Özdeğer (özet)

Kavramları özvektör , özdeğer ve eigenspace için geçerli Endomorfizmaların demek ki (veya lineer operatörler), doğrusal haritalar a vektör uzayda kendi içinde. Bunlar yakından bağlantılı ve bir ayağı oluşturur Endomorfizmlerin indirgenmesi , bir kısmı lineer cebir içine mümkün olan en verimli şekilde çürüyüp alana olan amaçları doğrudan toplamı bir sabit alt uzayları .

Tanımlar ve özellikler

Aşağıda, değişmeli K alanı üzerinden bir vektör uzayını E ele alıyoruz . Unsurları E olan vektörler ve bu K olan skalerler . Uygulamada, K alanı genellikle komplekslerin ℂ alanıdır ve vektör uzayı sonlu boyutludur . Her bölümde vücut veya bedenle ilgili herhangi bir kısıtlama belirtilecektir. Biz tarafından ifade u bir Endomorfizma E ve $İd$ kimlik Endomorfizma .

Kendi değeri

Tanım - Skaler $λ$ , u ( x ) = $λ$ x olacak şekilde sıfır olmayan bir x vektörü varsa , u'nun bir özdeğeridir .

Özdeğer u nedenle skalerler olan $X$ şekilde U - $λId$ değildir birebir (diğer bir deyişle kendi çekirdek düşük değildir sıfır vektör ).

Bir kare matrisin öz A büyüklüğünün N Endomorfizma özdeğerler olan K , n matris A içinde standart olarak .

Eğer E sonlu boyut ait n , özdeğer u (ya da matris A herhangi bir esas ):

olan kökleri kendi arasında ortak karakteristik polinom , det ( X - No u = det () x I , n - A );
hepsi spektral değerler arasında u (ya da A kendi unsurları:) ortak spektrumu .

Örnekler:

eğer u = $Id$ sonra u 1: tek özdeğer sahiptir.
eğer u ℝ tanımlanır 2 tarafından daha sonra u iki özdeğerleri vardır: sen(x1,x2)=(x1+6x2,x1+2x2){\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})} $u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})$
- 4 çünkü $u (2,1) = (8,4) = 4 (2,1)$
- –1 çünkü $u (-3,1) = (3, -1) = - 1 (-3,1)$
- boyut 2 olduğu için başka bir özdeğer yok.

Temiz vektör

Tanım - Let x, bir sıfır olmayan vektör E , X bir eigenvector u varsa, bir skaler $λ$ şekilde U ( x ) = $λ$ x . X'in özdeğer $λ$ ile ilişkili bir özvektör olduğunu söylüyoruz .

(Bir özdeğer ilişkili özvektörler $λ$ bir kare matris) A büyüklüğünün N (özdeğer ilişkili özvektörleri $λ$ Endomorfizma arasında) K , n ile temsil edilen A .

Bir özvektör, iki farklı özdeğerle ilişkilendirilemez
K farklı özdeğerle ilişkili bir k özvektör ailesi, özgür bir aileyi oluşturur .

Alt alanları temizle

Tanım - λ, u'nun özdeğeri olsun (sırasıyla A ); daha sonra özdeğer λ ve sıfır vektörü için özvektörlerden oluşan küme, özdeğer λ ile ilişkili u (sırasıyla A ) özdeğeri olarak adlandırılır .

Bir özdeğer λ ile ilişkili öz alt uzay, u - λ $Id'nin$ çekirdeğidir . Bu nedenle bir vektör alt uzayıdır .
Bir özdeğerin tanımına göre, bir özdeğer asla sıfır vektörüne indirgenmez.
Bir kare matris için A büyüklüğünün n , biz tarafından özdeğer λ ile bağlantılı öz alt uzay bulmak çözme ve (homojen) sistemi , n lineer denklem ile N , matrisin yazma (olup bilinmeyenler - bir $λ$ I n ) v = 0.
Aygen e i özdeğerler X i vektörünün altuzayları kararlı doğrudan bir toplamı oluşturmak u .
Bu, aralarında ikişer ikişer asal olan X - λ i polinomlarına uygulanan çekirdek lemasının bir sonucudur . E i'nin bu doğrudan toplamı, ancak ve ancak endomorfizm köşegenleştirilebilirse E'ye eşittir .
İki Endomorfizmaların Eğer u ve v gidip , daha sonra herhangi bir uygun alt uzay u altında kararlıdır v .

Karakteristik polinom

Burada E'nin sonlu n boyutunda olduğunu varsayıyoruz .

