Burulma

Bir ucuna gömülü, diğer ucu serbest olan bir uzunlukta bir ışın düşünün . Serbest ucun düz kısmına bir yarıçap çizin; küçük deformasyonlarda, bu ışının doğrusal kaldığı varsayılır, bir açıyla döner . Deformasyonun homojen olduğu varsayılır, belirlenmemiş bir enine kesitin etrafında döndüğü açı, sabit desteğe olan mesafeye doğrusal bir şekilde bağlıdır. Dönme oranını veya burulma birim açısını şu şekilde tanımlarız : L{\ displaystyle L}α{\ displaystyle \ alpha} θ{\ displaystyle \ theta}

θ=α/L{\ displaystyle \ theta = \ alpha / L}

θ{\ displaystyle \ theta} metre başına radyan (rad / m) cinsinden ifade edilir.

Bir jeneratör çizersek, sarmal şeklini alır .

Euler-Bernoulli teorisine göre , eğer biri küçük deformasyonlarda kalırsa, burulma momenti, burulma eksenine kıyasla mesafeyle orantılı olan kisyonlar (kayma gerilmeleri) oluşturur : Mt{\ displaystyle M_ {t}}τ{\ displaystyle \ tau}r{\ displaystyle r}

τ(r)=MtbenGr{\ displaystyle \ tau (r) = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I _ {\ mathrm {G}}}}} r}

veya

• Mt{\ displaystyle M_ {t}} torktur;
• benG{\ displaystyle I_ {G}} kesitin şekline (bir boru durumunda dış çap ve iç çap) bağlı olarak ikinci dereceden burulma momentidir.

Burulma birim açısı şu şekilde verilir:

θ=MtG⋅benG{\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} \ cdot \ mathrm {I _ {\ mathrm {G}}}}}}

Silindirin bir genel matrisinin iki noktasını göz önünde bulundurun ve ilgili bir mesafede ve girintili kısımda ve nötr eksenden (silindir ekseni) aynı mesafede yer alır. Burulma ile, kendi düz bölümlerinde kalırlar (düzgün burulma) ve merkez ve yarıçaplı bir daire üzerinde hareket ederler  ; sırasıyla ve olurlar . AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}x{\ displaystyle x}x+dx{\ displaystyle x + \ mathrm {d} x}r{\ displaystyle r}G{\ displaystyle G}r{\ displaystyle r}AT′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}

Nokta bir açıyla döner , bu nedenle bir uzunluk yayı boyunca hareket eder . Aynı şekilde, nokta bir miktar hareket eder . Deformasyon bu nedenle değerlidir AT{\ displaystyle A}θ×x{\ displaystyle \ theta \ times x}senAT=θ×x×r{\ displaystyle u_ {A} = \ theta \ times x \ times r}B{\ displaystyle B}senB=θ×(x+dx)×r{\ displaystyle u_ {B} = \ theta \ times (x + \ mathrm {d} x) \ times r}

γ=dsendx=senB-senATdx=θ×r{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {u_ {B} -u_ {A}} {\ mathrm {d} x}} = \ theta \ times r}

Suşun ile doğrusal olarak değiştiği sonucuna varılmıştır . γ{\ displaystyle \ gamma}r{\ displaystyle r}

Dolayısıyla, Hooke'un kayma yasasına göre , gerilim de doğrusal olarak değişir:

τ(r)=G×γ(r)=G×θ×r{\ displaystyle \ tau (r) = G \ times \ gamma (r) = G \ times \ theta \ times r}

belirlenecek miktar . Etrafındaki küçük bir yüzey elemanı şuna eşit bir kuvvet alır:G×θ{\ displaystyle G \ times \ theta} dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}AT{\ displaystyle A}dF→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {F}}}}

dF→=τ⋅dS⋅t→=G⋅θ⋅r⋅dS⋅t→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {F}}} = \ tau \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {t}} = \ mathrm {G} \ cdot \ theta \ cdot r \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {t}}}

yer değiştirme çemberine teğet vektör nerede . t→{\ displaystyle {\ vec {t}}}

Noktaya göre bu kuvvetin momenti , dolayısıyla ortalama çizgiye ait olan değer: dM→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {M}}}G(0,0,0){\ displaystyle G (0,0,0)}

dM→=GAT→∧dF→=G⋅θ⋅r2⋅dS⋅x→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {M}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {GA}}} \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {F}}} = \ mathrm {G} \ cdot \ theta \ cdot r ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {x}}}

Tork, tüm bu momentlerden kaynaklanır ve enine kesite entegre ederek şunları buluruz:

Mt=G⋅θ⋅benG{\ displaystyle \ mathrm {M_ {t}} = \ mathrm {G} \ cdot \ theta \ cdot \ mathrm {I_ {G}}}

ile

benG=∫Sr2⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {I_ {G}} = \ int _ {\ mathrm {S}} r ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS}}

Daha sonra elimizde:

G⋅θ=MtbenG{\ displaystyle \ mathrm {G} \ cdot \ theta = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I_ {G}}}}}

dır-dir

τ(r)=MtbenG⋅r{\ displaystyle \ tau (r) = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I_ {G}}}} \ cdot r}

Dolu bir ağaç için sahibiz

benG=πD432{\ displaystyle \ mathrm {I_ {G}} = {\ frac {\ pi \ mathrm {D} ^ {4}} {32}}}

D, çaptır. Bir tüp için, oyuk parçanın ikinci dereceden momentini çıkarırız:

benG=π(D4-d4)32{\ displaystyle \ mathrm {I_ {G}} = {\ frac {\ pi (\ mathrm {D} ^ {4} -d ^ {4})} {32}}}

burada D dış çap ve d iç çaptır.

