Mellin dönüşümü

In matematik , Mellin dönüşümü bir olan integral dönüşüm olarak düşünülebilir hangi çarpımsal (tr) sürüm ait ikili Laplace dönüşümü . Bu integral dönüşüm, Dirichlet serisi teorisiyle güçlü bir şekilde ilişkilidir ve genellikle sayı teorisinde ve asimptotik genişleme teorisinde kullanılır ; aynı zamanda Laplace dönüşümü , Fourier dönüşümü , gama fonksiyonu teorisi ve özel fonksiyonlarla güçlü bir şekilde ilişkilidir..

Mellin dönüşümü, Fin matematikçi Hjalmar Mellin'in onuruna seçildi .

Tanım

Mellin dönüşümü bir fonksiyon $f$ tanımlandığı gibidir ve parçalı sürekli ilgili fonksiyon not edilir ya göre ve tanımlanmış genel yekpare : ${\ displaystyle \ sol] 0, + \ infty \ sağ [}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ sol \ {f (x) \ sağ \}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, \ mathrm {d} x}

Dönüşümün varlığı için yeterli bir koşul aşağıdaki sonuçla verilir:

Teorem - Varsayalım ki:

$f$ sürekli açık ; ${\ displaystyle \ sol] 0, + \ infty \ sağ [}$
bir reel sayı için zaman ; ${\ displaystyle \ alfa, \ qquad f (x) = O (x ^ {- \ alfa})}$ ${\ displaystyle x \ ila 0}$
${\ displaystyle \ forall \ beta \ in \ mathbb {R} _ {+} \, f (x) = O (x ^ {- \ beta})}$ zaman ( $f yaklaşımlar$ daha hızlı bir (negatif) gücünden daha 0 $x$ zaman ). ${\ displaystyle x \ ila + \ infty}$ ${\ displaystyle x \ ila + \ infty}$

Daha sonra genelleştirilmiş integral kesinlikle $Re ($ $s$ $)> α$ için yakınsar ve yarı düzlem $Re ($ $s$ $)> α$ üzerinde bir holomorfik fonksiyon tanımlar . ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, \ mathrm {d} x}$

Daha genel olarak, eğer

$f$ sürekli açık ; ${\ displaystyle \ sol] 0, + \ infty \ sağ [}$
gerçek sayılar için α <β ,
- ${\ displaystyle f (x) = O (x ^ {- \ alpha})}$ ne zaman ve ${\ displaystyle x \ ila 0}$
- ${\ displaystyle f (x) = O (x ^ {- \ beta})}$ zaman , ${\ displaystyle x \ ila + \ infty}$

daha sonra tamamlayıcı genelleştirilmiş kesinlikle için yakınlaşıyor $a <Re ($ $s$ $) <β$ ve tanımlar bant üzerinde holomorfik işlev $a <Re ($ $s$ $) <β$ . ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, \ mathrm {d} x}$

