İkili Laplace dönüşümü
Olarak analiz , ikili Laplace dönüşümü en genel formudur Laplace dönüşümü olan, entegrasyon eksi sonsuz yerine, sıfırdan yapılır.
Tanım
Gerçek değişkenin bir fonksiyonunun iki taraflı Laplace dönüşümü, aşağıdakilerle tanımlanan karmaşık değişkenin fonksiyonudur :
f{\ displaystyle f}F{\ displaystyle F}
F(p)=L{f}(p)=∫-∞+∞e-ptf(t)dt.{\ displaystyle F (p) = {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- pt} f (t) \, dt.}
Bu entegre yakınsak olan, için söylemek (yerine kompleks düzlemde bir yakınsama bandına ait , tek taraflı dönüşüm durumunda, daha sonra yakınsama apsis tayin). Kesin bir şekilde, dağılım teorisi çerçevesinde , bu dönüşüm (küfürlü gösterimde) ılımlı bir dağılım olan tüm değerler için "yakınsar" ve böylece Fourier dönüşümünü kabul eder .
α<ℜ(p)<β,-∞≤α≤β≤+∞{\ Displaystyle \ alpha <\ Re \ sol (p \ sağ) <\ beta, - \ infty \ leq \ alpha \ leq \ beta \ leq + \ infty}p{\ displaystyle p}ℜ(p)>α{\ displaystyle \ Re \ sol (p \ sağ)> \ alfa}α{\ displaystyle \ alpha}p{\ displaystyle p}t↦e-ℜ(p)tf(t){\ Displaystyle t \ e haritaları için ^ {- \ Re \ sol (p \ sağ) t} f \ sol (t \ sağ)}
Temel özellikler
Temel özellikler (enjektivite, doğrusallık, vb.) Tek taraflı Laplace dönüşümünün özellikleriyle aynıdır .
Kaçınılması gereken belirsizlikler
Laplace'ın iki taraflı dönüşümü kullanıldığında yakınsama bandını belirlemek önemlidir. Ya örneğin .
F(p)=1p{\ displaystyle F \ sol (p \ sağ) = {\ dfrac {1} {p}}}
Yakınsama bandı ise , bu Laplace dönüşümünün "öncülü" Heaviside fonksiyonudur . Öte yandan, yakınsama bandı ise , bu öncüldür .
ℜ(p)>0{\ displaystyle \ Re \ sol (p \ sağ)> 0}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}ℜ(p)<0{\ displaystyle \ Re \ sol (p \ sağ) <0}t↦-Υ(-t){\ displaystyle t \ mapsto - \ Upsilon \ sol (-t \ sağ)}
Evrişim ve türetme
Ya ve iki kıvrılabilir dağılım, örneğin her biri solda sınırlı bir desteğe sahip veya bunlardan biri kompakt desteğe sahip. Sonra (tek taraflı dönüşümde olduğu gibi),
T{\ displaystyle T}S{\ displaystyle S}
L{T∗S}=L{T}L{S}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {T * S \} = {\ mathcal {L}} \ {T \} {\ mathcal {L}} \ {S \}}Özellikle ve bu nedenle
L(δ(değil))=pdeğil{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ sol (\ delta ^ {\ sol (n \ sağ)} \ sağ) = p ^ {n}}δ(değil)∗S=S(değil){\ displaystyle {\ mathcal {\ delta}} ^ {\ sol (n \ sağ)} \ ast S = S ^ {\ sol (n \ sağ)}}
L(S(değil))=pdeğilL(S){\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ sol (S ^ {\ sol (n \ sağ)} \ sağ) = p ^ {n} {\ mathcal {L}} \ sol (S \ sağ)}
Hiperfonksiyonların Laplace dönüşümleri
Laplace dönüşümü, “Laplace hiperfonksiyonları” veya “üstel tip hiperfonksiyonlar” olarak adlandırılan belirli hiperfonksiyonlar durumunda genişletilebilir . Bir dağılımla tanımlanan bir hiperfonksiyon için yukarıdaki teoriyi buluruz. Ama örneğin
f(t)=∑k=0∞(-1)kk!(k+1)!δ(k)(t)=[-12πbene1z]{\ displaystyle f \ sol (t \ sağ) = \ toplamı _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sol (-1 \ sağ) ^ {k}} {k! \ sol (k + 1 \ sağ)!}} \ Delta ^ {\ left (k \ right)} \ left (t \ right) = \ left [- {\ frac {1} {2 \ pi i}} e ^ {\ frac { 1} {z}} \ sağ]}bir dağılım olmamasına rağmen (çünkü yerel olarak sonsuz sıradadır, yani 0'da), desteği olan ve Laplace dönüşümünü kabul eden
bir hiperfonksiyondur.{0}{\ displaystyle \ sol \ {0 \ sağ \}}
F(p)=J1(2p)p{\ displaystyle F \ sol (p \ sağ) = {\ frac {J_ {1} \ sol (2 {\ sqrt {p}} \ sağ)} {\ sqrt {p}}}}burada ilk olağan türün Bessel işlevini , yani tüm işlevi
belirtirJ1{\ displaystyle J_ {1}}
J1(s)=(s2)∑k=0∞(-1)k22kk!(1+k)!s2k{\ displaystyle J_ {1} \ sol (s \ sağ) = \ sol ({\ frac {s} {2}} \ sağ) \ toplamı _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sol (-1 \ sağ) ^ {k}} {2 ^ {2k} k! \ Sol (1 + k \ sağ)!}} S ^ {2k}}Bu ifadeyi bir önceki ifadeyle değiştirerek elde ederiz.
