Projektif cebirsel çeşitlilik
Gelen cebirsel geometri yansıtmalı manifoldlar manifold önemli bir sınıfını oluşturur. Kompaktlık özelliklerini ve sonluluk özelliklerini doğrularlar . Küresel cebirsel geometrinin ana nesnesidir .
Cebirsel olarak kapalı bir alanda, bir projektif manifoldun noktaları, bir projektif cebirsel kümenin noktalarıdır .
Tanım
Bir (değişmeli) alanı düzeltiriz .
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
-
Homojen cebir . Izin vermek homojen bir idealin bölümü olsun (yani homojen polinomlar tarafından oluşturulan ideal). O zaman dereceli bir cebirdirB{\ displaystyle B}
k[T0,...,Tdeğil]{\ displaystyle k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}
B=⊕d≥0Bd,{\ displaystyle B = \ oplus _ {d \ geq 0} B_ {d},}![B = \ oplus_ {d \ ge 0} B_d,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4206276ca34dc38e015bdfddf6ca9926bea14d7f)
homojen polinomların modulo sınıfları kümesi nerede . Öğelerine homojen derece unsurları denir . Bir
homojen yere ait homojen elemanlar tarafından üretilen bir idealdir. Belirli bir homojen ideal, kesinlikle pozitif derecede bir homojen unsurlar kümesidir. Bu, sınıfları tarafından üretilen maksimum idealdir .
Bd{\ displaystyle B_ {d}}
ben{\ displaystyle I}
d{\ displaystyle d}
Bd{\ displaystyle B_ {d}}
d{\ displaystyle d}
B{\ displaystyle B}
B+,{\ displaystyle B _ {+},}
T0,...,Tdeğil{\ displaystyle T_ {0}, \ ldots, T_ {n}}![T_0, \ ldots, T_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8488d04c1ccb4948fba6925cbbba4317b9cb8cf)
-
Topolojik uzay . Tanım gereği, Proj kümesi bu özelliği içermeyen (bu nedenle kesinlikle içerilen ) ve maksimal olan homojen birincil ideallerden oluşur . Herhangi bir homojen ideal için , Proj içerdiği ana idealler kümesini belirtiyoruz . Biz değişiklik olduğunda , parçalar arasında Proj ile Zariski en topolojinin kapalı bir parçasını teşkil eder .B{\ displaystyle B}
B{\ displaystyle B}
B+{\ displaystyle B _ {+}}
B+{\ displaystyle B _ {+}}
ben{\ displaystyle I}
V+(ben){\ displaystyle V _ {+} (I)}
q{\ displaystyle q}
B{\ displaystyle B}
ben{\ displaystyle I}
ben{\ displaystyle I}
V+(ben){\ displaystyle V _ {+} (I)}
PrÖjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}
B{\ displaystyle B}![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
-
Bir topoloji temeli . Eğer homojen bir unsurdur, biz göstermek tamlayanını . Bu bir ana açık . Ana açıklıklar topolojinin temelini oluşturur. Ayrıca, topolojik alan maksimum spektrumu homeomorphic , elemanlarının setidir lokalizasyonu bir kısmıyla temsil edilebilir olan derece homojen . Cebir taşımaktadır sonlu tip over .f{\ displaystyle f}
D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}
V+(fB){\ displaystyle V _ {+} (fB)}
D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}
Spm(B(f)){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (B _ {(f)})}
B(f){\ displaystyle B _ {(f)}}
Bf{\ displaystyle B_ {f}}
b/fm{\ displaystyle b / f ^ {m}}
b{\ displaystyle b}
mderecef{\ displaystyle m \ deg f}
B(f){\ displaystyle B _ {(f)}}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
-
Teklif . Herhangi bir homojen için açık alt değişkenlik afin cebirsel manifold için izomorfik olacak şekilde üzerinde cebirsel manifoldun benzersiz bir yapısı vardır .PrÖjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}
f{\ displaystyle f}
D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}
SpmB(f){\ displaystyle {\ rm {Spm}} B _ {(f)}}![{\ rm Spm} B _ {(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfe15820a30c714a17c6047d5a5e9a31f2743d5)
-
Tanım . Üzerinde bir projektif manifold , homojen bir cebir için izomorfik üzerinde bir cebirsel manifolddur .k{\ displaystyle k}
k{\ displaystyle k}
PrÖjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}
k{\ displaystyle k}
B{\ displaystyle B}![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
- Bir yarı-yansıtmalı manifoldu izdüşümsel manifoldunun bir açık altcins olduğunu. Herhangi bir rafine edilmiş manifold , projektif bir manifoldda açık bir alt çeşitlilik olarak daldırılır. Bu nedenle, herhangi bir yarı afin çeşitlilik yarı yansıtıcıdır.
