantılı bileşenine bağlıdır. Bu nedenle, örneğin, kesinlikle pozitif determinantı olan gerçek matrisler grubu , ile aynı Lie cebirine sahiptir . Öte yandan, izomorfizme kadar, belirli bir Lie cebirine (sonlu boyutta) sahip benzersiz bir bağlantılı ve basit bağlantılı Lie grubu vardır . g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}GL(değil,K){\ displaystyle GL (n, K)}gben(değil,K){\ görüntü stili {\ mathfrak {gl}} (n, K)}GL+(değil,$){\ displaystyle GL ^ {+} (n, \ mathbb {R})}GL(değil,$){\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}

Lie grupları arasındaki herhangi bir morfizm hipoteze göre türevlenebilir olduğundan, temeldeki Lie cebirleri arasında bir haritaya neden olur . Bu harita aslında Lie cebirlerinin bir morfizmidir. Özellikle için , bir Lie grubu G'nin herhangi bir temsili, onun Lie cebirinin sonlu boyutlu bir temsiline yol açar . Tersine, bir Lie cebirinin herhangi bir sonlu boyutlu temsili, Lie cebiri olarak Lie cebirine sahip olan benzersiz basit bağlantılı Lie grubunun bir temsilinden gelir . φ: G→H{\ displaystyle \ varphi: \ G \ sağ ok H}dφ: g→h{\ displaystyle d \ varphi: \ {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}dφ{\ displaystyle d \ varphi}H=GL(değil,K){\ görüntü stili H = GL (n, K)}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}

Açıklama Bu son sonucun bir benzerini korurken, teoriyi sonsuz boyuta genişletmeyi mümkün kılan Lie gruplarının daha güçlü temsilleri vardır. Bunlar, örneğin, kabul edilebilir temsiller ve -modüller kavramıdır. (g,K){\ görüntü stili ({\ mathfrak {g}}, K)}

Modül kategorisi

Izin bir Lie cebiri. Tüm modüller (veya eşdeğer olarak tüm temsilleri ) kümesi, belirtilen bir kategori oluşturur . Bu kategori değişmeli . Özellikle, modüllerin kesin dizileri düşünülebilir. Bir tam dizi içinde üç modülü verilmektedir M , N , P ve iki İnjektif ve örten Morfizm. Böyle bir sıra not ediyoruz . Bir modül P olan yansıtmalı bir tam dizi halinde bir morfizmalar mevcutsa demek olan bölünmüş olduğu şekildedir . Eşdeğer bir tanımı şu şekildedir: modülü p herhangi örten morfizmalar için ise yansıtmalı olan ve herhangi bir morfizmalar benzersiz morfizmanın vardır öyle ki . Çift şekilde, bir modül ben olduğunu injective herhangi kesin dizisi halinde bölünmüş olduğunu. Aşağıdaki gibi eşdeğer bir tanımı: modülü I bir birebir morfizmalar için ise birebirdir herhangi morfizmalar benzersiz morfizmanın vardır öyle ki .g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}g{\ görüntü stili {\ matfrak {g}}}MÖd(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}MÖd(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}ben:DEĞİL→M{\ displaystyle i: N \ sağ ok M}p:M→P{\ displaystyle p: M \ sağ ok P}0→DEĞİL→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}0→DEĞİL→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow N \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}s:P→M{\ displaystyle s: P \ sağ ok M}p∘s=bend{\ displaystyle p \ circ s = id}f:DEĞİL→M{\ displaystyle f: N \ sağ ok M}h:P→M{\ displaystyle h: P \ sağ ok M}h′:P→DEĞİL{\ displaystyle h ': P \ sağ ok N}f∘h′=h{\ displaystyle f \ circ h '= h}0→ben→M→P→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow I \ rightarrow M \ rightarrow P \ rightarrow 0}f:DEĞİL→M{\ displaystyle f: N \ sağ ok M}h:DEĞİL→ben{\ displaystyle h: N \ sağ ok I}h′:M→ben{\ displaystyle h ': M \ sağ ok I}h′∘f=h{\ displaystyle h '\ circ f = h}

Herhangi bir modül aynı zamanda halkadaki bir modül olduğundan, bir halkadaki modüllerin genel kavramlarını kullanabiliriz . Bir M modülü , ardışık bölümler indirgenemez modüller olacak şekilde sonlu bir alt modül serisi varsa , sonlu uzunluktadır . Bu gibi bir dizi olarak da adlandırılır, Ürdün-tutucu arasından M . Sonlu uzunluklu bir modül için, izomorfizm sınıf bölümü yalnızca M modülüne bağlıdır . Özellikle, tam sayı , n , sadece modül bağlıdır M ve adı uzunluğu modülü M . Örneğin, herhangi bir indirgenemez modülün uzunluğu 1'dir, iki indirgenemez modülün herhangi bir doğrudan toplamının uzunluğu 2'dir.sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯⊂Mdeğil=M{\ displaystyle \ {0 \} \ alt küme M_ {1} \ alt küme M_ {2} \ alt küme \ cdots \ alt küme M_ {n} = M}Mben+1/Mben{\ displaystyle M_ {i + 1} / M_ {i}}

