Lie cebiri

In matematik , bir Lie cebiri onuruna adlandırılmış, matematikçi Sophus Yalan , bir olan vektör uzayı bir ile sağlanan Lie parantez , yani bir iki çizgili , antisymmetric ve iç kompozisyon kanunu. Doğrular Jacobi'nin ilişkisini . Bir Lie cebiri, bir alan üzerindeki özel bir cebir durumudur .

Tanımlar, örnekler ve ilk özellikler

Tanım

Let K olmak bir değişmeli alan .

Bir Lie cebir üzerinde K bir olan vektör uzayı üzerinde K a sahip çift doğrusal haritası içinde yer hangi biri aşağıdaki özellikleri: ${\ mathfrak {g}}$ $(x, y) \ mapsto [x, y]$ ${\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

$\ forall x \ içinde {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0$ ;
$\ forall x, y, z \ içinde {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.$

Ürün adı verilir Yalan kanca (veya kısaca kancayı) ve . Dirsek fonksiyonu iki-doğrusal bir alternatif olduğu , daha da özdeşlik tüm in . Yukarıdaki kimlik (2), Jacobi kimliği olarak adlandırılır . $[x, y]$ $x$ $y$ $x, y$ $[x, y] = - [y, x]$ $x, y$ ${\ mathfrak {g}}$

Lie alt uzayı , Lie parantezinin kararlı bir vektör alt uzayıdır . Herhangi bir Lie alt cebirinin K üzerinde Lie cebirinin bir yapısı olduğu açıktır . ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Not : tensörel cebirlerden (ve dış cebirler dahil Clifford cebirlerinden ) farklı olarak, Lie cebirleri ne üniter ne de birleşmeli .

Lie cebirlerinin bazı klasik örnekleri

Ayarlanarak herhangi bir vektör uzayı bir Lie cebir yapısı ile sağlanabilir . Lie parantezinin aynı sıfır olduğu böyle bir Lie cebirine değişmeli denir. $E$ $\ forall x, y \ in E, \ [x, y] = 0$
Bir kaynaktan bir alan üzerinde birleştirici cebir , aşağıdaki gibi, bir Lie cebir gerçekleştirebilmesi: belirlenmekte (o komütatör iki eleman arasında x ve y ). Lie cebirinin bir yapısını bu şekilde tanımladığımızı doğrulamak kolaydır . $(AT, *)$ $\ forall x, y \ in A, \ [x, y] = x * yy * x$ $AT$ Tersine, herhangi bir Lie cebiri , Lie kancasının yukarıda tanımlanan kanca ile çakıştığı zarflama cebiri adı verilen bir birleşimsel cebirde bulunur. Sıfır değilse , zarflama cebiri kendisinden çok daha büyüktür. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$
Yukarıdaki durumun somut bir örneği olarak, K'de katsayıları olan matrislerin uzayını düşünün . Bu, olağan matris çarpımı için bir ilişkisel cebirdir. Bu nedenle, parantezle birlikte Lie cebirinin bir yapısını da verebiliriz . Biz göstermek onun Lie cebiri yapısını göz önüne aldığımızda bu cebir. ${\ mathcal {M}} _ {n} (K)$ $n \ kere n$ $[A, B] = AB-BA$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Açıktır ki, parantezin herhangi bir kararlı vektör alt uzayı bir Lie cebiridir. Böylece, sıfır iz matrisleri kümesinin belirttiğimiz bir Lie cebiri olduğunu doğrulayabiliriz . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n} (K)$ Aslında, Ado'nun teoremi , herhangi bir sonlu boyutlu Lie cebirinin bir alt cebiri olarak görülebileceğini gösterir . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Diğer bir temel, daha geometrik örnek şudur. Olalım bir diferansiyel manifoldu . Sonra vektör oluşturduğu vektör uzayı alanları üzerinde bir olmadan doğal bir Lie cebiri yapısına sahiptir cebir . $M$ $M$
Özel olarak, resim alanları öldürme arasında bir Riemannsal veya psödo-Riemann manifoldu formları Lie cebri, karşılık grubunun bir izometrileri olarak manifold.
Üç boyutlu Öklid uzay ℝ 3 ile çapraz ürün Lie gibi bir Lie cebiridir.

