Dirichlet birimleri teoremi

Gelen cebirsel sayılar teorisi , Dirichlet birim teoremi bir için belirler sayılar alanının K a için demek ki - sonlu uzantısı alanı ℚ ait rasyonel sayılar - "yapısı birimlerinin grubun " (veya: grup arasında invertibles ) ait halkanın onun içinde cebirsel tamsayılar . O, bu grup olduğunu belirler izomorfik için ürünün a sonlu siklik grubu ve bir serbest değişmeli grup seviye arasında r 1 + r, 2 - 1 bakır r, 1 sayısını ifade etmektedir Morfizm den K içinde ℝ ve r, 2 sayısını çiftleri arasında eşlenik morfizimler gelen K içine ℂ değil tüm gerçek değerleri ile.

Tanımlar ve teorem

Bir sayı alanı, ℚ'nin sonlu bir uzantısıdır, yani, of'nin üzerinde bir vektör uzayı olarak sonlu boyutlu bir ℂ alt alanıdır . Eğer K , böyle bir alan boyutuna sahip olup , n ℚ ile, vücut Morfizm (veya tespitlerinin) sayısı K ℂ olarak eşittir n (madde “bakınız Ayrılabilir uzantısı ”). Şimdi, konjugasyon otomorfizminin ve bir yerleştirmenin bileşiği hala bir yerleştirmedir. Bu nedenle, n = r 1 + 2 r 2'ye sahibiz , burada r 1 gerçek değerlere sahip düğün sayısını ve r 2 tüm gerçek değerleri olmayan birleşik düğün çiftlerini ifade eder.
Karmaşık bir sayının, göreceli tamsayıların ℤ halkasındaki katsayıları olan bir birim polinomunun kökü olması durumunda cebirsel bir tam sayı olduğu söylenir .
R ranklı bir serbest değişmeli grup, ℤ r'ye izomorfik bir gruptur .

Dirichlet'in birim teoremi şu şekilde ifade edilir:

K sayıları alanındaki tamsayılar halkasının birimler grubu, K biriminin köklerinin ve r 1 + r düzeyindeki serbest değişmeli grubun grubunun çarpımına (çift mertebeden sonlu döngüsel) izomorftur. 2 - 1, burada r 1 , K'nin ℝ'daki gömme sayısını ve r 2 , ℂ'daki K'nin gerçek olmayan gömme çiftlerinin sayısını belirtir.

Örnekler

İkinci dereceden bir alanın integral kapanışını , yani ℚ'nin ikinci dereceden genişlemesinin cebirsel tamsayılar halkasını düşünün . (Bu özel durumda teoremin doğrudan bir kanıtı ayrıntılı makalede verilmiştir.) Yani burada: r 1 + 2 r 2 = 2.

Bu halka gerçek sayılar alanına dahil edilirse, r 2 sıfırdır, dolayısıyla r 1 2'ye eşittir. Grup, {1, –1} × ℤ'ye izomorftur. Bu durum, örneğin , ikinci dereceden alanın ℚ ( √ 5 ) tam sayılarıdır . Pell-Fermat denklemi gerçek kuadratik alanın tamsayılar halkasının birimlerinin grubun saptaması kullanılarak çözülmektedir.

Aksi takdirde, r 2 1'e eşittir ve r 1 sıfırdır. Grup sonlu döngüseldir; Gaussian ve Eisenstein tamsayıları dışında genellikle {1, –1} 'e indirgenir . Kuadratik tamsayıların bu iki halkası, bir sayı alanının sonlu mertebeden birimlerden oluşan bir gruba kesinlikle 2'den büyük olan yegane integral kapanışlarıdır.

ℚ'nin kendisi ve hayali ikinci dereceden alanlar dışındaki herhangi bir sayı alanı için, r 1 + r 2 - 1 sıralaması 1'den büyük veya ona eşit olduğundan, tamsayılar halkasının birimler grubu sonsuzdur. yalnızca alan gerçek kuadratik veya karmaşık kübik (en) veya tamamen hayali dörtlü (en) ise . Bu üç durumda, serbest değişmeli faktörün of herhangi bir üreteci, temel birim (en) olarak adlandırılır .

