Projektif cebirsel çeşitlilik

Gelen cebirsel geometri yansıtmalı manifoldlar manifold önemli bir sınıfını oluşturur. Kompaktlık özelliklerini ve sonluluk özelliklerini doğrularlar . Küresel cebirsel geometrinin ana nesnesidir .

Cebirsel olarak kapalı bir alanda, bir projektif manifoldun noktaları, bir projektif cebirsel kümenin noktalarıdır .

Tanım

Bir (değişmeli) alanı düzeltiriz . k{\ displaystyle k}

• Homojen cebir . Izin vermek homojen bir idealin bölümü olsun (yani homojen polinomlar tarafından oluşturulan ideal). O zaman dereceli bir cebirdirB{\ displaystyle B}k[T0,...,Tdeğil]{\ displaystyle k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}

B=⊕d≥0Bd,{\ displaystyle B = \ oplus _ {d \ geq 0} B_ {d},} homojen polinomların modulo sınıfları kümesi nerede . Öğelerine homojen derece unsurları denir . Bir homojen yere ait homojen elemanlar tarafından üretilen bir idealdir. Belirli bir homojen ideal, kesinlikle pozitif derecede bir homojen unsurlar kümesidir. Bu, sınıfları tarafından üretilen maksimum idealdir .Bd{\ displaystyle B_ {d}}ben{\ displaystyle I}d{\ displaystyle d}Bd{\ displaystyle B_ {d}}d{\ displaystyle d}B{\ displaystyle B}B+,{\ displaystyle B _ {+},}T0,...,Tdeğil{\ displaystyle T_ {0}, \ ldots, T_ {n}}

• Topolojik uzay . Tanım gereği, Proj kümesi bu özelliği içermeyen (bu nedenle kesinlikle içerilen ) ve maksimal olan homojen birincil ideallerden oluşur . Herhangi bir homojen ideal için , Proj içerdiği ana idealler kümesini belirtiyoruz . Biz değişiklik olduğunda , parçalar arasında Proj ile Zariski en topolojinin kapalı bir parçasını teşkil eder .B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle B}B+{\ displaystyle B _ {+}}B+{\ displaystyle B _ {+}}ben{\ displaystyle I}V+(ben){\ displaystyle V _ {+} (I)}q{\ displaystyle q}B{\ displaystyle B}ben{\ displaystyle I}ben{\ displaystyle I}V+(ben){\ displaystyle V _ {+} (I)}PrÖjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}B{\ displaystyle B}

• Bir topoloji temeli . Eğer homojen bir unsurdur, biz göstermek tamlayanını . Bu bir ana açık . Ana açıklıklar topolojinin temelini oluşturur. Ayrıca, topolojik alan maksimum spektrumu homeomorphic , elemanlarının setidir lokalizasyonu bir kısmıyla temsil edilebilir olan derece homojen . Cebir taşımaktadır sonlu tip over .f{\ displaystyle f}D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}V+(fB){\ displaystyle V _ {+} (fB)}D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}Spm(B(f)){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (B _ {(f)})}B(f){\ displaystyle B _ {(f)}} Bf{\ displaystyle B_ {f}}b/fm{\ displaystyle b / f ^ {m}}b{\ displaystyle b}mderece⁡f{\ displaystyle m \ deg f}B(f){\ displaystyle B _ {(f)}}k{\ displaystyle k}

• Teklif . Herhangi bir homojen için açık alt değişkenlik afin cebirsel manifold için izomorfik olacak şekilde üzerinde cebirsel manifoldun benzersiz bir yapısı vardır .PrÖjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}f{\ displaystyle f}D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)} SpmB(f){\ displaystyle {\ rm {Spm}} B _ {(f)}}

• Tanım . Üzerinde bir projektif manifold , homojen bir cebir için izomorfik üzerinde bir cebirsel manifolddur .k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}PrÖjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}k{\ displaystyle k}B{\ displaystyle B}

• Bir yarı-yansıtmalı manifoldu izdüşümsel manifoldunun bir açık altcins olduğunu. Herhangi bir rafine edilmiş manifold , projektif bir manifoldda açık bir alt çeşitlilik olarak daldırılır. Bu nedenle, herhangi bir yarı afin çeşitlilik yarı yansıtıcıdır.