F(p)=∑k=0∞(-1)kk!(k+1)!pk{\ displaystyle F \ sol (p \ sağ) = \ toplamı _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sol (-1 \ sağ) ^ {k}} {k! \ sol (k + 1 \ sağ)!}} P ^ {k}}bu yana tanımıyla oldukça tutarlıdır .
f(t){\ displaystyle f \ sol (t \ sağ)}L(δk)=pk{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ sol (\ delta ^ {k} \ sağ) = p ^ {k}}
İkili dönüşüm ve tek taraflı dönüşüm arasındaki ilişki
Temel teori
Izin vermek açık bir komşuluk tanımlanmış, 0'da sürekli ve iki taraflı bir Laplace dönüşümünü kabul eden bir fonksiyon olsun . Onun monolateral Laplace biz burada dikkat edecek olan dönüşüm , tarafından verilir
f{\ displaystyle f}ben=[0,+∞[{\ displaystyle I = \ sol [0, + \ infty \ sağ [}L(f){\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ sol (f \ sağ)}L+(f){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f \ sağ)}
L+(f)=L(f.Υ){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f \ sağ) = {\ mathcal {L}} \ sol (f. \ Upsilon \ sağ)}Heaviside işlevi nerede . Sahibiz
Υ{\ displaystyle \ Upsilon}
ddt(f.Υ)=f′.Υ+f.δ=f′.Υ+f(0).δ{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (f. \ Upsilon \ right) = f ^ {\ prime}. \ Upsilon + f. \ delta = f ^ {\ prime}. \ Upsilon + f \ sol (0 \ sağ). \ delta}Bu nedenle
pL+(f)=L+(f′)+f(0){\ displaystyle p {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f \ sağ) = {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f ^ {\ prime} \ sağ) + f \ sol (0 \ sağ)}dolayısıyla klasik formül
L+(f′)=pL+(f)-f(0){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f ^ {\ prime} \ sağ) = p {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f \ sağ) -f \ sol (0 \ sağ)}
Genelleme
Izin vermek pozitif destekli bir dağılım , ve içeren açık bir aralıkta süresiz olarak türevlenebilir bir fonksiyon olsun . Poz vererek , Laplace dönüşümü olan pozitif destekli bir dağılımdır (küfürlü gösterimde)
T{\ displaystyle T}g{\ displaystyle g}ben=[0,+∞[{\ displaystyle I = \ sol [0, + \ infty \ sağ [}f=T+g{\ displaystyle f = T + g}g+=g.Υ{\ displaystyle g _ {+} = g. \ Upsilon}f+=T+g+{\ displaystyle f _ {+} = T + g _ {+}}
L+(f)=L(f+)=∫0-+∞f(t)eptdt,ℜ(p)>α,{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f \ sağ) = {\ mathcal {L}} \ sol (f _ {+} \ sağ) = \ int _ {0 ^ {-} } ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {pt} {\ rm {d}} t, \ quad {\ mathcal {\ Re}} \ left (p \ sağ)> \ alpha,}yakınsama apsisi nerede . Dağıtımlar ve hatta yeterince küçük olduğu anda formun herhangi bir açık aralığı için kısıtlama var . Bu nedenle bütün için yazabiliriz . Diğer yandan,
α{\ displaystyle \ alpha}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}]-ε,0[{\ displaystyle \ sol] - \ varepsilon, 0 \ sağ [}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}f(ben)(0-)=g(ben)(0){\ Displaystyle f ^ {\ sol (i \ sağ)} \ sol (0 ^ {-} \ sağ) = g ^ {\ sol (i \ sağ)} \ sol (0 \ sağ)}ben≥0{\ displaystyle i \ geq 0}
L+(f′)=L+(T′)+L+(g′){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f ^ {\ prime} \ sağ) = {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (T ^ {\ prime} \ sağ) + {\ mathcal {L}} _ {+} \ left (g ^ {\ prime} \ sağ)}ile ve yukarıdaki "temel teori" den . En sonunda,
