Bertrand teoremi

Bertrand teoremi bir sonucudur mekanik matematikçi adını, Joseph Bertrand Bir o kurar 1873 yılında gösterdiği (1822-1900) hareket merkezi kuvvet , hukukun sadece kuvvet Hooke (içinde $- k OM$ , bir üretir hangi elips burada pericenter P ve apocenter a bir açı (POA) 90 eşit °) oluşturacak Newton (tr $- k / r 2 u r$ (eğer 180 °), kapalı bir yörünge üretmek olan açı (POA bir elips üretir) yörünge önceden sınırlandırılmıştır), başlangıç koşulları ne olursa olsun .

Arnold'un gösterisi

Lemma 1 : $1 / r n$ kuvvet yasasına AOP açısının, $E 0$ enerjisinegatif değerlerle sıfıra doğru eğilimli olduğu ve dolayısıyla aposentre oldukça eksantrik olduğu zaman gösterilmiştir ; ( $n$ $<3$ , santrifüj bariyerinin çökmemesi için ). ${\ displaystyle {\ widehat {AOP}} = {\ pi \ üzeri {3-n}}}$
Lemma 2 : $U ( r ) 'nin$ bir güç yasası olması gerektiğini yarı dairesel duruma bakarak gösteriyoruz ( merkezi kuvvetle harekete bakın ): (logaritmik durum $n$ $= 1$ , doğrudan inceleme ile hariç tutulur). ${\ displaystyle {\ widehat {AOP}} = {\ pi \ over {\ sqrt {3-n}}}}$
Sonuç : $3 - n = 1'e$ ihtiyacımız var ; Kepler'in yörüngelerinde durum böyledir .
Lemma 3 : kuvvet durumda $r p$ ikiliği ile çözülür kuvvet dönüşümünün : $(3 + p ) (3 - n ) = 4$ ; sonuç olarak, $n = 2,$ $p = 1'e$ karşılık gelir : bu, Hooke elipsi durumudur .

Hooke'un lineer durumunun (çok basit) Kepler'in problemine çözüm verdiğini ilk fark eden Isaac Newton'dur. Édouard Goursat , Tullio Levi-Civita ve ardından Karl Bohlin , Hooke'un yörüngesini Kepler'in yörüngesine dönüştüren ve zaman ölçeğini değiştirerek Hooke hareketini Kepler'in hareketine dönüştüren $z \to z 2$ konformal dönüşüm yoluyla bu teoremi yeniden keşfetti , ancak açıkçası kuvvet değişti den $-KR$ için $- k ' / r 2$ : Bu denir düzenlileştirme de 'şoku' ve neredeyse sıfır açısal momentum .

Bertrand sorununun genelleştirilmesi

Merkez alanı üstlenmezsek, açıkça daha fazla olasılık vardır. Bazılarını biliyoruz. İki derece serbestlik için, bu, sistem iki koordinat sisteminde ayrılabilir bir Hamilton-Jacobi denklemine sahip olduğunda gerçekleşir . Bu durumlar, makale potansiyel kuyularında belirtilen süpersimetriye atıfta bulunur .

Küre üzerinde serbest hareket S 3 ile verir stereografik projeksiyon Hamiltoniyen'i olan yörüngeleri açıkça kapatılır. ${\ displaystyle H = {p ^ {2} \ over (1 + q ^ {2}) ^ {2}}}$
İlgili serbest hareketi arasında armut Jules Tabakhane , Kartezyen denklem $16 , bir 2 ( x 2 + y 2 ) = z 2 (2 , bir 2 - z 2 )$ (1892) periyodik
Yörüngelerin konik olmasını talep edersek , Darboux (1877) ve Halphen (1877) , $d$ düzlemin düz bir çizgisine olan mesafeyi temsil ettiği $r / d 3'te$ iki merkezi kuvvet (muhafazakar değil çünkü kutup açısına bağlıdır) buldular ( Newton bir polar ile) ve genellemesidir $r$ $/$ $D$ $3$ ile $D$ $2$ $=$ $ax$ $2$ $+ 2$ $bxy$ $+$ $cy$ $2$ .
Merkezi kuvvet fikrini terk edersek, yörüngeler iki tür paralel kuvvetler aracılığıyla konik olabilir .
Son olarak S 2 küresi üzerinde Besse (1978), dönüş simetrisi olmaksızın kapalı eğrilere yol açan metriğin deformasyonlarını verir.

Notlar ve referanslar

Bilimler Akademisi , cilt. 77, p. 849
gösteri ait Herbert Goldstein , Klasik Mekanik , 2 nd ed., 1980 ise daha basit Maple veya Mathematica gibi bir bilgisayar cebir sistemi ile .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Dış bağlantılar

Orijinal makale Joseph Bertrand (1873) [1] ve İngilizce çevirisi [2] .
Herbert Goldstein, Klasik Mekanik , 1964, PUF .
Perelomov, ' ' Integrable system s (1990), ed. Birkhaüser, ( ISBN 3-76432-336-1 )
Eddie Saudrais, H. Goldstein'a dayanan gösteri, Classical Mechanics, ikinci baskı, 1980. [3]
Başka bir gösteri: Ters problem ve Bertrand teoremi . [4]
Başka bir kanıt: Bertrand teoreminin pertürbatif olmayan bir kanıtı . [5]