Örnekler

Bir dönüşümü Dirac dağılımı ile, bir 0, bir üstel fonksiyon olduğunu> . ${\ displaystyle \ delta (xa)}$ ${\ displaystyle s \ bir ^ {s-1}} ile eşleşir$
Mellin fonksiyonunun dönüşümü ile, $bir$ $> 0$ , fonksiyonu yarı-düzlem üzerinde $Re ($ $s$ $)> 0$ ( $H$ olduğu Birim basamak fonksiyonu , $f$ $($ $x$ $) = 1$ ise $, 0 <$ $x$ $<$ $bir$ ve $f$ $($ $x$ $) = 0,$ eğer $x$ $>$ $a$ ). ${\ displaystyle f \ ,: \, x \ mapsto \ mathrm {H} (ax)}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {a ^ {s}} {s}}}$
Mellin fonksiyonunun dönüşümü ile, $bir$ $> 0$ , fonksiyonu yarı-düzlem üzerinde $Re ($ $s$ $)> 0$ ( bir Euler gama fonksiyonu ). ${\ displaystyle x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {- ax}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ Gama (lar)} {a ^ {s}}}}$
$\Gama$
Mellin fonksiyonunun dönüşümü fonksiyonudur yarı düzlem üzerinde $Re ($ $s$ $)> 0$ . ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ Gama (s / 2)} {2}}}$
Fonksiyonun Mellin dönüşümü $-1 <Re ($ $s$ $) <1$ bandındaki fonksiyondur $($ $Re ($ $s$ $) \geq 0$ ise genelleştirilmiş integral yarı yakınsaktır ). $\ günah$ ${\ Displaystyle s \ mapsto {\ Gama (lar)} \ sin \ sol ({\ frac {\ pi s} {2}} \ sağ)}$
Fonksiyonun Mellin dönüşümü, $0 <Re ($ $s$ $) <1$ bandındaki fonksiyondur (genelleştirilmiş integral yarı yakınsaktır). $\ cos$ ${\ Displaystyle s \ mapsto {\ Gama (lar)} \ cos \ sol ({\ frac {\ pi s} {2}} \ sağ)}$
Fonksiyonun Mellin dönüşümü, $0 <Re ($ $s$ $) <1$ bandındaki fonksiyondur . ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {1 + x}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi s)}}}$
Daha genel olarak , Mellin fonksiyonunun dönüşümü fonksiyonudur bandında $0 <Re ($ $s$ $) <Re ($ $a$ $)$ ( bir beta fonksiyonu ). ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {(1 + x) ^ {a}}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto \ mathrm {B} (s, as)}$
${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gama (x) \, \ Gama (y)} {\ Gama (x + y)}}}$
Fonksiyonun Mellin dönüşümü, $0 <Re ($ $s$ $) <2$ bandındaki fonksiyondur . ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ pi / 2} {\ sin (\ pi s / 2)}}}$
Fonksiyonun Mellin dönüşümü, $-1 <Re ($ $s$ $) <0$ bandındaki fonksiyondur . ${\ displaystyle x \ mapsto \ ln (1 + x)}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ pi} {s \ sin (\ pi s)}}}$
Mellin fonksiyonunun dönüşümü fonksiyonudur yarı düzlem üzerinde $Re ($ $s$ $)> 1$ ( olup Riemann zeta fonksiyonu ). ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {x} -1}}}$ ${\ Displaystyle s \ mapsto \ Gama (lar) \ zeta (lar)}$
$\ zeta$

Ters Mellin dönüşümü

Ters dönüşüm

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {- 1} \ left \ {\ varphi \ sağ \} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ { c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} x ^ {- s} \ varphi (s) \, \ mathrm {d} s}

Gösterim , karmaşık düzlemde dikey bir doğruya uygulanan eğrisel bir integral olduğunu varsayar .

Teorem - Varsayalım ki:

$f$ sürekli açık ; ${\ displaystyle \ sol] 0, + \ infty \ sağ [}$
bir reel sayı için zaman ; ${\ displaystyle \ alfa, \ qquad f (x) = O (x ^ {- \ alfa})}$ ${\ displaystyle x \ ila 0}$
${\ displaystyle \ forall \ beta \ in \ mathbb {R} _ {+} \, f (x) = O (x ^ {- \ beta})}$ zaman ( $f yaklaşımlar$ daha hızlı bir (negatif) gücünden daha 0 $x$ zaman ). ${\ displaystyle x \ ila + \ infty}$ ${\ displaystyle x \ ila + \ infty}$

Tüm $x$ $> 0$ ve tümü için geçerli Mellin ters çevirme formülüne sahibiz : ${\ displaystyle c> \ alpha}$

{\ displaystyle f (x) = {\ mathcal {M}} ^ {- 1} \ sol \ {{\ mathcal {M}} _ {f} \ sağ \} (x) = {\ frac {1} { 2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} x ^ {- s} {\ mathcal {M}} _ {f} (s) \, \ mathrm {d} s}

Diğer dönüşümlerle ilişkiler

İkili Laplace dönüşümü ile

İki taraflı Laplace dönüşümü ( ), Mellin dönüşümü açısından şu şekilde tanımlanabilir: ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ {f \} (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- st} f (t) \, \ matematik {d} t}$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ sol \ {f \ sağ \} (s) = {\ mathcal {M}} \ sol \ {f (- \ ln x) \ sağ \} (s)}

Tersine, Mellin dönüşümünü ikili Laplace dönüşümünden elde edebiliriz.