Gösteri

N = r 1 + 2 r, 2 ve kalıplamaların K ℂ içinde σ belirtilmiştir 1 , ..., σ n , r, 1 , ilk gerçek katıştırmalarını ve belirten {σ r 1 + K , σ r 1 + r, 2 + k } ( 1'den r 2'ye kadar olan k için ) eşlenik düğün çiftlerini belirtir.

Bir K elemanının göreceli normu , eşlenik elemanlarının rasyonel çarpımıdır :

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (\ alpha) = \ sigma _ {1} (\ alpha) \ ldots \ sigma _ {n} (\ alpha) = \ sigma _ {1} (\ alpha) \ ldots \ sigma _ {r_ {1}} (\ alpha) | \ sigma _ {r_ {1} +1} (\ alpha) | ^ {2} \ ldots | \ sigma _ {r_ {1} + r_ {2}} (\ alpha) | ^ {2}.}

Α halkasına ait ise O K cebirsel tamsayılar K bu rasyonel bir tamsayıdır ve α grubu ait E ( K birimler) O K , bu tam sayı ± 1 ise ve ancak.

Bu, aşağıdaki grup morfizminin tanımını motive eder :

{\ displaystyle {\ begin {matrix} L: & E (K) & \ rightarrow & \ mathbb {R} ^ {r_ {1} + r_ {2}} \\ & \ alpha & \ mapsto & {\ büyük ( } \ log | \ sigma _ {1} (\ alpha) |, \ cdots, \ log | \ sigma _ {r_ {1}} (\ alpha) |, 2 \ log | \ sigma _ {r_ {1} + 1} (\ alpha) |, \ ldots, 2 \ log | \ sigma _ {r_ {1} + r_ {2}} (\ alpha) | {\ büyük)}, \ end {matris}}}

ln, logaritma işlevini belirtir ve $| x |$ temsil eder mutlak değerini ve $x$ ya da modül bağlı olarak, $x$ gerçek ya da karmaşıktır.

Nispeten basit birkaç gözlem, ifadenin büyük bir bölümünü göstermeyi mümkün kılar:

Yapı ile, görüntü bölgesinin L dahildir hiper ℝ ait r 1 + r 2 ile denklem Σ x k = 0;
Konjüge elemanları üzerinde bir lemma herhangi bir gerçek teyit sağlar M , içinde vardır O K ve bir ziyade - D ( K ) - tüm konjugatları düşük modüllü olmaktadırlar ya da eşit olan elemanların yalnızca sınırlı sayıda M .
- L' nin görüntüsü sonuç olarak bu hiper düzlemin ayrı bir alt grubudur , bu nedenle r 1 + r 2 - 1'den küçük veya ona eşit bir serbest değişmeli rütbe grubudur .
- Bu lemmanın, biz da çıkartılabilir çekirdek bölgesinin L ℂ çarpımsal grubu sonlu bir alt grubudur , çevrimsel ve birlik kökleri oluşur. Tersine, K biriminin herhangi bir kökü açıkça bu çekirdeğe aittir.
- Son olarak, –1 çekirdeğin 2. dereceden bir elemanıdır, bu nedenle bu sonlu grup çift sıralıdır.

Böylece zaten elde ederiz:

{\ displaystyle E (K) \ simeq C \ times \ mathbb {Z} ^ {r} {\ text {with}} C {\ text {sonlu döngüsel ve}} r \ leq r_ {1} + r_ {2} -1,}

burada C , K'nin birliğinin kökleri grubudur .

Ancak teoreminin kanıtı ana parçası göstermektir r, aynı zamanda daha büyük ya da ona eşit olan r 1 + r, 2 : 1 - . Bunun için Minkowski teoremini ve ideal sınıflar grubunun özelliklerini kullanıyoruz .