L+(T′)=L(T′)=pL(T){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (T ^ {\ prime} \ sağ) = {\ mathcal {L}} \ sol (T ^ {\ prime} \ sağ) = p {\ matematiksel {L}} \ sol (T \ sağ)}L+(g′)=pL(g)-g(0){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (g ^ {\ prime} \ sağ) = p {\ mathcal {L}} \ sol (g \ sağ) -g \ sol (0 \ sağ )}
L+(f′)=pL(T+g)-g(0)=pL(f)-f(0-){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f ^ {\ prime} \ sağ) = p {\ mathcal {L}} \ sol (T + g \ sağ) -g \ sol (0 \ sağ) = p {\ mathcal {L}} \ left (f \ right) -f \ left (0 ^ {-} \ sağ)}Tümevarım yoluyla ilerleyerek, Laplace Dönüşümü makalesinin genel formüllerini elde ederiz .
Şimdi aşağıdaki denklik ilişkisini tanımlayalım: ve yukarıdaki gibi iki dağılımlarını gösteren, biz yazacak eğer ve sıra aralığına aynı kısıtlamanın da en kısa sürede küçük yeterlidir. Sonra sadece denklik sınıfına bağlıdır ait olan ve bir "denir mikrop a" genelleştirilmiş fonksiyonu bir mahallede tanımlanan dil, "olumlu desteğiyle genelleştirilmiş fonksiyonu" (makalesine bakın kötüye tarafından, ve Laplace Dönüşüm ). Yazacağız . Son olarak, eğer ve sadece eğer olduğunu unutmayın .
f1{\ displaystyle f_ {1}}f2{\ displaystyle f_ {2}}f1∼f2{\ displaystyle f_ {1} \ sim f_ {2}}f1{\ displaystyle f_ {1}}f2{\ displaystyle f_ {2}}]-ε,+∞[{\ displaystyle \ sol] - \ varepsilon, + \ infty \ sağ [}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}L+(f1){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f_ {1} \ sağ)}f{\ displaystyle f}f1{\ displaystyle f_ {1}}[0,+∞[{\ displaystyle \ sol [0, + \ infty \ sağ [}L+(f)=L+(f1)=L(f1+){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f \ sağ) = {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f_ {1} \ sağ) = {\ mathcal {L} } \ left (f_ {1 +} \ sağ)}L+(f)=0{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} \ sol (f \ sağ) = 0}f=0{\ displaystyle f = 0}
Başvurular
İkili Laplace dönüşümü klasik bir analog filtreler (tasarımı için özellikle kullanılan Butterworth , Tchebychev , Cauer için, vs.) uygun Wiener filtresi tanımladığı istatistikleri, anları jeneratör işlevi a dağılımı , oynatıldığı bir Doğrudan ve ters nedensel spektral çarpanlara ayırmanın sürekli zaman formülasyonundaki temel rolü, nihayet integral denklemleri çözmek için yaygın olarak kullanılır ( İntegral operatörü makalesine bakın ).
Birkaç değişken durumunda genelleme
İki taraflı Laplace dönüşümü , birkaç değişkenli fonksiyonlar veya dağılımlar durumuna genelleşir ve Laurent Schwartz tam bir teori yaptı. Üzerinde tanımlanan bir dağılım olalım . Grubu ait olan (kötüye gösterimde) temperli bir dağıtım bu kez formunun bir silindirdir olan dışbükey bir alt-kümesi içinde (bir değişken olması durumunda, yakınsama bandı yukarıda belirtilen başka bir şey değildir) . Ya için de dağıtım (yine küfürlü gösterimde). Bu dağılım yumuşatılmıştır. Not olarak Fourier dönüşümü . İşlev Laplace transformu olarak adlandırılır (ifade ile) ve , gösterilir . Yapılan bu ön açıklamalar, teori bir değişkenin dağılımlarına karşılık gelen teoriye oldukça benzer hale gelir .