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (s) = {\ mathcal {B}} \ sol \ {f (\ mathrm {e} ^ {- x}) \ sağ \} (s)}

Mellin dönüşümü, genişleme altında değişmez olan çarpımsal Haar ölçüsüne saygı duyan bir $x s$ çekirdeği kullanan bir entegrasyon olarak görülebilir , yani . ${\ frac {{\ mathrm d} x} x}$ ${\ displaystyle x \ mapsto ax}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (ax)} {ax}} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}}$

İki taraflı Laplace dönüşümü , başka bir deyişle, öteleme değişmezliği olan katkı maddesi Haar ölçüsüne uyarak entegre olur . $\ mathrm {d} x$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} (x + a) = \ mathrm {d} x}$

Fourier dönüşümü ile

Fourier dönüşümünü Mellin dönüşümü açısından da tanımlayabiliriz ve bunun tersi de geçerlidir; Fourier dönüşümünü yukarıdaki gibi tanımlarsak, o zaman

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} f (s) = {\ mathcal {B}} f (\ mathrm {i} s) = {\ mathcal {M}} \ sol \ {f (- \ ln x) \ sağ \} (\ mathrm {i} s)}

Ayrıca süreci tersine çevirebilir ve

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (s) = {\ mathcal {B}} \ sol \ {f (\ mathrm {e} ^ {- x}) \ sağ \} (s) = {\ mathcal {F}} \ left \ {f (\ mathrm {e} ^ {- x}) \ sağ \} (- \ mathrm {i} s)}

Mellin dönüşüm de ilgilidir Newton seri veya binom dönüşümler ile jeneratör işlevi arasında Poisson hakları vasıtasıyla, Poisson Mellin Newton döngüsü .

Cahen-Mellin'i tamamlayın

İçin , ve üzerinde ana dal , elimizdeki $c> 0$ ${\ displaystyle \ Re (y)> 0}$ ${\ displaystyle y ^ {- s}}$

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- y} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ matematik {i} \ infty} \ Gama (lar) y ^ {- s} \; \ mathrm {d} s}

Bu integral, Cahen -Mellin integrali olarak bilinir .

Başvurular

Perron, formül Mellin uygulanan ters dönüşüm tarif dirichlet seriler .
Mellin dönüşümü, asal sayı sayma fonksiyonunun bazı kanıtlarında kullanılır ve Riemann zeta fonksiyonu tartışmalarında görülür .
Ters Mellin dönüşümü genellikle Riesz ortalamasında görülür .
Mellin dönüşümleri genellikle, Jacobi'nin teta fonksiyonları veya Riemann'ın zeta fonksiyonu gibi çeşitli özel fonksiyonlar olarak ifade edilen çeşitli kafes toplamlarının analitik hesaplaması için kullanılır .

Notlar ve referanslar

(tr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Mellin dönüşümü " ( yazarların listesini görmek ) .

(en) Henri Cohen , Sayı Teorisi , cilt. II: Analitik ve Modern Araçlar , Springer, coll. " GTM " ( n o 240)2007( çevrimiçi okuyun ) , s. 107.
Cohen 2007 , s. 150.
Cohen 2007 , s. 145.
(in) GH Hardy ve JE Littlewood , " Riemann Zeta-Fonksiyonu Teorisine Katkılar ve ikramiye dağıtımı Teorisi " Açta , cilt. 41, 1916, s. 119-196 (Cahen'in tezi dahil Cahen ve Mellin'in çalışmalarına daha fazla atıf için bu makaledeki notlara bakın).
(inç) ML Glasser, " Kafes toplamlarının değerlendirilmesi. I. Analitik prosedürler ” , J. Math. Phys. , cilt. 14, n o 3,1973, s. 409-413.

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Kaynakça

(en) RB Paris ve D. Kaminsky, Asymptotics ve Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press ,2001( çevrimiçi okuyun )
(en) AD Polyanin (en) ve AV Manzhirov, Handbook of Integral Equations , CRC Press ,2008, 2 nci baskı. ( 1 st ed. 1998) ( ISBN 978-0-2038-8105-7 , okuma çevrimiçi )

Dış bağlantılar

(tr) " Tables of Integral Transforms " , EqWorld: The World of Mathematical Equations
(tr) Eric W. Weisstein , “ Mellin Dönüşümü ” üzerine, MathWorld