Bir önlemin desteklenmesi
Bir de ölçülen topolojik alan , bir ölçüm desteği ( Borelian ) a, kapalı patolojik durumlar dışında, bu konuda olan ölçüm konsantre edilir .
Tanım
Topolojik uzayda Borelya ölçüsünün (pozitif) desteği, tanımı gereği, tüm kapalı olanların kesişimidir (yani, tamamlayıcısı sıfır ölçüdür). Bazı yazarlar, bu kesişme noktasının tam ölçülü olmasını talep ederek bu tanımı tamamlarlar - eğer bu ek koşul karşılanmazsa, önlemin hiçbir desteği olmadığını düşünürler.
Kapalı bir kesişme noktası olarak, destek topolojik uzayın bir kapalıdır.
Basit örnekler
Bir durumunda Dirac ölçü bir noktasında , a , destek tekil {düşürülür bir }.
Izin vermek, Lebesgue ölçüsüne göre yoğunluk olduğu varsayılan bir ölçü olsun ; biz göstermek böylece, yoğunluğu . Önlemin desteği , Lebesgue ölçüsüne göre fonksiyonun temel desteğine eşittir .
μ{\ displaystyle \ mu}λ{\ displaystyle \ lambda}f{\ displaystyle f}μ=fλ{\ displaystyle \ mu = f \ lambda}μ{\ displaystyle \ mu}f{\ displaystyle f}
Patolojik bir örnek
Olalım ilk sayılamayan sıra , kompakt topolojik uzay ve Dieudonné ölçüsü bir olan, olasılık ölçüsü üzerinde .
Ω{\ displaystyle \ Omega}X{\ displaystyle X} [0,Ω]{\ displaystyle [0, \ Omega]}μ{\ displaystyle \ mu}X{\ displaystyle X}
Sıfır olmayan ölçünün kapalı kesişimi . Ancak (ve \ ): ortam ölçüye konsantre olamıyor. Yukarıda verilen ikinci tanımı kullanırsak, bu önlemin hiçbir desteği olmadığını düşünürüz.
{Ω}{\ displaystyle \ {\ Omega \}}μ({Ω})=0{\ displaystyle \ mu (\ {\ Omega \}) = 0}μ({X{\ displaystyle \ mu (\ {X}Ω})=1{\ displaystyle \ Omega \}) = 1}
Patolojinin yokluğunu garanti eden varsayımlar
Önceki bölümde gözlemlenen fenomen, ancak hem alan hem de ölçüm yeterince karmaşıksa meydana gelebilir. Aslında :
Kanıt : Let olmak bir sayılabilir
açık taban olarak kabul alanı. Tanımın sıfır ölçülü açıklıkların
birleşimi olarak tanımladığı desteğin tamamlayıcısı , aynı zamanda sıfır ölçü ve tabanın elemanları olan açıklıkların birleşimidir . Sıfır ölçüm kümelerinin sayılabilir bir birleşimi olarak, aynı zamanda sıfır ölçüsüdür.
B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle B}- Bu, ölçümün düzenli olması durumunda da geçerlidir .
İspat : Desteğin tamamlayıcısı içinde yer alan bir kompakt olduğunu düşünüyoruz. Bu kompakt, sıfır ölçülü bir açıklıklar ailesi tarafından, dolayısıyla sıfır ölçüsünün sınırlı sayıda açıklığı ile kapsanabilir; bu nedenle sıfır ölçüdedir. Düzenli ölçülerin iç düzenlilik özelliği sayesinde, desteğin tamamlayıcısının ölçüsü bu nedenle kendi başına sıfırdır.
Referanslar
-
(en) Lev Bukovský (sk) , Gerçek Çizginin Yapısı , Springer,2011( ISBN 978-3-0348-0005-1 ) , 130.
-
(en) Charalambos D. Aliprantis ve Kim C. Border , Infinite Dimensional Analysis: A Oitchhiker 's Guide , Springer,2007, 704 s. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , çevrimiçi okuyun ) , 441-442.
-
Marc Briane ve Gilles Pagès, Entegrasyon Teorisi , Paris, Vuibert , ark . "Harika Vuibert kursları",Ekim 2000, 302 s. ( ISBN 2-7117-8946-2 ), egzersiz 6-18, s. 92. Bu referans, λ'nın ayrılabilir bir metrik uzay üzerinde Borelya ölçüsü olduğu daha genel durumla ilgilidir .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">