Özel durum: r 1 = 2 ve r 2 = 0 olduğunda r ≥ 1 olduğunu kanıtlayın .

Bu, gerçek bir ikinci dereceden alanın özel durumudur: K = ℚ ( $\sqrt d$ ), d > 0 ve O K = ℤ [ω]. ℝ 2'deki E ( K ) ' den L morfizmi burada α ortaklarına (ln (| α |), ln (| α c |)) ait haritadır . Çekirdeği C , {–1, 1} alt grubudur.

Gerçek bir B sayısı ve mutlak değerdeki normu B'den küçük olan O K'nin sonsuz sayıda elemanı vardır .

Kullanılan argüman geometriktir, Minkowski teoreminin bir ağ üzerinde kullanımına karşılık gelir , burada ℝ 2 . ℝ 2 ağı, ayrı bir alt gruptur. Grafiksel olarak, 4 köşe nu + mv tarafından oluşturulan bir ızgaraya karşılık gelir; burada u ve v , ℤ ' nin elemanlarının 2 ve n ve m'nin iki serbest vektörüdür. Şebekenin temel hacmi V , 0, u , v , u + v dört noktasının oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir . Minkowski'nin teoremi, (0, 0) merkezli ve temel hacmin 4 katından daha büyük bir alana sahip bir dikdörtgenin sıfır noktasından farklı kafesin en az bir noktasını içerdiğini gösterir.

Bu tercih B daha sıkı bir şekilde daha büyük bir V ve elemanların α karşılık gelen nokta arasında bir dizi oluşturmak n olan bir norm her zaman daha kuçuk bir mutlak değer olan ℤ arasında [ω], B , ve dikdörtgen bir dizi. Dikdörtgenin genişliği, ℤ [ω] öğelerinin sırasının önceki noktalarının yeni dikdörtgenin parçası olamayacağından emin olmak için her seferinde yeterince azalır. Dikdörtgenin yüksekliği, Minkowski teoreminin bize yeni dikdörtgende ℤ [ω] noktasının varlığını temin etmesine yetecek kadar artar.

Φ , α elemanının (α, α c ) birleştiği ℝ 2'deki K'nin haritası olsun . Φ tarafından O K görüntüsü , u = (1, 1) ve v = (ω, ω c ) vektörleri tarafından üretilen ℝ dizi 2'dir , çünkü (1, ω) ℤ- Modül O K'nin bir tabanını oluşturur .

0'da 2 t n genişliğinde ve 2 B / t n yüksekliğinde ortalanmış R n dikdörtgen serilerini ele alıyoruz . Yüzeyleri her zaman 4 B'ye eşittir ve Minkowski'nin teoremine göre ℤ [ω] imgesinin bir noktasını içermeleri gerekir. Bir nokta β O K görüntü cp ile dikdörtgen olan R, n , en az bir mutlak değere sahiptir t , n ve daha az bir mutlak değere sahip olan bir konjugatın B / t n . Dolayısıyla normu, B.

Bize indüksiyon sekansları ile (tanımlayalım t , n dikdörtgenler yarım uzunluğu ve a tekabül eden), N noktaları dizisi O K görüntü içinde R , n . Biz set t 0 = 1 ve α 0 olan görüntü içinde ℤ [ω] olmayan bir sıfır noktası ve R 0 . N siparişinde tanımlanan iki diziyi varsayalım . Let t , n + 1 olduğu katı bir pozitif gerçek ve kesinlikle daha az α mutlak değerinden daha n . R n + 1 dikdörtgeni , eğer j n'den küçük veya n'ye eşitse , α j'nin görüntüsünü içermez , çünkü uzunluğu, mutlak değerde azalan bir dizi oluşturan α j'nin en küçüğünün mutlak değerinden kesinlikle daha küçüktür . Öte yandan, 4 B > 4 V'ye eşit olan yüzeyi, Minkowski teoremine göre , görüntüsü R n + 1 dikdörtgeninin içinde olan sıfır olmayan bir α n + 1 noktasının varlığını garanti eder . Dizi (α n ), normun mutlak değeri kesinlikle B'den küçük olan, farklı noktaların sonsuz bir dizisidir .