Morfizmler ve idealler

Yalan cebirlerin bir morfizmanın a, doğrusal harita şekilde Lie saygı, yani ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi$

\ forall a, b \ içinde {\ mathfrak {g}}, \ \ phi ([a, b]) = [\ phi (a), \ phi (b)]

Bir İdeal ait bir vektör alt uzay olduğunu şekildedir . Özellikle bir Lie alt cebiridir. Bir Lie cebiri önemsiz olmayan bir ideali kabul etmezse, basit olduğu söylenir. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $\ forall g \ {\ mathfrak {g}} içinde, \ \ forall h \ {\ mathfrak {h}} içinde, \ [g, h] \ {\ mathfrak {h}} içinde$

Eğer bir idealdir , biz katsayısı oluşabilir tarafından : öyle bölüm vektör uzayı ile tanımlanan dirseği ihtiva, . İzdüşüm daha sonra Lie cebirlerinin bir morfizmidir. ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$ $[g + {\ mathfrak {h}}, g '+ {\ mathfrak {h}}] = [g, g'] + {\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$

Bir bir Lie cebir temsili bir morfizmanın olduğunu . Başka bir deyişle, doğrusal bir haritadır . ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ $\ phi ([g, h]) = \ phi (g) \ phi (h) - \ phi (h) \ phi (g)$

Tarafından tanımlanan morfizm , ek gösterimi (in) olarak adlandırılan bir temsilini tanımlar . Jacobi'nin kimliği, $reklamın$ kancaya saygı duyduğu gerçeğini tam olarak ifade eder. Bu temsilin özü Lie cebirinin merkezidir . ${\ text {reklam}}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl (g)}}$ ${\ text {reklam}} (g) (h) = [g, h]$ ${\ mathfrak {g}}$ $Z ({\ mathfrak {g}}) = \ {g \ {\ mathfrak {g}} içinde, \ forall h \ {\ mathfrak {g}} içinde, [g, h] = 0 \}$ ${\ mathfrak g}$

Lie grupları ve cebirsel gruplarla ilişki

Lie cebirleri doğal olarak Lie gruplarıyla ilişkilidir . Eğer Lie grubudur ve e kendi nötr elemanı , daha sonra teğet alanı en e kadar bir Lie cebir olduğu; bu cebirin tam yapısı Lie Group makalesinin ilgili bölümünde detaylandırılmıştır . Aynı yapı cebirsel gruplar için de geçerlidir . Genellikle küçük Gotik harflerle Lie cebirini bir Lie grubu veya bir cebirsel grupla ilişkilendiririz. Böylece, daha önce gördüğümüz gibi, n büyüklüğünde kare matrisler kümesini ve sıfır izli n boyutundaki kare matrisler kümesini belirtir. Aynı şekilde, n antisimetrik, vb. Büyüklüğünde A kare matrisleri kümesini belirtin. Bütün bu örneklerde, Lie çarpımı anahtarı başka bir şey değildir: . $G$ $G$ ${\ mathfrak {gl_ {n}}}$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n}$ ${\ mathfrak {so_ {n}}}$ $[A, B] = AB-BA$

Eğer iki Lie grubu arasında bir grup morfizmanın olduğunu ve ve biz varsayarsak türevlenebilir, daha sonra kimlik yılında diferansiyel Lie cebirleri arasında bir morfizmanın olacak ve içinde ve . Özellikle, bir karşı temsil ait türevlenebilir, bir ilişkilendirmek temsilini ait . $\ phi$ $G$ $H$ $\ phi$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $G$ $H$ $G$ ${\ mathfrak {g}}$

Lie cebirlerinin sınıflandırılması, Lie gruplarının, cebirsel grupların ve bunların temsillerinin incelenmesi için çok önemlidir.

Sınıflandırma

Eğer ve bir Lie cebir iki Lie cebiri vardır , bize göstermek izin formunun elemanları tarafından oluşturulan vektör altuzaya için ve . ${\ mathfrak {a}}$ ${\ mathfrak {b}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}]$ $[a, b]$ ${\ mathfrak {a}} içinde bir \$ ${\ mathfrak {b}} içinde b \$

Nilpotentes Lie cebirleri

Bir Lie cebirinin, herhangi bir komütatör dizisi sıfır olduğunda, n yeterince büyük olduğunda üstelsıfır olduğu söylenir . $[[g_ {1}, g_ {2}], g_ {3}], \ noktalar, g_ {n}]$

Daha doğrusu, bize tanımlayalım tarafından ve . $Bu}$ $C_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $C _ {{i + 1}} = [C_ {i}, {\ mathfrak {g}}]$

= 0 gibi bir i varsa , bunun nilpotente olduğunu söyleriz . Bu kavram, üstelsıfır grubunkiyle karşılaştırılmalıdır . Herhangi bir değişmeli Lie cebiri üstelsıfırdır. $Bu}$ ${\ mathfrak {g}}$