T{\ displaystyle T}Rdeğil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}p{\ displaystyle p}VSdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}x↦tecrübe(-p.x)T(x){\ displaystyle x \ mapsto \ exp {(-px)} T \ sol (x \ sağ)}Rdeğil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Γ+benRdeğil{\ displaystyle \ Gama + i \ mathbb {R} ^ {n}}Γ{\ displaystyle \ Gama}Rdeğil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Γ{\ displaystyle \ Gama}ξ{\ displaystyle \ xi}Γ{\ displaystyle \ Gama}x↦tecrübe(-ξ.x)T(x){\ displaystyle x \ mapsto \ exp {(- \ xi .x)} T \ sol (x \ sağ)}E(ξ):η↦E(ξ)(η){\ Displaystyle E (\ xi): \ eta \ mapsto E (\ xi) (\ eta)}ξ↦E(ξ){\ displaystyle \ xi \ mapsto E (\ xi)}T{\ displaystyle T}L{T}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {T \}}p=ξ+benη{\ displaystyle p = \ xi + i \ eta}E(ξ)(η){\ Displaystyle E (\ xi) (\ eta)}L{T}(p){\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {T \} (p)}
Düşünceler medya
Paley-Wiener teoremi nedeniyle Schwartz genelleştirilmesi yaygın Fourier Laplace transformasyondan belirtilmiştir (bakınız , aşağıda ). Laplace dönüşümünden de ifade edilebilir ve sonra şu ifadeyi elde ederiz:
(1) Paley-Wiener teoremi:
Bir için
tam bir fonksiyon için Laplace bir belirsiz türevlenebilir fonksiyonunun dönüşümü olabilir merkezinin kapalı "top" içerisinde bir destek ve yarıçapı belirtildiği gibi, herhangi bir tamsayı için gerekli ve yeterli olan , bir sabit vardır her şey için böyle ait için ,
p↦F(p){\ displaystyle p \ F \ sol haritalarına (p \ sağ)}Rdeğil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}0{\ displaystyle 0}r=(r1,...,rdeğil){\ displaystyle r = \ sol (r_ {1}, ..., r_ {n} \ sağ)}B′(0;r){\ Displaystyle B ^ {\ üssü} \ sol (0; r \ sağ)}DEĞİL≥0{\ displaystyle N \ geq 0}VSDEĞİL≥0{\ displaystyle C_ {N} \ geq 0}p{\ displaystyle p}VSdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}} |F(p)|≤VSDEĞİL(1+|p|)-DEĞİLtecrübe(r.ℜ(p)){\ displaystyle \ sol \ vert F \ sol (p \ sağ) \ sağ \ vert \ leq C_ {N} \ sol (1+ \ sol \ vert p \ sağ \ vert \ sağ) ^ {- N} \ exp \ sol (r. \ Re \ sol (p \ sağ) \ sağ)}
burada de ve de'deki olağan skaler çarpımı gösterir .
r.ℜ(p){\ displaystyle r. \ Re \ sol (p \ sağ)}Rdeğil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}r{\ displaystyle r}Re(p){\ displaystyle Re \ sol (p \ sağ)}
(2) Paley-Wiener-Schwartz teoremi:
Bir tamsayı fonksiyonunun, dahil edilen desteğe ilişkin bir dağılımın Laplace dönüşümü olması için , bir tamsayı ve bir sabitin olması gerekli ve yeterlidir, öyle ki, tüm ait olanlar için ,
p↦F(p){\ displaystyle p \ F \ sol haritalarına (p \ sağ)}Rdeğil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}B′(0;r){\ Displaystyle B ^ {\ üssü} \ sol (0; r \ sağ)}DEĞİL≥0{\ displaystyle N \ geq 0}VS≥0{\ displaystyle C \ geq 0}p{\ displaystyle p}VSdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}} |F(p)|≤VS(1+|p|)DEĞİLtecrübe(r.ℜ(p)){\ displaystyle \ sol \ vert F \ sol (p \ sağ) \ sağ \ vert \ leq C \ sol (1+ \ sol \ vert p \ sağ \ vert \ sağ) ^ {N} \ exp \ sol (r. \ Re \ sol (p \ sağ) \ sağ)}
.