Maksimum kesilme

τm-dex=MtbenGv=Mt(benGv){\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {I_ {G}}}} v = {\ frac {\ mathrm {M_ {t }}} {\ sol ({\ frac {\ mathrm {I_ {G}}} {v}} \ sağ)}}}

parçanın dış yarıçapı nerede ( ). Miktar , burulma modülü olarak adlandırılır. v{\ displaystyle v}D/2{\ displaystyle D / 2}VS=(benG/v){\ displaystyle C = (I_ {G} / v)}

Bir prizma bölümünün bükülmesi

Dairesel olmayan bölümlerin durumu daha karmaşıktır. Özellikle, belirli bir A noktasında, yarıçap vektörü A'daki gerilim vektörüne dik değildir, bu da momentin hesaplanmasını zorlaştırır. GAT→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {GA}}}}

Ayrıca, prizmatik bir bölüm olması durumunda, bölümün eğrilmesi (prizmatik olmayan burulma) vardır.

Esneklik denklemleri (bir maddenin bir elementinin denge koşulları) serbest bir yüzeyde gerilim vektörünün yüzeye teğet olduğunu gösterir; özellikle, kesitin bir açısında (yani, kirişin bir kenarında), kısıtlanmış vektör boştur. Serbest yüzlerin ortasında stres maksimumdur.

Aşağıdaki tablo, burulmanın tekdüze bileşenini vermektedir. Dolu bir silindirin burulması karşılaştırma için hatırlanır.

Form	Kisyonun maksimum olduğu yerler	Maksimum gerilim τ max (MPa)	Burulma birim açısı θ (rad / m)
Tam silindir çapı D		5,09MtD3{\ displaystyle {\ frac {5,09 \ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {D} ^ {3}}}}	10,19MtGD4{\ displaystyle {\ frac {10,19 \ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} \ mathrm {D} ^ {4}}}}
Eşkenar üçgen taraf ile a		20Mt-de3{\ displaystyle {\ frac {20 \ mathrm {M_ {t}}} {a ^ {3}}}}	46MtG-de4{\ displaystyle {\ frac {46 \ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} a ^ {4}}}}
Kare tarafı ile a		4,81Mt-de3{\ displaystyle {\ frac {4,81 \ mathrm {M_ {t}}} {a ^ {3}}}}	7,10MtG-de4{\ displaystyle {\ frac {7.10 \ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {G} a ^ {4}}}}
Yan dikdörtgen b × h ( h > b )		Mtk1b2h{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {k_ {1} b ^ {2} h}}}	Mtk2Gb3h{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {k_ {2} \ mathrm {G} b ^ {3} h}}}

Dikdörtgen kesit durumunda, geniş yüzün ortasında gerilim maksimumdur:

τm-dex=τz{\ displaystyle \ tau _ {max} = \ tau _ {z}}

Küçük yüzün ortasındaki kısıtlama şudur:

τy=η×τz=η×τm-dex{\ displaystyle \ tau _ {y} = \ eta \ times \ tau _ {z} = \ eta \ times \ tau _ {max}}

Katsayıları , ve oranına bağlı ve aşağıdaki tabloda verilmiştir. k1{\ displaystyle k_ {1}}k2{\ displaystyle k_ {2}}η{\ displaystyle \ eta}h/b{\ displaystyle h / b}

h/b{\ displaystyle h / b}	1	1.2	1.5	1.75	2	2.5	3	4	5	6	8	10	∞{\ displaystyle \ infty}
k1{\ displaystyle k_ {1}}	0.208	0.216	0.231	0.239	0.246	0.258	0.267	0.282	0.291	0.299	0.307	0.313	1/3
k2{\ displaystyle k_ {2}}	0.141	0.166	0.196	0.214	0.229	0.249	0.263	0.281	0.291	0.299	0.307	0.313	1/3
η{\ displaystyle \ eta}	1		0.859	0.820	0.795	0.766	0.753	0.745		0.743	0.742	0.742	0.742

Kapalı bir içi boş bölümün bükülmesi

İnce cidarlı bir tüp düşünün, kesitin şekli keyfi fakat kapalı. Bir elementin dengesi, kalınlığa göre ortalama gerilimin (ortanca çizgide) çarpımının tekdüze olduğunu hemen verir . Sahibiz : τ×e{\ displaystyle \ tau \ times e}

ϕ=τ×e=Mt2AT{\ displaystyle \ phi = \ tau \ times e = {\ frac {\ mathrm {M_ {t}}} {2 \ mathrm {A}}}}

ortalama çizginin içinde yer alan alan nerede . Duvar ince olduğundan, yaklaşık olarak maksimum gerilimin ortalama gerilime eşit olduğu düşünülebilir. AT{\ displaystyle A}

Notlar ve referanslar

1. Jean-Louis Fanchon , Mekanik Rehber , Nathan, 2001( ISBN  978-2-09-178965-1 ) , s.  315
2. [ (fr) Malzemelerin direnç kursu - Burulma (ESTP)  (sayfa 2012-06-19'da başvurulmuştur)]  

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• Kiriş teorisi - Burulma
• Otomobil operasyonu
• Gencin modülü
• Eylemsizlik momenti
• Materyallerin kuvveti
• Gerilme tensörü
• Çekiş

Dış bağlantılar

• Éric Davalle , "Düzgün burulma " , Yapıların Mekaniği I , EPFL ( çevrimiçi okuyun )