Biz Endomorfizma ait "karakteristik polinom" adını u , polinom det ( X- $Id$ - u ) ve bir kare matris "karakteristik polinom" A düzenin N , Endomorfizma karakteristik polinomu K , n kanonik ilişkili A , yani, polinom det ( XI n - A ), burada I n , n × n kimlik matrisidir . Bu polinom, n derecededir , bu nedenle en fazla n köke sahiptir .

Ya a : E → F vektör uzaylarının bir izomorfizmi , yani doğrusal bir önyargı , o zaman u ve aua -1 aynı karakteristik polinomlara ve dolayısıyla aynı özdeğerlere sahiptir.
Aslında, ${\ displaystyle \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {F} -aua ^ {- 1}) = \ det (a (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u) a ^ {- 1}) = \ det (\ lambda {\ rm {Kimlik}} _ {E} -u).}$
Bu nedenle u'nun karakteristik polinomu, herhangi bir temelde A matrisininkine eşittir .
Karakteristik polinomunun kökleri u (veya A ) kendi özdeğerler.
Gerçekte, bir endomorfizmin ancak ve ancak enjekte edici olmaması durumunda sıfır belirleyicisi vardır.
Eğer K edilir cebirsel kapalı veya eğer K olan R alan gerçek sayılar ve n garip, o zaman u en az birini özdeğer sahiptir.
Bir alanın cebirsel olarak kapalı olduğunu söylemek, sabit olmayan herhangi bir polinomun en az bir kökü kabul ettiğini söylemektir . Yukarıdaki ilk noktaya göre, bu kök zorunlu olarak bir özdeğerdir. Öte yandan, tek dereceli gerçek bir polinomun her zaman gerçek bir kökü vardır.

Sırası bir özdeğer cebirsel çokluğu λ sırasıdır kökünün sayıda karakteristik polinom içinde. Bu nedenle , karakteristik polinomdaki ( X - λ) ' nın üssüdür .

Cebirsel olarak kapalı bir alanda:
- Belirleyici, cebirsel çokluk sırasına yükseltilmiş özdeğerlerin ürününe eşittir;
- İz, özdeğerlerin toplamının cebirsel çokluk dereceleri ile çarpımına eşittir.

Minimal polinom

Burada kendimizi sonlu boyutlu bir E vektör uzayı çerçevesine yerleştiriyoruz .

Biz “minimal polinom” dediğimiz u birim polinom iptal küçük derece u . Minimal polinom bir verir doğrusal bağımlılık ilişkisi güçlere u 0 , u 1 , u 2 , ..., bağımlılık ilişkisi lineer Endomorfizma ve karşılıklı böyle a bir iptal etme polinom verir u derecesini en aza indirerek ve alarak, asgari polinomu meydana gelen en büyük u gücü için katsayı 1 .

Minimal polinomun kökleri u'nun özdeğerleridir .

Minimal polinom M = ( X - λ) Q çarpanlarına ayrılmışsa , M ( u ) = ( u - λ

Id

) ∘ Q ( u ) sıfır endomorfizm iken, Q ( u ) değildir (çünkü Q'nun derecesi çok düşük). Sonuç olarak, Q ( u ) görüntüsünde λ için özvektörler olan sıfır olmayan vektörler vardır.

Daha genel olarak, herhangi bir i ≥ 1 tamsayısı için , minimum polinom ( X - λ) i ile bölünebilir ancak ve ancak ( u - λ $Id$ ) i'nin çekirdeği ( u - λ $Id$ ) i - 1'den kesinlikle daha büyükse . Sonuç olarak, minimal polinomun kökü olarak λ'nın m çokluğu , en küçük üsse eşittir, öyle ki ( u - λ $Id$ ) m'nin çekirdeği , özdeğer λ ile ilişkili karakteristik altuzaya eşittir. Asgari çokluk λ olarak adlandırılır.
Let bir olması bir otomorfizma arasında E daha sonra, U ve AUA -1 aynı minimal polinom (ve bu nedenle aynı özdeğerlere) sahiptir. Başka bir deyişle, minimal polinom, endomorfizmin benzerlik değişmezidir .
Aslında, P ( aua -1 ) eşittir aP ( u ) , herhangi bir polinom P için -1'dir .
Cebirsel olarak kapalı bir alanda, minimum polinom (sıfır olmayan herhangi bir polinom gibi) bölünür ve bu nedenle en az bir kökü vardır, bu da u'nun özdeğeridir (istisna: E'nin boyutu sıfırsa, minimum polinom 1'dir, tıpkı karakteristik polinom gibi ve u'nun özdeğeri yoktur).
Cayley-Hamilton teoremi durumuna izin vermesi olduğunu minimal polinom bölme karakteristik polinom

Karakteristik alt uzaylar

E'nin sonlu boyutlu olduğunu ve K'nin cebirsel olarak kapalı olduğunu varsayıyoruz .

