Diyagonal matris
Olarak lineer cebir , bir köşegen matris a, kare matris katsayıları dışında , ana diyagonal sıfırdır. Köşegenin katsayıları sıfır olabilir veya olmayabilir.
Çapraz matris olup temsil karşı gelen bir matris a köşegenleştirilebilir Endomorfizma bir de esas arasında özvektör . Köşegenleştirilebilir bir endomorfizmin matrisi, köşegen bir matrise benzer .
Herhangi bir köşegen matris simetrik , normal ve üçgendir . Birim matris I , n köşegendir.
Tanım
Aşağıdaki durumlarda kare matrisin köşegen olduğu söylenir:
D=(dben,j)1≤ben,j≤değil{\ displaystyle D = (d_ {i, j}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}
∀(ben,j)∈[[1,değil]]2, ben≠j ⇒ dben,j=0.{\ displaystyle \ forall (i, j) \ [\! [1, n] \!] ^ {2}, \ i \ neq j \ \ Rightarrow \ d_ {i, j} = 0.}Örnekler
Aşağıdaki matrisler köşegendir:
(10000ben0000-10000-ben),(10000000-3),(0001),(1).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ mathrm {i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \ mathrm {i} \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 \ end {pmatrix}}.}Öte yandan, aşağıdaki matrisler köşegen değildir:
(000100-100ben001000),(10002100-3),(0100).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \ mathrm {i} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 3 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 ve 0 \ end {pmatrix}}.}Değerlendirme
Köşegen bir matris tamamen köşegen öğelerinin listesi tarafından belirlendiğinden, aşağıdaki daha kısa gösterim genellikle benimsenir:
tanılama(-de1,-de2,...,-dedeğil)=(-de10...00-de2⋱⋮⋮⋱⋱00...0-dedeğil).{\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ ldots & 0 & a_ {n} \ end {pmatrix}}.}Kullanımlar
Köşegen matrisler, doğrusal cebirin hemen hemen tüm alanlarında görünür. Çarpma diyagonal matris çok basittir; ayrıca, ilginç bir matris bir şekilde köşegen bir matris ile değiştirilebilirse, onu içeren hesaplamalar daha hızlı olur ve matrisin bellekte depolanması daha kolay olur. Bazı matrisleri köşegen yapmanın bir yöntemi köşegenleştirmedir .
Neredeyse köşegen bir matris (daha sonra baskın bir köşegen matris olduğu söylenir ) tersine çevrilebilir, Gershgorin dairelerinin kesişmemesine tabi .
Sipariş bir köşegen matris n katsayılı K doğal özvektörler (vektörlerini sahip kanonik olarak bir K , n ve diyagonal katsayıları) olan ilgili özdeğer .
Bir halinde , normal bir matris olup , üçgen sonra köşegendir.
Karmaşık bir matris, ancak ve ancak üniter bir köşegen matrise benzerse normaldir .
Ayrıca, herhangi bir karmaşık matrisin (kare olması gerekmez), sıfırlarla pozitif bir çapraz matrise birimsel olarak eşdeğer olduğu tekil değer ayrışımına da bakın .
Özellikleri
Çarpma işlemi
- Bir matris ise , o zaman:
M{\ displaystyle M}değil×m{\ displaystyle n \ kere m}
-
tanılama(-de1,...,-dedeğil)M{\ displaystyle \ operatöradı {diag} (a_ {1}, \ noktalar, a_ {n}) M}çıkarsanır tüm çarparak gelen için , bir inci hattı ile ;M{\ displaystyle M}ben{\ displaystyle i}1{\ displaystyle 1}değil{\ displaystyle n}ben{\ displaystyle i}M{\ displaystyle M}-deben{\ displaystyle a_ {i}}
-
Mtanılama(b1,...,bm){\ displaystyle M \ operatöradı {diag} (b_ {1}, \ noktalar, b_ {m})}çıkarılabilir olduğu herkes için, çarparak gelen etmek , bir-inci sütuna göre .M{\ displaystyle M}j{\ displaystyle j}1{\ displaystyle 1}m{\ displaystyle m}j{\ displaystyle j}M{\ displaystyle M}bj{\ displaystyle b_ {j}}
- Özellikle, tanılama(-de1,...,-dedeğil)tanılama(b1,...,bdeğil)=tanılama(-de1b1,...,-dedeğilbdeğil){\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ operatorname {diag} (b_ {1}, \ dots, b_ {n}) = \ operatorname {diag} (a_ { 1} b_ {1}, \ noktalar, a_ {n} b_ {n})}
