Karmaşık dönüşüm

Karmaşık dönüşüm entegre türetmek için veren bir matematiksel yöntem veya kolay (+, -, x ve /) aritmetik işlemleri uygulamak için miktarlarına sinüzoidal fonksiyonları temin zaman, bunlar, lineer olduğu. Karmaşık durumlarda avantajlı bir şekilde Fresnel temsilinin yerini alır .

Prensip

Bir g ( t ) miktarında , ifade süresinin sinüzoidal fonksiyonu:

g(t)=G^⋅çünkü⁡(ωt+φ){\ displaystyle g (t) = {\ widehat {G}} \ cdot \ cos (\ omega t + \ varphi) \,},

Biz maç karmaşık sayı  : katsayısı G ve argüman cp . J sanal birimi göstererek , üstel gösterim yazılır G_{\ displaystyle {\ underline {G}} \,}

G_= G⋅ej(ωt+φ){\ displaystyle {\ underline {G}} = \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,},

Not  : genellikle üstel gösterimi şu biçimde kısaltırız:

G_= G(t)⋅ejφ{\ displaystyle {\ underline {G}} = \ G (t) \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ varphi} \,}İle: , G(t)= G⋅ejωt{\ displaystyle \ G (t) = \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ omega t} \,} Bu durumda, türetmeler veya entegrasyonlar için ω'nin varlığının hafızada tutulması gerekir .

Elektrikte, akımlar ve gerilimler için, modülü miktarın rms değerine eşit olan karmaşık bir sayı kullanmak gelenekseldir :

G=G^2{\ displaystyle G = {\ frac {\ hat {G}} {\ sqrt {2}}} \,}

Temel işlemler

• Aritmetik işlemler  : Karmaşık sayılarla ilgili işlemlere geri dönüyoruz, ardından işlemin sonucuna karşılık gelen sinüzoidal miktarı elde etmek için ters dönüşümü uyguluyoruz.

• Türetme

Karmaşık sayı görüntüsünü türetiyoruz: G_= G⋅ej(ωt+φ){\ displaystyle {\ underline {G}} = \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}, elde ederiz : ω⋅ G⋅ej(ωt+φ+π2){\ displaystyle \ omega \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ sol (\ omega t + \ varphi + {\ frac {\ pi} {2}} \ sağ)} \,} veya jω⋅ G⋅ej(ωt+φ){\ displaystyle j \ omega \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}

• Entegrasyon

Karmaşık sayı görüntüsünü bütünleştiririz ve elde ederiz: 1ω⋅ G⋅ej(ωt+φ-π2){\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega}} \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ sol (\ omega t + \ varphi - {\ frac {\ pi} {2} } \ sağ)} \,}veya 1jω⋅ G⋅ej(ωt+φ){\ displaystyle {\ frac {1} {j \ omega}} \ cdot \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j (\ omega t + \ varphi)} \,}

Akımların ve gerilimlerin karmaşık gösterimi (genelleştirilebilir)

Doğrusal bileşenlerden oluşan bir sinüzoidal sabit durum devresinde, bir akım veya voltaj, şu tipte bir g ( t ) fonksiyonudur :

g(t)=G^⋅çünkü⁡(ωt+φ){\ displaystyle g (t) = {\ widehat {G}} \ cdot \ cos (\ omega t + \ varphi) \,},

Bu ifade ile ilişkilendirilmiş bir karmaşık sayı g ( t ) için eşit: g_{\ displaystyle {\ underline {g}}}

g_= G⋅ejφ⋅ejωt{\ displaystyle {\ underline {g}} = \ G \ cdot e ^ {j \ varphi} \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ omega t}}

• |g_|{\ displaystyle | {\ alt çizgi {g}} |}g'nin etkin değerine eşittir ,
• argüman⁡(g_){\ displaystyle \ operatöradı {bağımsız} ({\ altı çizili {g}})}g'nin toplam fazına eşittir ( ω t dahil ).

Terimi adlandırılan karmaşık bir genlik ve s terimi ise bu sinyali karakterize eden, çünkü E t ω j devresinin sinyalleri için ortaktır. Bunu fark ediyoruz . bu nedenle faz ve genlik bilgilerini taşıyan matematiksel unsurdur . Bu nedenle, sinüzoidal rejimde bir devreyi tanımlamak için aranan karmaşık genliklerdir. Üstel formdaki gösterim, trigonometrik formüllerin kullanımından kaçınmayı mümkün kılar ve karmaşık empedans ile bağlantılı hale getirilmelidir .  G⋅ejφ{\ displaystyle \ G \ cdot {\ rm {e}} ^ {j \ varphi}}g(t)=ℜ(g_){\ displaystyle g (t) = \ Re ({\ altı çizili {g}})}g_{\ displaystyle {\ underline {g}}}g(t){\ displaystyle g (t)}

Notlar ve referanslar

1. http://www.brouchier.com/Amplitude_Complexe

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">