Katı üçgen matrislerin cebiri , yani formun nilpotente Lie cebiri için bir örnek sağlar. ${\ mathfrak n}$ $\ left ({\ begin {matrix} 0 & \ star & \ cdots & \ star \\\ vdots & \ ddots & \ star & \ vdots \\\ vdots & 0 & \ ddots & \ star \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\\ end {matrix}} \ right)$

Engel teoremi bir Lie cebiri nilpotenttir belirtiyor ancak ve ancak eşlenik temsilinin görüntü bir alt cebir ile birleştirilir . ${\ mathfrak n}$

Bununla birlikte, değişmeli Lie cebiri (dolayısıyla nilpotente) örneği, alt cebirine eşlenik olmayan üstelsıfır alt cebirlerin var olduğunu gösterir . ${\ mathfrak {gl}} _ {1} (K)$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak n}$

Çözülebilir Lie cebirleri

Endüksiyon ile tanımlama göre ve $D_ {i}$ $D_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $D _ {{i + 1}} = [D_ {i}, D_ {i}]$

= 0 gibi bir i varsa , çözülebilir deriz . Üstelsıfır cebirlerde olduğu gibi, bu kavram çözülebilir bir gruba karşılık gelir . Herhangi bir üstelsıfır Lie cebirinin çözülebilir olduğunu görmek kolaydır. $D_ {i}$ ${\ mathfrak {g}}$

Çözülebilir bir Lie cebirinin bir örneği, içindeki üst üçgen matrislerin cebiri ile verilir . ${\ mathfrak b}$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$

Yalan teoremi Şekil eğer K olduğu cebirsel kapalı ve karakteristik sıfır, daha sonra herhangi bir alt-çözülebilir Lie cebri bir alt cebri ile birleştirilir . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak b}$

Yarı basit ve indirgemeli Lie cebirleri

Bir Lie cebirinin , önemsiz olmayan çözülebilir bir ideal içermediğinde yarı basit olduğunu söylüyoruz . bitişik temsili yarı basit olduğunda indirgeyici olduğu söylenir . ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Zaman K sıfır özelliğine sahiptir ve bu sonlu boyutlu olan, yarı-basitlik olmayan dejenerasyon eşdeğerdir öldürme formu ile tanımlanan tr iz anlamına gelir. Dahası, ancak ve ancak yarı basitse indirgeyicidir . ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $K (x, y)$ $K (x, y) = tr (reklam (x) reklam (y))$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]$

Aynı varsayımlar altında, herhangi bir yarı-basit Lie cebirinin aslında basit Lie cebirlerinin doğrudan toplamı olduğunu gösterebiliriz .

Karmaşık sayıların ℂ alanı üzerindeki sonlu boyutlu basit Lie cebirleri Dynkin diyagramları ile sınıflandırılır . (Biz düşünün ya da 3 4 basit Lie cebirlerinin aileleri bu nedenle vardır ve aynı aile olarak) ve 5 istisnai Lie cebirleri, her biri farklı bir Dynkin şemasına göre. $B_ {n}$ $D_ {n}$

Bir türdeki Dynkin diyagramı Lie cebirine karşılık gelir . $A_ {n} (n \ geq 1)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbb {C})}$
Bir türdeki Dynkin diyagramı Lie cebirine karşılık gelir . $B_ {n} (n \ geq 2)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} (\ mathbb {C})}$
Bir türdeki Dynkin diyagramı Lie cebirine karşılık gelir . $C_ {n} (n \ geq 3)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
Bir türdeki Dynkin diyagramı Lie cebirine karşılık gelir . $D_ {n} (n \ geq 4)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
Kalan Dynkin diyagramlarına (tip E 6 , E 7 , E 8 , F 4 ve G 2 ) karşılık gelen istisnai Lie cebirlerinin bu kadar basit bir yorumu yoktur.

Lie cebiri indirgeyicidir ve onun türevi Lie cebiri . ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$

Alan ℝ üzerinde Sonlu boyutlu yarı basit Lie cebiri gerçek sayılar tarafından sınıflandırılır involutions tarafından eşdeğer olarak kompleks Lie cebirlerinin veya kök sistemlerinin envolüsyonlar (tr) . Bu simetrik Lie cebiri (en) kavramına karşılık gelir . Gerçek bir basit Lie cebiri dersi olarak şunları verebiliriz:

Kompakt Lie cebirleri. Bunlar kompakt grupların Lie cebirleri. Her karmaşık Lie cebirine karşılık gelen tam olarak bir tane vardır.
Gerçek Lie cebirleri olarak görülen karmaşık Lie cebirleri.
Diğerleri AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII aileleri ve istisnai cebirlerde sınıflandırılabilir.

