Köşegenleştirme

Gelen matematik , Diyagonalleştirme a, lineer cebir işlemi belirli bir açıklamasını kolaylaştırır Endomorfizmlerin a vektör alanı , özellikle de belirli bir kare matrisler . Var olduğunda özvektörlerden oluşan vektör uzayının bir temelini bulmak ve açıklığa kavuşturmaktan ibarettir . Olarak sonlu bir boyut , Diyagonalleştirme bir kullanarak bu Endomorfizma tarif tutarındadır diyagonal matris .

Bu nedenle bu süreç , endomorfizmin maksimum bir indirgenmesine , yani vektör uzayının endomorfizm ile kararlı olan vektör çizgilerinin doğrudan toplamına ayrıştırılmasına kadar kaynar . Bu çizgilerin her birinde endomorfizm bir homotiteye indirgenmiştir . Bir endomorfizmin köşegenleştirilmesi, onun güçlerinin ve üstelinin hızlı ve basit bir şekilde hesaplanmasına izin verir , bu da yineleme veya diferansiyel denklemlerle elde edilen belirli doğrusal dinamik sistemleri sayısal olarak ifade etmeyi mümkün kılar .

Yöntem

• Hesaplamak için bazen gereklidir karakteristik polinomu onun belirlemek amacıyla, matrisin öz ve ilişkili öz bölme odasının :
  için , karakteristik polinom , burada belirsiz ve I N olan birim matris arasında . Özdeğerler λ i'nin kökleridir , dolayısıyla m i çokluğunun en fazla n özdeğerleri vardır . Daha sonra, her bir özdeğer için, kendisiyle ilişkili öz alt uzay belirlenir:M∈Mdeğil(K){\ displaystyle M \ M_ {n} (K)}χM(X)=det(Xbendeğil-M){\ displaystyle \ chi _ {M} (X) = {\ rm {det}} (XI_ {n} -M)}X{\ displaystyle X}Mdeğil(K){\ displaystyle M_ {n} (K)}
  χM{\ displaystyle \ chi _ {M}}
  Eλben=Ker(M-λbenbendeğil).{\ displaystyle E _ {\ lambda _ {i}} = {\ rm {Ker}} (M- \ lambda _ {i} I_ {n}).}Matris sadece edilebilir köşegenleştirilebilir her öz alt uzay boyutu eğer D λ i çokluğu eşittir m i özdeğer λ bir i , her biri için bu, bu araçların biz bir tabana sahip m i özvektörler bu l 'biz ile ifade X i , j , 1 ≤ j ≤ m ben . Daha sonra, bir ters çevrilebilir bir temel matris U şekilde U -1 MU diyagonal matris eşittir D olan diyagonal katsayıları λ olan I tekrarlı m i süreleri ve U sütunları vektörlerdir matrisidir X i, j (I 'sipariş yapar vektör ile varsa önemli değildir, ancak X i, j ile k arasında inci sütun U , o zaman özdeğer λ sahip i ile k bir inci sütun D ).Eλben{\ textstyle E _ {\ lambda _ {i}}}
  
• İlişkili öz alt uzayların özdeğerlerini ve temellerini doğrudan belirlemek de mümkündür. M matrisi , ancak ve ancak çeşitli öz alt uzayların boyutlarının toplamı n'ye eşitse köşegenleştirilebilir . Matris köşegenleştirilebilir ise, o zaman biri diğerinin yanına yerleştirilerek elde edilen tersine çevrilebilir bir matris P vardır , uygun sütunlar alt uzayların her birinin tabanını oluşturur ve bu durumda D = P MP1 MP matrisi köşegendir. Bir özdeğerle ilişkili özuzayın boyutu, M matrisine benzer şekilde diyagonal matris D' nin köşegeninde sonrakinin tekrarlanma sayısına karşılık gelir .
• Yalnızca sonlu sayıda özdeğerine sahip olan bir u endomorfizmi (sonlu boyutta her zaman durum budur) köşegenleştirilebilir ancak ve ancak basit köklere sahip bölünmüş bir polinom tarafından iptal edilirse . Ayrıca, projeksiyon uygun bölme odasının daha sonra polinomların olarak ifade edilmiştir u (bakınız çekirdeklerin Lemma ).