İki farklı endeksleri i ve j ve bir birim bulunmaktadır ε arasında ℤ [ω] öyle ki a i ε.α = j :

Diğer bir deyişle, belirterek J i ana doğru oluşturulan α i : iki tane mevcut farklı indeksleri i ve j, örneğin J i J = j . Let , N > 0 bir tam sayı olacağı şekilde normlarına mutlak değerlerinin dizisi α i değerini alır , N endeksleri sonsuzluk ı (bu dizi, sınırlı olduğu için, böyle bir tamsayıdır var). Karşılık gelen tüm J i , N ℤ [ω] içeren ℤ [ω] 'nin toplamsal alt gruplarıdır . Bunlar alt grupları ile bijectively karşılık geldiğinden bunlardan sadece sınırlı bir sayıda, bu nedenle bulunmaktadır bölüm grubu ℤ [ω] / N (kardinal sonlu olan ℤ [ω] , N 2 ). Dolayısıyla sonuç.

Farklı bir ± 1 birimi vardır .

Let , i j ve olmak s yukarıdaki gibi. Α i ve α j farklı mutlak değerlere sahip olduğundan, α i / α j bölümüne eşit olan ε'nin ± 1'e eşit olamayacağı sonucuna varıyoruz. Böylece ± 1'den farklı bir birimin varlığını göstermiş olduk.

Genel durum: r ≥ r 1 + r 2 - 1 olduğunun kanıtı .

Şunlardır:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ Sigma: & K & \ longrightarrow & \ mathbb {R} ^ {r_ {1}} \ times \ mathbb {C} ^ {r_ {2}} \ simeq \ mathbb {R } ^ {n} & \\ & \ alpha & \ mapsto & \ Sigma (\ alpha) & = {\ big (} \ sigma _ {1} (\ alpha), \ cdots, \ sigma _ {r_ {1} + r_ {2}} (\ alpha) {\ büyük)}; \ end {matris}}}$
V ağın temel hacmi Σ ( O K );
gerçek sayılar $c j$ dışbükey için yeterince büyük ${\ displaystyle X = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {r_ {1} + r_ {2}}) \ in \ mathbb {R} ^ {r_ {1}} \ times \ mathbb {C} ^ {r_ {2}} ~ | ~ \ forall j, | x_ {j} | <c_ {j} \}}$ veya 2 $n$ V'den kesinlikle daha büyük bir hacme sahip ;
${\ displaystyle c = c_ {1} \ ldots c_ {r_ {1}} c_ {r_ {1} +1} ^ {2} \ ldots c_ {r_ {1} + r_ {2}} ^ {2}; }$
$a 1$ O K ,…, $a N$ O K , normu mutlak değer olarak $c$ ile yükseltilen ana ideallerdir(ideal sınıflar grubunun incelenmesi, bunların sonlu olduğunu gösterir);
$y 1 ,\dots, y r 1 + r 2$ tarafından tanımlanan gerçek sayılar ${\ displaystyle \ forall j \ geq 2, ~ y_ {j} = {\ frac {c_ {j}} {\ min (| \ sigma _ {j} (a_ {1}) |, \ ldots, | \ sigma _ {j} (a_ {N}) |)}} \ quad {\ text {et}} \ quad y_ {1} \ ldots y_ {r_ {1}} y_ {r_ {1} +1} ^ {2 } \ ldots y_ {r_ {1} + r_ {2}} ^ {2} = 1.}$

Yani :