Örnekler

• Projektif manifold, sur boyutunun yansıtmalı uzayı olarak adlandırılır . Bu çeşitliliği not ediyoruz veya . Afin uzay Spm ile izomorfik olan açıklıkların birleşimidir . Onun noktaları üzerinde tam noktalarıdır yansıtmalı uzay boyut üzerinde . Onun Krull boyutu olduğunu .PrÖjk[T0,...,Tdeğil]{\ displaystyle {\ rm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}değil{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}Pkdeğil{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}Pdeğil{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {n}}değil+1{\ displaystyle n + 1}D+(Tben){\ displaystyle D _ {+} (T_ {i})}k[X1,...,Xdeğil]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}k{\ displaystyle k}değil{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}değil{\ displaystyle n}

• If değişkenleri olan ve sıfır olmayan homojen bir polinomdur . Öyleyse , boyutun bir hiper yüzeyidir . Çünkü , daha sonra bir projektif düzlem eğrisi elde ederiz. Bu özellikle Fermat eğrileri ( ve ile ) ve eliptik eğriler için geçerlidir .f{\ displaystyle f}değil+1{\ displaystyle n + 1}PrÖj(k[T0,...,Tdeğil]/(f)){\ displaystyle {\ rm {Proj}} (k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (f))}Pkdeğil{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}değil-1{\ displaystyle n-1}değil=2{\ displaystyle n = 2}f=T0p+T1p+T2p{\ displaystyle f = T_ {0} ^ {p} + T_ {1} ^ {p} + T_ {2} ^ {p}}p>2{\ displaystyle p> 2}

Özellikleri

• Eğer homojen bir cebri, bölümüdür . Ardından , yansıtmalı alanın kapalı bir alt çeşitliliği . Tersine, bir projektif uzayın (veya bir projektif manifoldun) herhangi bir kapalı altmanifoldunun bir projektif manifold olduğunu gösteriyoruz.B{\ displaystyle B}k[T0,...,Tdeğil]{\ displaystyle \ scriptstyle k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}PrÖjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
• Ürün iki yansıtmalı manifold bir yansıtmalı manifolddur. Bu , Segre'nin ürünü kapalı bir alt çeşitlilik olarak tanımlayan yerleştirmesinden kaynaklanır .Pkdeğil×kPkm{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n} \ times _ {k} \ mathbb {P} _ {k} ^ {m}}Pkdeğilm+değil+m{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {nm + n + m}}
• Herhangi bir yansıtmalı çeşitliliği ayrı ve temiz  (in) ile .k{\ displaystyle k}
• Eğer ayrı bir cebirsel manifolduna izdüşümsel manifoldu bir morfizmanın, sonra kapalı bir harita (yani herhangi kapalı bir kısmının görüntüsü kapalıdır) 'dir.f:X→Y{\ displaystyle \ scriptstyle f: X \ - Y}f{\ displaystyle f}
• Eğer ℝ veya ℂ =, topolojik çeşitlilik olduğunu kompakt . Herhangi bir yansıtmalı kollektörünün üzerinde , resim arasında puan azından bir daha sonra (topolojik manifoldun topoloji için), kapalı bir parçasıdır . Özellikle, indüklenmiş topoloji için kompakttır.k{\ displaystyle k} Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}X(k){\ displaystyle X (k)}k{\ displaystyle k}X{\ displaystyle X}Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}X(k){\ displaystyle X (k)}
• Projektif uzay için , normal fonksiyonların cebirinin O ( ) ' ya eşit olduğunu kolayca gösterebiliriz (yani, sadece global düzenli fonksiyonlar sabit fonksiyonlardır). Genel olarak bir yansıtmalı manifold için -algebra , sonlu vektör boyutundadır. Bu, tutarlı kasnakların kohomolojisi üzerine Serre teoreminin özel bir örneğidir . Projektif manifoldlar bu nedenle kompakt (karmaşık) analitik uzaylarla karşılaştırılacaktır.Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}k{\ displaystyle k}X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}ÖX(X){\ displaystyle O_ {X} (X)}
• Bunu takiben, aynı zamanda afin olan bir yansıtmalı çeşitlilik zorunlu olarak sonlu sayıda noktadan (yani 0 boyutundan) oluşur.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">