Örnekler

İlk örnek

Matrisi düşünün:

AT=(1200302-42).{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \ end {pmatrix}}.}

Bu matris, özdeğer olarak kabul eder  :

λ1=3,λ2=2,λ3=1.{\ displaystyle \ lambda _ {1} = 3, \ quad \ lambda _ {2} = 2, \ quad \ lambda _ {3} = 1.}

Böylece 3 boyutlu olan A , 3 farklı özdeğere sahiptir, bu nedenle köşegenleştirilebilir.

A'yı köşegenleştirmek istiyorsak , karşılık gelen özvektörleri belirlememiz gerekir . Örneğin:

v1=(11-2),v2=(001),v3=(10-2).{\ displaystyle v_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \ end {pmatrix}}, \ quad v_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, \ quad v_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \ end {pmatrix}}.}

Bunu kolayca doğrulayabiliriz . ATvk=λkvk{\ displaystyle Av_ {k} = \ lambda _ {k} v_ {k}}

Şimdi P , bu özvektörleri sütun olarak alan matris olsun:

P=(101100-21-2).{\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & -2 \ end {pmatrix}}.}

Ardından  , basit bir hesaplamanın gösterdiği gibi "  P , A'yı köşegenleştirir ":

P-1ATP=(0102011-10)(1200302-42)(101100-21-2)=(300020001).{\ displaystyle P ^ {- 1} AP = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & -2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Λ k değerlerinin matrisin köşegeninde P'yi oluşturmak için belirli sütunları yerleştirdiğimiz sırayla göründüğüne dikkat edin .

İkinci örnek

Dır-dir AT=(03-12-11002)∈M3(R){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \ end {pmatrix}} \ in M_ {3} (\ mathbb {R} )}

χAT(T)=det⁡(Tben3-AT)=|T-31-2T+1-100T-2|=(T-2)2(T+3){\ displaystyle \ chi _ {A} (T) = \ operatöradı {det} (TI_ {3} -A) = {\ begin {vmatrix} T & -3 & 1 \\ - 2 & T + 1 & -1 \\ 0 & 0 & T-2 \ end {vmatrix}} = (T-2) ^ {2} (T + 3)}(bir determinantın hesaplamasına bakınız )

Öyleyse özdeğerler:

• 2 çokluk 2,
• –3 çokluk 1.

Öz alt uzayların hesaplanması:

E 2'nin hesaplanması  : Şu şekilde ararız :X=(x1x2x3){\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}}}(AT-2ben3)X=0{\ textstyle (A-2I_ {3}) X = 0}

Altın:

(AT-2ben3)X=0⇔(-23-12-31000)(x1x2x3)=0⇔-2x1+3x2-x3=0{\ displaystyle (A-2I_ {3}) X = 0 \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = 0 \ Leftrightarrow -2x_ {1} + 3x_ {2} -x_ {3} = 0}

Bu nedenle E2=Vect⁡{(320),(10-2)}{\ displaystyle E_ {2} = \ operatorname {Vect} \ left \ {{\ begin {pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \ end {pmatrix}} \ sağ \}}

E –3 için de aynı şekilde ilerliyoruz ve şunu elde ediyoruz:

E-3=Vect⁡{(1-10)}{\ displaystyle E _ {- 3} = \ operatorname {Vect} \ sol \ {{\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ sağ \}}

Elimizde: ve bu nedenle bu matris köşegenleştirilebilir. Güneş⁡(E2)=2{\ displaystyle \ operatöradı {dim} (E_ {2}) = 2 \,}Güneş⁡(E-3)=1{\ displaystyle \ operatöradı {dim} (E _ {- 3}) = 1 \,}

Olası bir kösegenlestirilmesi :, olduğu ileB=U-1ATU=(20002000-3){\ displaystyle B = U ^ {- 1} AU = {\ begin {pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & {- 3} \ end {pmatrix}}}U=(31120-10-20).{\ displaystyle U = {\ begin {pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Projektör

(Herhangi bir boyutta) p bir projektör olsun , yani idempotent endomorfizm  : p 2 = p . Ayrılmış ve tek köklere sahip olan X 2 - X = ( X - 1) X polinomu tarafından iptal edilir . Dolayısıyla, özdeğerler 1 ve 0'ın köşegenleştirilebilir. Karşılık gelen iki öz alt uzaydaki projektörler ( diğerlerinden ek olarak ) p ve id - p'dir . Boşluk ise normalize (ya da daha genel olarak eğer bu bir topolojik vektör uzayı ) ve eğer p olan , sürekli , bu iki bölme odası bu nedenle daha olan ek topolojik .