Minkowski'nin teoremine göre, O K'da sıfır olmayan $bir$ eleman vardır $,$ öyle ki ; ${\ displaystyle \ scriptstyle \ forall j, ~ | \ sigma _ {j} (a) y_ {j} | <c_ {j}}$
biz bunu anlıyoruz . Eleman $, bir$ formunun nedenle $bir$ $k$ $u$ $1$ , bir kesin $k \leq N$ ve belirli bir birim $u$ $1$ ; ${\ displaystyle \ scriptstyle | {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (a) | <c}$
tanımı ile $bir 2 , ... orada r 1 + r 2$ , sonra: . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ forall j> 1, ~ | \ sigma _ {j} (u_ {1}) | <1}$

Aynı şekilde, 2'den r 1 + r 2 - 1'e kadar olan tüm $i'ler$ için , öyle bir $u$ $i$ birimi oluşturuyoruz . Bu durumda, her biri için $i$ , 1'den r 1 + r, 2 - 1 bakır toplamı r 1 + r 2 vektör bileşenlerinin $L$ $($ $u$ $i$ $)$ sıfırdır ve kesinlikle hariç negatiftir $i$ 'inci. Bu vektörlerin sıralar halinde düzenlenmesi ve son sütunun çıkarılmasıyla elde edilen r 1 + r 2 - 1 boyutundaki kare matris kesinlikle köşegen baskındır, bu nedenle tersine çevrilebilir , böylece $($ $L$ $($ $u$ $1$ $),\dots,$ $L$ $($ $u$ $r$ $1$ $+$ $r$ $2$ $-1$ $))$ ücretsizdir. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ forall j \ neq i, ~ | \ sigma _ {j} (u_ {i}) | <1}$

Uzantılar

Birimlerin kıtlığı, L görüntüsünün temel hacmi ile ölçülür (ℝ x k = 0 denklemi ile ℝ r +1 hiper düzleminde ). Bu hacim eşittir R $\sqrt$ $r$ $+ 1$ , R, bir düzenleyici bir K mutlak değer olarak tanımlanır, belirleyici boyutu herhangi kare matrisin r satır düzenlenmesi ile elde r Im'nin bir temelin vektörleri ( L ) ve bir sütunu silmek.

Ek olarak, birimler grubunun serbest kısmı için bazların hesaplanması etkilidir, ancak pratikte, K uzantısının r 1 + 2 r 2 derecesi arttıkça hesaplamaların karmaşıklığına karşı çıkmaktadır (genellikle problemler 100 dereceden önce meydana gelir) .

Teoremi çeşitli eksenlerde genellemeler itiraf: çalışma S-birim grubunun , için S asal ideallerin bir dizi, yani kabaca, örneğin bileşenleri tüm faktörlere göre bir reçete numarası hariç, ters çevrilebilir olan elementleri konuşma, demek ki; veya bir Galois grubunun bu birim grupları üzerindeki eylemi için karakterler .

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Dirichlet birim teoremi " ( yazarların listesini görmek ) .

Bu makale kısmen veya tamamen “başlıklı makalesinden alınmıştır kuadratik tamsayılar bir halkanın birimlerinin Grubu ” (bkz yazarların listesini ) .

Bu sunum verilen genel durumda kanıtı esinlenerek Bas Edixhoven , " sayıların cebirsel kuramı " üzerine, Rennes 1 Üniversitesi , yüksek lisans ders matematik,2002, s. 40-41.
Inspired (en) Gerald J. Janusz , Cebirsel Sayı Alanları , Academic Press , diğerleri. "Saf ve Uygulamalı Matematik" ( n o 55)1973, 3 e ed. , 220 p. ( ISBN 978-0-12-380250-7 , çevrimiçi okuyun ) , s. 58-61

Ayrıca görün

Dış bağlantılar

Cebirsel sayılar ve sayılar p-adik tarafından Loic Merel , doktora çalışmaları 2003-04, hazırlık kursları Üniversite Pierre ve Marie Curie , Üniversite Denis Diderot
(tr) Dirichlet birim teoremi Robert B. Ash, Illinois Üniversitesi , 2002

Kaynakça

Pierre Samuel , Cebirsel sayı teorisi [ baskının detayı ]