EI, EII, EIII, EIV (tip ) EV, EVI, EVII (tip ) EVIII, EIX (tip ) FI, FII (tip ) ve Helgason (de) gösteriminden sonra GI (tip ) ). $E_ {6}$ $E_ {7}$ $E_ {8}$ $F_ {4}$ $G_2$

Sonsuz boyut

Sonsuz boyutlu Lie cebirlerinin genel bir sınıflandırması yoktur, ancak bu tür cebirlerin birkaç sınıfı çalışılmıştır.

Bir Kac-Moody cebiri, genelleştirilmiş bir Cartan matrisi tarafından kodlanan, mutlaka pozitif tanımlı olmayan üreteçler ve ilişkiler açısından soyut olarak tanımlanan bir Lie cebiridir. Bu nedenle sonsuz boyutta olabilirler. Genel sınıflandırmaları hala erişilemez ancak birkaç alt türü bilinmektedir.
- Bir Kac-Moody benzeşik cebir (In) özelliğine sahip olması sonlu boyutun alt Lie cebirlerine onun Dynkin diyagramı tekabül Dynkin tüm alt diyagramları. Genelleştirilmiş Cartan matrisi daha sonra corang 1'dir. Affine Kac-Moody cebirleri Victor Kac tarafından sınıflandırılmıştır . Bunlar yaygın olarak kullanılan teorik fizik çalışmalarında konformal alan teorileri çalışmalarında ve özellikle WZW modelleri .
- Bir hiperbolik Kac-Moody cebiri , ondan bir kökü kaldırırsak, sonlu boyutlu yarı basit bir Lie cebiri veya afin Kac-Moody cebiri elde etmemiz özelliğine sahip bağlantılı bir Dynkin diyagramına sahiptir. Ayrıca sınıflandırılmışlar ve maksimum 10'luk bir rütbeye sahipler. Genelleştirilmiş Cartan matrisleri dejenere değildir ve Lorentzian imzasına sahiptir (yani, tam olarak bir negatif yöne sahiptir).
cebir genelleştirilmiş Kac-Moody (in) veya cebir Borcherds: bu, genelleştirilmiş Cartan matrisinin hayali olarak adlandırılan basit köklere sahip olabilen cebir Kac-Moody kavramını genelleyen bir Lie cebiri türüdür Genelleştirilmiş Cartan matrisinin köşegen elemanı olumsuz. Canavar ay ışığı varsayımı çalışmasının bir parçası olarak Richard Ewen Borcherds tarafından tanıtıldılar .

Genelleme

Bahsedilebilen Lie cebir genellemeler farklı türde vardır olan Lie halkalar (in) lie süpercebiri , kuantum grupları , cebri Leibniz , ön Lie cebir (in) .

İlgili Makaleler

Notlar ve referanslar

Djohra Saheb Koussa , Abdelhak Djoudi ve Mustafa Koussa , “ Analiz kurak bölgede şebekeye bağlı rüzgar enerjisi santrali için ,” IREC2015 Altıncı Uluslararası yenilenebilir enerji Kongresi , IEEEMart 2015( ISBN 978-1-4799-7947-9 , DOI 10.1109 / irec.2015.7110927 , çevrimiçi okuma , erişim 15 Eylül 2020 )
(in) Sigurdur Helgason , Diferansiyel Geometri ve Simetrik Uzaylar , AMS ,1962, 487 s. ( ISBN 978-0-8218-2735-2 , çevrimiçi okuyun )

N. Bourbaki , Matematiğin Elemanları , Gruplar ve Lie cebirleri
Jacques Dixmier , Zarflama Cebirleri , Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996 ( ISBN 978-2-87647-014-9 )
(tr) James E. Humphreys , Lie Cebirlerine Giriş ve Temsil Teorisi , New York, Springer , cilt. " GTM " ( n o 9)1978, 2 nci baskı. , 173 s. ( Mayıs ISBN 978-0-387-90053-7 )
(tr) Nathan Jacobson , Lie cebirleri , New York, Dover ,1979( 1 st ed. 1962), 331 , s. ( ISBN 978-0-486-63832-4 , çevrimiçi sunum )
Erdmann, Karin ve Wildon, Mark. Yalan Cebirlerine Giriş , 1. baskı, Springer, 2006. ( ISBN 1-84628-040-0 ) .