Rasyonel nokta

Sayılan teorisi ve cebirsel geometri , rasyonel noktaları bir bir cebirsel çeşitli bir alanda tanımlanan zaman olan X, polinom denklemler sisteminde, solüsyonlar ile tanımlanır k bu sistemin. $X$ $k$

Resmi tanımlama

Izin bir cebirsel çeşitli bir alanın üzerine tanımlanmış . Bir nokta ise rasyonel bir nokta olarak adlandırılan artık alanı arasında X de , x eşittir . Bu , afin bir yerel haritadaki noktanın koordinatlarının hepsine ait olduğunu söylemek anlamına gelir . Cebirsel çeşitlilik, homojen veya afin polinom denklemler sisteminden çıkarıldığında, rasyonel noktalar, içindeki sistemin çözümlerine karşılık gelir . $X$ $k$ $X içinde x \$ $k (x)$ $k$ $x$ $k$ $k$

Rasyonel noktalar kümesi gösterilir . $X$ $X (k)$

Cebirsel olarak kapalı bir taban alanında, tüm (kapalı) noktalar rasyoneldir. Aksi takdirde, o olmadan da boş olabilir . $X (k)$ $X$

Bazı örnekler

Aritmetik geometrinin önemli bir kısmı , bir sayı alanında tanımlanan cebirsel çeşitlerin rasyonel noktalarının incelenmesiyle ilgilidir .

Bir afin uzayın rasyonel noktaları kümesi ile tanımlanır . Benzer şekilde, bir projektif uzayın rasyonel noktaları kümesi (cebirsel bir manifold olarak), yansıtmalı uzay ile tanımlanır . ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {K} ^ {n}}$ $K ^ {n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {K} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (K ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \}) / K ^ {*}}$
Eğer X, bir yansıtmalı cebirsel eğri denklemi tarafından tanımlanan ℚ içinde p , bir tek asal sayı, rasyonel puan, X, üs Fermat denkleminin homojen çözeltilerine (ℚ) tekabül . Nokta rasyonel bir noktadır (ℚ üzerinde), öte yandan birliğin ilkel p- inci kökü olduğu nokta rasyonel değildir. ${\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} = 0}$ $p$ ${\ displaystyle (1: -1: 0)}$ ${\ displaystyle (-1: \ xi _ {p}: 0)}$ ${\ displaystyle \ xi _ {p} = e ^ {2i \ pi / p} \ in \ mathbb {C}}$
Afin eğrisinin x 2 + y 2 + 1 = 0 üzerinde rasyonel noktası yoktur.
Mordell tahmin kanıtlanmıştır, Gerd Faltings her için bahsedilen yansıtmalı eğri olmayan tekil tür bir sayı alanı üzerinde tanımlanmış en az iki, rasyonel noktaları en sonlu sayıda vardır.
Mordell-Weil teoremi Lang ve neron'ait genelleştirilmiş, herhangi söylüyor değişmeli manifoldu A bir fazla alan K sonlu Çeşidi ℚ ya da sınırlı bir alanda, mantıklı noktalar grubu A ( K ) bir bir bitmiş Çeşidi değişmeli grubu .

Ayrıca görün

§ Makalenin "Mantıksal noktaları": Cebirsel çeşitlilik

Notlar

(in) Serge Lang ve André Néron , değişmeli çeşitlerin fonksiyon alanlarına göre rasyonel noktası , Amer. J. Math. 81 (1959), 95–118
(in) Brian Conrad , "Chow'un K / k -İmaj ve K / k -Trace ve Lang-Neron teoremi" Enseign. Matematik. , 52 (2006), 37–108 [ çevrimiçi okuyun ] .