Λ bir özdeğer ise u , α olan çokluğu sırası X , biz “karakteristik alt uzay” adını u özdeğer λ ile (çekirdeği ilişkili U - λ $Id$ ) α λ . Bu karakteristik alt uzay E λ'yı göstereceğiz .

E λ aynı zamanda ( u - λ $Id$ ) β λ'nın çekirdeğidir; burada β λ , minimal polinomda λ'nın çokluğunun mertebesidir.
E λ , u'ya göre kararlıdır .
dim ( E λ ) = α λ .
Boşluk e karakteristik Altuzayların doğrudan toplamıdır.
kısıtlanması u için E λ az bir polinom sahiptir ( X - λ) p λ .

Endomorfizmin azaltılması

E'nin sonlu boyutta olduğunu varsayıyoruz . Özdeğerlerin incelenmesi, endomorfizmlerin daha basit bir biçimini bulmayı mümkün kılar, buna indirgeme denir.

Köşegenleştirme

Endomorfizm tamamen kendi özvektörleri ve köşegenleştirilebilirse, yani özvektörlerin bir temeli varsa, ilişkili özdeğerleri tarafından belirlenir. “ Köşegenleştirilebilir matris ” makalesinde sayısal örnekler verilmiştir . Aşağıdaki kriterler, sonlu boyutlu bir vektör uzayının bir endomorfizminin köşegenleştirilebilir olması için gerekli ve yeterli koşullardır :

Özvektörlerin bir tabanı var
toplam Aygen bütün alanıdır
Öz uzayların boyutlarının toplamı, tüm uzayın boyutuna eşittir
minimal polinom, K ve tek köklerle bölünmüştür . ( Endomorfizmin Polinomunda Kanıtı . )
herhangi bir uygun alt uzay, ilişkili özdeğerin cebirsel çokluğuna eşit bir boyuta sahiptir.
bir matris biçimi M arasında u yani şeklinde yazılabilir, diyagonal M = PDP -1 ile P ve D , sırasıyla ters çevrilebilir ve diyagonal matrisler .

Bu eşdeğer özelliklere ek olarak, aşağıdaki çıkarımlar vardır:

Dim ( E ) farklı özdeğerler varsa, u köşegenleştirilebilir.
Eğer u köşegenleştirilebilir, sonra onun karakteristik polinom ayrılmıştır.

Alanın ℂ olduğu durumda, bu özellik Lebesgue ölçümü anlamında hemen hemen her yerde doğrudur . Dahası, E'nin endomorfizmlerinin topolojik uzayında , köşegenleştirilebilir olanların alt kümesi yoğundur .

Dunford ayrışması

Minimal polinom ise u bölünmüş, sonra U şeklinde yazılabilir , u = D + N ile d köşegenleştirilebilir ve n nilpotentlik şekilde dn = nd . Ayrıca, d ve n, polinomları olan u .

Ürdün Temsilciliği

K'nin cebirsel olarak kapalı olduğunu varsayıyoruz .

Jordan'ın gösterimi ardından herhangi bir Endomorfizma kanıtlıyor u arasında E olduğunu trigonalisable . Bu kısıtlama göstermektedir u özdeğer ile bağlantılı özellik alt alana $λ$ bir gösterimi olan bloklardan oluşan formunun

J_ {k} (\ lambda) = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 &&&& \\ & \ lambda & 1 && (0) & \\ && \ ddots & \ ddots && \ &&& \ ddots & \ ddots & \ \ & (0) &&& \ lambda & 1 \\ &&&&& \ lambda \\\ end {pmatrix}}

"Ürdün blokları" olarak adlandırılır ve endomorfizmin formda bir matris gösterimi vardır.

{\ begin {pmatrix} J _ {{k_ {1}}} (\ lambda _ {1}) &&&& \\ & J _ {{k_ {2}}} (\ lambda _ {2}) && \\ && \ ddots && \\ &&& \ ddots & \\ &&&& J _ {{k_ {r}}} (\ lambda _ {r}) \\\ end {pmatrix}}

burada $λ i$ skalerleri (ayrı olması gerekmez) u'nun özdeğerleridir .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Kaynakça

Serge Lang , Algebra [ sürümlerin detayı ]
Haïm Brezis , Fonksiyonel analiz: teori ve uygulamalar [ baskıların ayrıntıları ]
Walter Rudin , Functional analysis [ basımların ayrıntısı ]
(en) Nelson Dunford ve Jacob T. Schwartz (en) , Doğrusal Operatörler, Bölüm I Genel Teori , Wiley-Interscience, 1988