Kinetik torsor
Kinetik torsor a, matematiksel bir araç olarak kullanılan katı mekaniği hesaplamak için, özellikle de, kinetik enerjiyi bir sistemin ve uygulamak için dinamiklerinin temel prensibi .
Tanım
Izin vermek bir referans çerçevesi R ve yoğunluk alanını ρ için tanımladığımız katı bir S olsun. Hız vektörü, katının herhangi bir M noktasında tanımlanabilir . Bu vektör alanından, aşağıdakilerle gösterilen belirli bir A noktasına göre açısal momentumu tanımlayabiliriz :
V→(M){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M})}σ→AT(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R})}
σ→AT(S/R)=∫SATM→∧V→(M,S/R)ρ(M)dV=∫SATM→∧V→(M,S/R)dm{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ overrightarrow {\ mathrm {AM}} } \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}} = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ mathrm {d} m}}burada dV, M noktası etrafındaki sonsuz küçük bir temel madde hacmidir ve d m = ρ (M) dV bu elementin kütlesidir. Açısal momentum kg⋅m 2 ⋅s -1 olarak ifade edilir .
Katı cismin her bir A noktasına kıyasla bir açısal momentum tanımlanabilir. Açısal momentum böylece bir vektör alanı oluşturur. Bu alandır equiprojective : böylece bir olduğunu torsor kinetik torsor denilen, (ile karıştırılmamalıdır kinematik torsor ).
Gösteri
Gösterimleri hafifletmek için katı S'ye ve referans çerçevesi R'ye referanslar atlanır.
Sahibiz
σ→B-σ→AT=∫(BM→-ATM→)∧V→(M)dm=∫BAT→∧V→(M)dm=BAT→∧∫V→(M)dm=BAT→∧p→{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {B}} - {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} = \ int ({\ overrightarrow {\ mathrm {BM}} } - {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}}) \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = \ int {\ overrightarrow {\ mathrm { BA}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge \ int {\ vec { \ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge {\ vec {p}}}veya
p→=∫V→(M)dm{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ int {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m}noktadan bağımsızdır.
Bir sonuç vardır, bu nedenle alan eşittir.
Dinamik torsöre gelince ve kinematik torsorun tersine, katının deforme edilemez olduğunu varsaymak gerekli değildir.
Sonuç
Torsorun sonucuna momentum denir ve not edilir . Şu şekilde tanımlanır (yukarıdaki gösterime bakın):
p→(S/R){\ displaystyle {\ vec {p}} (\ mathrm {S / R})}
p→(S/R)=∫SV→(M,S/R)ρ(M)dV=∫SV→(M,S/R)dm{\ displaystyle {\ vec {p}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}} = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M }, \ mathrm {S / R}) \ mathrm {d} m}}Kg⋅m⋅s −1 olarak ifade edilir . Dikkat
p→(S/R)=mV→(G/R){\ displaystyle {\ vec {p}} (\ mathrm {S / R}) = m {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {G / R})}G, atalet merkezini ve m katı S'nin toplam kütlesini gösterir.
İndirgeme elemanları
Tüm gibi torsörlerin , kinetik torsor ortaya çıkan vektör verileri ve belli bir noktadan A'da açısal momentumun değeriyle söylemek bir noktada indirgeme elemanları ile temsil edilebilir: Sonra not ederiz
VS(S/R)={p→(S/R)σ→AT(S/R)}AT/R{\ displaystyle {{\ mathcal {C}} (\ mathrm {S / R})} = {\ begin {Bmatrix} {\ vec {p}} (\ mathrm {S / R}) \\ {\ vec { \ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) \ end {Bmatrix}} _ {\ mathrm {A / R}}}
Sinematik an
Açısal momentum vektörü de yazılabilir
σ→AT(S/R)=ATG→∧mV→AT(S/R)+[benAT(S)]⋅Ω→(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ wedge m {\ vec {\ mathrm { V}}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) + [\ mathrm {I_ {A}} (\ mathrm {S})] \ cdot {\ vec {\ Omega}} ( \ mathrm {S / R})}burada [I A (S)] olan atalet matrisi (ya da eylemsiz bir noktadan göre S operatörü), ve bir açısal hız vektörü S. (ya da dönüş hızı)
Ω→(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} (\ mathrm {S / R})}
Açısal momentumu G cinsinden yazarsak:
σ→G(S/R)=[benG(S)]⋅Ω→(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R}) = [\ mathrm {I_ {G}} (\ mathrm {S})] \ cdot {\ vec {\ Omega}} (\ mathrm {S / R})}nereden :
σ→AT(S/R)=ATG→∧mV→G(S/R)+σ→G(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ wedge m {\ vec {\ mathrm { V}}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R}) + {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R})}
Dinamik torsor ile ilişki
Dinamik moment tarafından açısal momentumu türeyemez
δ→AT(S/R)=ddtσ→AT(S/R)+m⋅V→AT/R∧V→G(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) + m \ cdot {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {\ mathrm {A / R}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R})}Bu ilişki, A noktalarının hız vektörü G'nin hız vektörü ile eşdoğrusal olduğunda basitleşir - A = G olduğunda a fortiori - veya A, R'de sabit bir nokta olduğunda:
δ→AT(S/R)=ddtσ→AT(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R})}
D(S/R)AT=ddt[VS(S/R)AT]{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ sol [{{\ mathcal {C}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} \ sağ]}
Kinetik enerji
Burulma notasyonları sayesinde bir katının kinetik enerjisini hesaplayabiliriz . İkincisi, kinematik torsör tarafından kinetik torsörün komomentinin yarısına eşittir .
T(S/R)=12{VS(S/R)G}⊗{V(S/R)G}{\ displaystyle \ mathrm {T} (\ mathrm {S / R}) = {\ frac {1} {2}} {\ begin {Bmatrix} {\ mathcal {C}} (\ mathrm {S / R}) _ {\ mathrm {G}} \\\ end {Bmatrix}} \ otimes {\ begin {Bmatrix} {\ mathcal {V}} (\ mathrm {S / R}) _ {\ mathrm {G}} \\ \ end {Bmatrix}}}
Kinetik enerji joule (J) cinsinden ifade edilir.
Kaynakça
- Michel Combarnous , Didier Desjardins ve Christophe Bacon , Katıların mekaniği ve katı sistemleri , Dunod , coll. "Yüksek bilimler",2004, 3 e ed. ( ISBN 978-2-10-048501-7 ) , s. 97-99
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">