bu nedenle .∀k∈DEĞİL∗tanılama(-de1,...,-dedeğil)k=tanılama(-de1k,...,-dedeğilk){\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) ^ {k} = \ operatorname {diag} (a_ {1} ^ {k}, \ noktalar, a_ {n} ^ {k})}
- Herhangi bir değişmeli A halkası için, n mertebesindeki köşegen matrisler, bir değişmeli alt cebirini oluşturur .Mdeğil(AT){\ displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (A)}
Başka bir deyişle, tüm köşegen matrisler için ve elimizde:D=tanılama((dben)1≤ben≤değil){\ displaystyle D = \ operatöradı {diag} ((d_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}E=tanılama((eben)1≤ben≤değil){\ displaystyle E = \ operatöradı {diag} ((e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}
- ∀(λ,μ)∈AT2λD+μE=tanılama((λdben+μeben)1≤ben≤değil){\ displaystyle \ forall (\ lambda, \ mu) \ içinde A ^ {2} \ quad \ lambda D + \ mu E = \ operatorname {diag} ((\ lambda d_ {i} + \ mu e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}
- DE=ED=tanılama((dbeneben)1≤ben≤değil){\ displaystyle DE = ED = \ operatöradı {diag} ((d_ {i} e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}
Belirleme
Belirleyici diyagonal matris diagonal elemanlarının çarpımına eşittir:
det(tanılama(-de1,-de2,...,-dedeğil))=|-de10...00-de2⋱⋮⋮⋱⋱00...0-dedeğil|=∏k=1değil-dek{\ displaystyle \ det (\ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})) = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \ \ 0 & a_ {2} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ ldots & 0 & a_ {n} \ end {vmatrix}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}
Tersinirlik
Bir matris ile diyagonal matris ürünlerinin ifadesinin göre ( bakınız yukarıdaki , bir köşegen matris) bir katsayılı yekpare halka bir (mutlaka değişmeli değil) tersinir olarak sadece ve sadece eğer tüm vardır olarak tersinir A (yani, -Zero, eğer bir bir olduğunu tarla ) ve bu durumda,
tanılama(-de1,-de2,...,-dedeğil){\ displaystyle \ operatöradı {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ noktalar, a_ {n})} Mdeğil(AT){\ displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (A)}-deben{\ displaystyle a_ {i}}
tanılama(-de1,-de2,...,-dedeğil)-1=tanılama(1/-de1,1/-de2,...,1/-dedeğil){\ displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}) ^ {- 1} = \ operatorname {diag} (1 / a_ {1}, 1 / a_ { 2}, \ noktalar, 1 / a_ {n})}.
Bu, tersine çevrilebilir bir köşegen matris için, daha önce görülen güçleri hesaplama kuralını göreceli tam sayı üslerine genişletmeyi mümkün kılar .
Skaler matris
Bir skaler matris (bir katsayılı bir köşegenel matristir halka λ formun söylemek tüm çapraz katsayıları eşit olan), I , n burada λ skalar ve I N düzenin birim matris n .
Başka bir deyişle , D kare ise ve eğer:
D=(-deben,j){\ displaystyle D = (a_ {i, j})}
-deben,j={λEğer ben=j0Eğer ben≠j{\ displaystyle a_ {i, j} = {\ begin {case} \ lambda & {\ text {si}} i = j \\ 0 & {\ text {si}} i \ neq j \ end {case}} }
yani, ana köşegendeki tüm öğeler eşittir ve diğer tüm öğeler sıfırdır.
Bu ise herhangi bir esas matris vektör ölçekleme oranı .
λ{\ displaystyle \ lambda}
Eğer K değişmeli gövde, merkezi bir doğrusal grubu GL ( N , K ) skaler sıfır olmayan matris oluşturulur n satır ve n, sütunlar ve katsayılı K . Eğer Daha genel olarak, bir üniter bir halka, merkezi GL ( n , A ) büyüklüğü sıfır olmayan skalar matrislerin oluşturulur n merkezinde katsayıları A .
Notlar ve referanslar
-
N. Bourbaki , Cebir , bölüm. 2, Paris, 1970, s. II.151.
-
Örneğin, bakınız (in) JJ Rotman, An Introduction Gruplarının Teorisine , 4 th edition, baskı 1999, Teorem 8.9, s. 222.
-
(in) VP Platonov , "genel lineer grubu" olarak Michiel Hazewinkel , Matematik Ansiklopedisi , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">