Wythoff boyama

Matematik olarak, Wythoff tablosu bir bir sonsuz matris arasında tamsayılar ile ilişkili Fibonacci dizisi Hollanda matematikçisinden adlandırılan, Willem Abraham Wythoff . Bu tablo, kesin olarak pozitif bir tamsayıyı tam olarak bir kez gösterir ve Fibonacci yinelemesiyle tanımlanan herhangi bir tam sayı dizisi, muhtemelen sonlu sayıda terimle kesilmiş, tablonun bir satırı olarak görünür.

Wythoff tablosu, 1980 yılında Morrison tarafından, Wythoff'un oyunundaki kazanan konumların koordinatları olan Wythoff çiftleri kullanılarak tanımlandı . Kimberling daha sonra Zeckendorf teoremini kullanarak bir tanım verdi .

İlk değerler

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & \ cdots \\ 4 & 7 & 11 & 18 & 29 & 47 & 76 & \ cdots \\ 6 & 10 & 16 & 26 & 42 & 68 & 110 & \ cdots \\ 9 & 15 & 24 & 39 & 63 & 102 & 165 & \ cdots \\ 12 & 20 & 32 & 52 & 84 & 136 & 220 & \ cdots \\ 14 & 23 & 37 & 60 & 97 & 157 & 254 & \ cdots \\ 17 & 28 & 45 & 73 & 118 & 191 & 309 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \\\ end {matrix}}}

Aşağıdaki A035513 ait OEIS .

Tanımlar

Wythoff çiftlerinin tanımı

Daha önce Stolarsky'nin tanımladığı bir tablodan esinlenen Morrison, Wythoff'un resmini şu şekilde tanımlıyor.

Konumunu kazanan oyunu bırakanların Wythoff oyununun pozitif tamsayılar çifti tarafından verilir , olan altın oran ; onun iki koordinatı , birlikte, tam olarak bir kez herhangi bir kesin pozitif tamsayı içeren iki tamamlayıcı Beatty dizisini tanımlar . $ben$ ${\ displaystyle (\ lfloor ben \ varphi \ rfloor, \ lfloor ben \ varphi ^ {2} \ rfloor)}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

Tablonun satırındaki ilk iki sayı , daha sonra bu ilişki tarafından verilen Wythoff çiftinin iki öğesidir ve satırdaki kalan sayılar Fibonacci tekrarlama ilişkisi tarafından belirlenir. Başka bir deyişle, satırın katsayısını ve tablonun sütununu belirtirse: $m$ ${\ displaystyle i = \ lfloor m \ varphi \ rfloor}$ ${\ displaystyle A_ {m, n}}$ $m$ $değil$

{\ displaystyle A_ {m, 1} = \ sol \ lfloor \ lfloor m \ varphi \ rfloor \ varphi \ sağ \ rfloor}

{\ displaystyle A_ {m, 2} = \ sol \ lfloor \ lfloor m \ varphi \ rfloor \ varphi ^ {2} \ sağ \ rfloor}

, ve

{\ displaystyle A_ {m, n} = A_ {m, n-2} + A_ {m, n-1}}

için .

n> 2

Her şey için geçerli bir formül olduğunu . $(m, n)$ ${\ displaystyle A_ {m, n} = (m-1) F_ {n} + \ sol \ lfloor m \ varphi \ sağ \ rfloor F_ {n + 1}}$

Zeckendorf temsiline göre tanım

Arasında Zeckendorf temsili bir katı pozitif tamsayı Fibonacci dizisinin ardışık olmayan ve sıfır olmayan terimlerin toplamı olarak benzersiz bir yazıyor. Kimberling'in fark ettiği gibi, tablonun satırlarındaki terimler, terimleri Fibonacci dizisinde düzenli olarak değişen bir Zeckendorf temsiline sahiptir ve sütunlardaki terimler, aynı daha küçük terime sahip Zeckendorf temsillerine sahiptir.

Örneğin ikinci satırda 4 = 1 + 3, 7 = 2 + 5, 11 = 3 + 8 vb. Ve ikinci sütunda, 7 = 2 + 4, 10 = 2 + 8, 15 = 2 + 13, 20 = 2 +5 +13 ile . ${\ displaystyle 2 = F_ {3}}$

Daha genel olarak, Zeckendorf gösterimi Fibonacci indeks sayısı ile başlayan sayıları artan sırayla sınıflandırırsak , tablonun terimi -ki. $n + 1$ ${\ displaystyle A_ {m, n}}$ $m$

Özellikleri

Her Wythoff çifti, Wythoff tablosunda tam olarak bir kez görünür; ilk sayı için tek bir dizin ve ikincisi için çift bir dizin bulunur. Tam olarak bir Wythoff çiftinde yer alan her pozitif tam sayı, her bir pozitif tam sayı tabloda tam olarak bir kez geçer.

Fibonacci yinelemesini karşılayan her pozitif tamsayı dizisi Wythoff tablosunda görünür ve en fazla sonlu sayıda konumla kaydırılır. Özellikle, Fibonacci dizisinin kendisi birinci sıradadır ve Lucas dizisi ikinci sıradadır.

Referanslar

(en) Stolarsky, KB, " Her doğal sayı tam olarak bire ait olacak şekilde bir dizi genelleştirilmiş Fibonacci dizisi " , Fibonacci Quarterly, 15 (3): 224 ,1977( çevrimiçi okuyun )
(in) Morrison CD'si, " Wythoff meslektaşlarının bir Stolarsky dizisi " , Fibonacci Dizisiyle İlgili El Yazmaları Koleksiyonu, Santa Clara, Calif: The Fibonacci Association ,1980, s. 134-136 ( çevrimiçi okuyun )
(inç) Kimberling, Clark, " Zeckendorf dizisi Wythoff dizisine eşittir " , Fibonacci Quarterly, 33 (1) ,1995, s. 3-8 ( çevrimiçi okuyun )

Dış bağlantı

Weisstein, Eric W. " Wythoff Dizisi ". MathWorld.