Bir modül M olan artinian alt birimlerin herhangi bir azalan sırası halinde sabittir. Örneğin, herhangi bir sonlu boyut modülü artiniandır. Artan herhangi bir alt modül dizisi durağan ise , M modülü sıfırdır . Zarflama cebiri bir Noether halkası olduğundan , bir M modülü ancak ve ancak sonlu tipteyse Noetherian'dır. Bir modül, ancak ve ancak Noetherian ve Artinian olması durumunda sonlu uzunluktadır.M⊃M1⊃M2⊃⋯{\ displaystyle M \ supset M_ {1} \ supset M_ {2} \ supset \ cdots}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯{\ displaystyle \ {0 \} \ alt küme M_ {1} \ alt küme M_ {2} \ alt küme \ cdots}sen(g){\ displaystyle {\ matematik {U}} ({\ mathfrak {g}})}

Örnek Sonlu bir boyut modülü her zaman Noetherian ve Artinian'dır ve bu nedenle her zaman sonlu uzunluktadır. Bu, artık değişmeyen bir Lie cebiri için bile sonsuz boyutta geçerli değildir. Örneğin şunu varsayalım . eyleminin z skaleri ile çarpılmasıyla verildiği modülü göz önünde bulundurun . Bu nedenle eylemi , sol çarpma ile verilir. Yani her sol ideal bir alt modül L'dir . (P) polinomu P tarafından üretilen ideali not edin . Sonsuz bir karmaşık sayı dizisi olsun . Daha sonra aşağıdaki azalan diziye sahibiz: . Ardışık bölümleri indirgenemez modüller olan (1 boyutundan dolayı) durağan olmayan bir alt modüller dizisidir. Dolayısıyla L artinian değildir ve sonlu uzunlukta değildir. L' nin noeteryen olduğuna dikkat edin, çünkü bu sonlu tipte bir modüldür (aslında döngüsel, sabit polinom 1 tarafından üretilir ).g=VS{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {C}}L=VS[X]{\ displaystyle L = \ mathbb {C} [X]}z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}sen(VS)=VS[X]{\ displaystyle {\ mathcal {U}} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} [X]}de1,de2,...{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}⋯⊂(X-de1)⋯(X-dedeğil)⊂⋯⊂(X-de1)(X-de2)⊂(X-de1)⊂L{\ displaystyle \ cdots \ altküme (X-a_ {1}) \ cdots (X-a_ {n}) \ alt küme \ cdots \ alt küme (X-a_ {1}) (X-a_ {2}) \ alt küme ( X-a_ {1}) \ alt küme L}

Tüm nesneleri Artinian (sırasıyla Noetherian) modülleri ise , bir alt kategori Artinian (sırasıyla Noetherian) ile doludur . Artinian ve noetherian ile dolu bir alt kategoride herhangi bir nesne sonlu uzunluktadır. Tam bir alt kategori vardır yeterli projektif herhangi bir nesne için ise M alt kategori bir yansıtmalı modülü vardır p alt kategori ve örten morfizmanın P ile M . O sahiptir yeterli injektif herhangi bir nesne için ise M alt kategorisinde olduğu injective modül ben alt kategorisinde ve injektif morfizmanın M içinde I . MÖd(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}MÖd(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}MÖd(g){\ displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}

Referanslar

• N. Bourbaki , Elements of matematiğin , Gruplar ve Lie cebirleri, Bölüm 1, Springer, 2007 ( ISBN  978-3-540-35335-5 )
• Jacques Dixmier , Zarflama Cebirleri , Jacques Gabay, 1996 ( ISBN  2-87647-014-4 )
• Brian Hall, Lie Grupları, Lie Cebirleri ve Temsilleri , Springer, 2003 ( ISBN  978-0-387-40122-5 )
• James Humphreys, Lie Cebirlerine Giriş ve Temsil Teorisi , İkinci baskı, gözden geçirilmiş. Matematik Lisansüstü Metinleri, 9. Springer, 1978 ( ISBN  0-387-90053-5 )
• Nathan Jacobson , Lie cebirleri , 1962 orijinalinin yeniden yayınlanması , Dover, 1979 ( ISBN  0-486-63832-4 )

İlgili Makaleler

• temsil teorisi
• Grup temsili
• Bir Lie grubunun temsili
• Sonlu bir grubun temsilleri

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">