Anosov sistemi

Dinamik sistemler teorisinde , bir Anosov sistemi aşırı kaotik dinamikler sergileyen hiperbolik bir sistemdir .

Tanım

Diferansiyel dinamik sistem kavramı

Bir diferansiyel dinamik sistem bire-bir ile tanımlanır eşleme arasında faz alanı , tek başına sistem, örneğin, bir başlangıç durumu bu biri ile ilişkili ve zaman yalnızca bir gelecek durum t ( determinism durumu ): ϕt:Γ→Γ{\ displaystyle \ phi _ {t}: \ Gama \ ila \ Gama}x0{\ displaystyle x_ {0}}

x(t) = ϕt(x0){\ displaystyle x (t) \ = \ \ phi _ {t} (x_ {0})}

Zaman zaman t değişir, bu bijection bir oluşturur akışı ile ilgili bir demek ki, tek bir parametre ile sürekli grup örneğin, Γ{\ displaystyle \ Gama} ϕt{\ displaystyle \ phi _ {t}}

ϕ0 = bend{\ displaystyle \ phi _ {0} \ = \ \ mathrm {Kimlik}}

∀ (t,s)∈R2ϕt ∘ϕs = ϕt+s{\ displaystyle \ forall \ (t, s) \, \ içinde \, \ mathbb {R} ^ {2} \, \ quad \ phi _ {t} \ \ circ \ phi _ {s} \ = \ \ phi _ {t + s}}

Bu matematiksel modelleme, örneğin klasik mekaniğin Hamilton akışına ve ayrıca bir Riemann manifoldundaki jeodezik akışa karşılık gelir .

Hiperboliklik özelliği

Hyperbolicity faz alanı ile gösterilmiştir Dmitri Anosov benzer şekilde jeodezik akış olumsuz kavis yüzeylerin hiperbolik geometrisi .

Tipik olarak bir Hamilton akışı için, faz uzayının sabit enerji hiper yüzeyi , hemen hemen her yerde şu tipte bir ayrışmaya izin verir: SE{\ displaystyle S_ {E}}

SE = E0 ⊕ ES ⊕ Eben{\ displaystyle S_ {E} \ = \ E_ {0} \ \ oplus \ E_ {S} \ \ oplus \ E_ {I}}

veya:

• E0{\ displaystyle E_ {0}} akış yönünde tek boyutlu bir manifolddur.
• ES{\ displaystyle E_ {S}}kararlı yönlerin, akışa dik yönlerin alt uzayıdır . Bu yönlere yöneltilen bir tedirginlik için, negatif Lyapunov üslerine karşılık gelen geleceğe yönelik üssel bir daralma vardır (bu nedenle bu çeşitlilik geçmişe karşı istikrarsızdır).
• Eben{\ displaystyle E_ {I}}kararsız yönlerin alt uzayıdır , yönler de akışa diktir. Bu yönlere yöneltilen bir tedirginlik için , geleceğe doğru üssel genişleme vardır ve bu, pozitif Lyapunov üslerine karşılık gelir (bu nedenle bu manifold, geçmişe karşı kararlıdır.).

Genişleme yönlerini tamamlayan belirli büzülme yönlerinin zorunlu olarak var olduğu gerçeği , Hamilton akımının faz uzayında hacmi koruduğunu söyleyen Liouville teoreminin bir sonucu olarak görülebilir .

Dağıtıcı bir kaotik sistem için, faz uzayının her yerinde zorunlu olarak daralan yönler yoktur, ancak genel olarak  dinamiklerin neredeyse hiperbolik olduğu bu faz uzayında en az bir " çekici " alt küme  vardır.

İlgili Makaleler

• Dinamik sistem
• Kaos teorisi
• Ergodik teori
• Başlangıç ​​koşullarına duyarlılık
• Arnold'un Kedisi

Kaynakça

• (en) D. Anosov, "Negatif eğriliğin kompakt Riemann manifoldları üzerindeki jeodezik akışlar", Steklov Matematik Enstitüsü Bildirileri , cilt. 90, n o   1, 1967, s.  1-235

Başlatma kitapları

• John H. Hubbard ve Beverly H. West, Diferansiyel Denklemler ve Dinamik Sistemler , Cassini, 1999 ( ISBN  978-2-84225015-7 )
• Grégoire Nicolis ve Ilya Prigogine , Kompleksle Buluşma , cilt. "Bugünün Felsefesi", PUF , 1992 ( ISBN  978-2-13043606-5 )
• (en) Boris Hasselblatt  (de) ve Anatole Katok  (de) , Son Gelişmelerin Panoramasıyla Dinamiklerde İlk Kurs , Cambridge University Press , 2003 ( ISBN  0-521-58750-6 ) [ çevrimiçi okuyun ]
• (tr) Anatole Katok ve Boris Hasselblatt, Modern Dinamik Sistemler Teorisine Giriş , coll. "Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları" ( n o   54), Cambridge University Press, 1997 ( ISBN  978-0-52157557-7 ) [ çevrimiçi okuyun ]

Daha teknik işler

• (tr) Stephen Smale , Zamanın matematiği - Dinamik Sistemler, Ekonomik Süreçler ve İlgili Konular Üzerine Denemeler , Springer-Verlag, 1980 ( ISBN  978-0-387-90519-8 )
• (tr) Boris Hasselblatt ve Anatole Katok (editörler), Handbook of Dynamical Systems , Elsevier. Uçuş. 1A , 2002 ( ISBN  978-0-444-82669-5 )  ; Uçuş. 1B , 2005 ( ISBN  978-0-444-52055-5 )
• (en) Bernold Fiedler  (de) (ed.), Handbook of Dynamical Systems . Uçuş. 2: Uygulamalar , Elsevier, 2002 ( ISBN  978-0-444-50168-4 )  ; Uçuş. 3: Türevlenebilir Dinamiklerin Geometrik Yöntemleri , Elsevier, 2010 ( ISBN  978-0-444-53141-4 )
• (en) Leonid Bunimovich , Roland Lwowitsch Dobruschin  (de) , Iakov Sinai , Anatoly Vershik ve diğerleri. , Dinamik Sistemler, Ergodik Teorisi ve Uygulamaları , Seri: Matematiksel Bilimler Ansiklopedisi 100 , Cilt paketinin: Matematiksel Fizik, Springer-Verlag, 2 nd  edition, 2000 ( ISBN  978-3-540-66316-4 )

Sanal kitaplık

• Paul Manneville, Dynamical Systems and Chaos , 1998, 233 sayfa [ çevrimiçi okuyun ]Yazar (LadHyX, École Polytechnique) tarafından Sıvı Fiziği ve Mekanikte DEA'ya verilen kurs.
• (en) David Ruelle , "Türevlenebilir dinamik sistemlerin ergodik teorisi", Publ. Matematik. IHES , cilt. 50, 1979, s.  27-58 [ çevrimiçi okuyun ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">