Jacques-Louis Lions'dan kaynaklanan bir teorem , Laplace dönüşümünden bir dağıtımın desteği hakkında başka bilgiler verir. Tek bir değişken olması durumunda, aşağıdaki formu alır (bkz. Ters Çevirme ):
İçin bir holomorfik fonksiyon için Laplace dağılımın dönüşümü olması ile yarı doğrultusunda destek , gerekli ve yeterli olan gerçek zaman, sınırlandırılabilmekte yeterince büyük olan bir polinom yöntemi kullanılmak sureti ile, .
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}T{\ displaystyle T}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}t≥AT{\ displaystyle t \ geq A}|F(p)eATξ|{\ displaystyle \ sol \ vert F \ sol (p \ sağ) e ^ {A \ xi} \ sağ \ vert}ξ=ℜ(p){\ displaystyle \ xi = \ Re \ sol (p \ sağ)}|p|{\ displaystyle \ sol \ yeşil p \ sağ \ yeşil}Bu teorem, örneğin, “Hiperfonksiyonların Laplace dönüşümleri” paragrafında ele alınan hiperfonksiyonun, desteği 0 olan bir dağılım olmadığını gösterir.
Fourier-Laplace dönüşümü
Poz vererek , Fourier-Laplace dönüşümünü elde ederiz . Basit olması için, gerçek bir değişkenin bir fonksiyonunun Fourier-Laplace dönüşümünü düşünün. Bu nedenle, eğer Laplace dönüşümünün yakınsama bandı ise , Fourier-Laplace dönüşümününki ise .
p=benλ{\ displaystyle p = i \ lambda}ℜ(p)=-ℑ(λ){\ Displaystyle \ Re \ sol (p \ sağ) = - \ Im \ sol (\ lambda \ sağ)}α<ℜ(p)<β{\ displaystyle \ alpha <\ Re \ sol (p \ sağ) <\ beta}-β<ℑ(λ)<-α{\ displaystyle - \ beta <\ Im \ sol (\ lambda \ sağ) <- \ alfa}
Notlar ve referanslar
-
Komatsu 1987 .
-
Bourlès 2010 (§13.3.4), Bourlès ve Marinescu 2011 (§7.3.4.1).
-
Örneğin bkz.
Oppenheim ve Schafer 2007 .
Ayrıca görün
Kaynakça
- Henri Bourlès , Doğrusal Sistemler , John Wiley & Sons ,2010, 544 s. ( ISBN 978-1-84821-162-9 ve 1-84821-162-7 )
- Henri Bourlès ve Bogdan Marinescu , Zamanla Değişen Doğrusal Sistemler: Cebirsel-Analitik Yaklaşım , Springer,2011, 638 s. ( ISBN 978-3-642-19726-0 ve 3-642-19726-4 , çevrimiçi okuma )
- Jean Dieudonné , Elements of Analysis , cilt. 6, Paris, Gauthier-Villars ,1975, 197 s. ( ISBN 2-87647-216-3 )
- (en) U. Graf , Hiperfonksiyonlara Giriş ve Bunların İntegral Dönüşümleri: Uygulamalı ve Hesaplamalı Bir Yaklaşım , Birkhäuser,2010, 432 s. ( ISBN 978-3-0346-0407-9 ve 3-0346-0407-6 , çevrimiçi okuyun )
- (en) Hikosaburo Komatsu , " Laplace hiperfonksiyon dönüşümleri - Heaviside Calculus'un yeni temeli- " , J. Fac. Sci. Üniv. Tokyo, Tarikat. IA, Math , cilt. 34,1987, s. 805-820
- (en) Alan V. Oppenheim (en) ve Ronald W. Schafer (en) , Ayrık Zamanlı Sinyal İşleme , Prentice-Hall,2007, 1132 s. ( ISBN 978-0-13-206709-6 ve 0-13-206709-9 )
- Laurent Schwartz , Fiziksel bilimler için matematiksel yöntemler , Hermann ,1965( ISBN 2-7056-5213-2 )
- Laurent Schwartz , Dağıtım Teorisi , Paris, Hermann ,1966, 418 s. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">