Simetri

Her bir boyutta, izin s olarak bir simetri bir ifadeyle, involutive Endomorfizma  : s 2 = kimliği. Bölünen polinom X 2 - 1 = ( X - 1) ( X + 1) tarafından ve skalerlerin alanı 2'den farklı bir özelliğe sahip olur olmaz basit köklerle iptal edilir. köşegenleştirilebilir, iki öz değeri (özdeğerler 1 ve -1 için) ayrıca projektör p = ( s + id) / 2'nin ( özdeğerler 1 ve 0 için) olanlarıdır .

Boşluk ℒ (örneğin , H ait) sınırlı operatörleri bir ilgili Hilbert alan H ile K = ℝ veya ℂ , her operatöre olan ilişkilendiren simetri bir yardımcı maddenin kullanıldığı zaman ℝ doğrusal ve diyagonal gibi  : operatörler Hermitians ve antihermitians formu iki ek gerçek vektör alt uzay (topolojik). Tüm ( lH sonlu boyutlu olduğu , n üzerinde K , bir matris yazma gösterir boyutları sırasıyla eşit olduğu n ( n + 1) / 2 ve n, ( n - 1) / 2 ise H olduğu Öklid ve her iki eşit n 2 eğer , H olduğu Hermitik .)

Sınırlar ve genellik

Tüm endomorfizmler köşegenleştirilemez. Ancak:

• Bir endomorfizmin karakteristik polinomu, ancak ve ancak minimal polinomu bölünmüşse ve ℂ gibi cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde , bölünür . Bu durumda, Dunford'un ayrışması , endomorfizmin köşegenleştirilebilir bir endomorfizmin toplamı olarak ayrışmasını ve güçlerinin ve üstellerinin hesaplanmasını kolaylaştıran değişebilen bir üstelsıfır olmasını sağlar  ;
• (hepsi kompleks katsayıları ile sabit boyutta kare matrislerin kümesindeki trigonalisable ℂ üzerine), köşegenleştirebilir matrisler setidir yoğun için ( normal topoloji );
• ℝ üzerinde trigonalize edilebilen gerçek katsayıları olan sabit boyutlu kare matrisler setinde (yani tüm özdeğerler - a priori kompleksi - gerçektir), köşegenleştirilebilir matrisler kümesi yoğundur.

Eşzamanlı köşegenleştirme

Bir ederse aile bir boşluk içinde Endomorfizmlerin E olduğu eşzamanlı köşegenleştirebilir , bu mevcutsa demek ki doğru temelini E tümü için , bunların açıktır ikişer ikişer gidip . (senben)ben∈ben{\ displaystyle (u_ {i}) _ {i \ I’de}}senben{\ displaystyle u_ {i}}senben{\ displaystyle u_ {i}}

Sadece kısmi bir tersine sahibiz: E sonlu boyutta ise veya sonlu ise , ikiye ikiye değişen E'nin köşegenleştirilebilir herhangi bir endomorfizm ailesi aynı anda köşegenleştirilebilir. ben{\ displaystyle I}(senben)ben∈ben{\ displaystyle (u_ {i}) _ {i \ I’de}}

Notlar ve referanslar

1. Yoann Gelineau ( Université Claude-Bernard Lyon 1 ), Köşegenleştirilebilir matrislerin ℳ n (ℂ) cinsinden yoğunluğu, Rombaldi'den sonra, Thèmes pour l ' aggregation de mathematics , s.  51 .
2. Düzeltilmiş alıştırmalar Köşegenleştirme ve Wikiversity'de sabit alt uzaylar .

Kaynakça

(en) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis , Springer, 2010 ( ISBN  978-3-64205154-8 )

İlgili Makaleler

• Temel bileşenler Analizi
• Nilpotent matrisi ( üçgenleştirilebilir ancak köşegenleştirilemez matris örnekleri için ); Köşegenleştirilebilir matris ( aynı anda köşegenleştirilebilir matrisler dahil )
• Matris azaltma
• Endomorfizmin azaltılması