Örnekler
- Projektif manifold, sur boyutunun yansıtmalı uzayı olarak adlandırılır . Bu çeşitliliği not ediyoruz veya . Afin uzay Spm ile izomorfik olan açıklıkların birleşimidir . Onun noktaları üzerinde tam noktalarıdır yansıtmalı uzay boyut üzerinde . Onun Krull boyutu olduğunu .PrÖjk[T0,...,Tdeğil]{\ displaystyle {\ rm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}
değil{\ displaystyle n}
k{\ displaystyle k}
Pkdeğil{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
Pdeğil{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {n}}
değil+1{\ displaystyle n + 1}
D+(Tben){\ displaystyle D _ {+} (T_ {i})}
k[X1,...,Xdeğil]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}
k{\ displaystyle k}
değil{\ displaystyle n}
k{\ displaystyle k}
değil{\ displaystyle n}![değil](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
- If değişkenleri olan ve sıfır olmayan homojen bir polinomdur . Öyleyse , boyutun bir hiper yüzeyidir . Çünkü , daha sonra bir projektif düzlem eğrisi elde ederiz. Bu özellikle Fermat eğrileri ( ve ile ) ve eliptik eğriler için geçerlidir .f{\ displaystyle f}
değil+1{\ displaystyle n + 1}
PrÖj(k[T0,...,Tdeğil]/(f)){\ displaystyle {\ rm {Proj}} (k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (f))}
Pkdeğil{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
değil-1{\ displaystyle n-1}
değil=2{\ displaystyle n = 2}
f=T0p+T1p+T2p{\ displaystyle f = T_ {0} ^ {p} + T_ {1} ^ {p} + T_ {2} ^ {p}}
p>2{\ displaystyle p> 2}![p> 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0502012bc3b4e73e6f3c2f4748feaab3fd3c350d)
Özellikleri
- Eğer homojen bir cebri, bölümüdür . Ardından , yansıtmalı alanın kapalı bir alt çeşitliliği . Tersine, bir projektif uzayın (veya bir projektif manifoldun) herhangi bir kapalı altmanifoldunun bir projektif manifold olduğunu gösteriyoruz.B{\ displaystyle B}
k[T0,...,Tdeğil]{\ displaystyle \ scriptstyle k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}
PrÖjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}
Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}![\ scriptstyle \ mathbb P ^ n_k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44309bc078d77a1ec2b296bf858f6f2ac5bd6da3)
- Ürün iki yansıtmalı manifold bir yansıtmalı manifolddur. Bu , Segre'nin ürünü kapalı bir alt çeşitlilik olarak tanımlayan yerleştirmesinden kaynaklanır .Pkdeğil×kPkm{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n} \ times _ {k} \ mathbb {P} _ {k} ^ {m}}
Pkdeğilm+değil+m{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {nm + n + m}}![\ scriptstyle \ mathbb P ^ {nm + n + m} _k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e41092b3b2909827790b4469d6e6c7846508c6)
- Herhangi bir yansıtmalı çeşitliliği ayrı ve temiz (in) ile .k{\ displaystyle k}
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
- Eğer ayrı bir cebirsel manifolduna izdüşümsel manifoldu bir morfizmanın, sonra kapalı bir harita (yani herhangi kapalı bir kısmının görüntüsü kapalıdır) 'dir.f:X→Y{\ displaystyle \ scriptstyle f: X \ - Y}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
- Eğer ℝ veya ℂ =, topolojik çeşitlilik olduğunu kompakt . Herhangi bir yansıtmalı kollektörünün üzerinde , resim arasında puan azından bir daha sonra (topolojik manifoldun topoloji için), kapalı bir parçasıdır . Özellikle, indüklenmiş topoloji için kompakttır.k{\ displaystyle k}
Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
X{\ displaystyle X}
k{\ displaystyle k}
X(k){\ displaystyle X (k)}
k{\ displaystyle k}
X{\ displaystyle X}
Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
X(k){\ displaystyle X (k)}![X (k)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba570685e082df7e6ff2d7f1c86cbb990aa6743)
- Projektif uzay için , normal fonksiyonların cebirinin O ( ) ' ya eşit olduğunu kolayca gösterebiliriz (yani, sadece global düzenli fonksiyonlar sabit fonksiyonlardır). Genel olarak bir yansıtmalı manifold için -algebra , sonlu vektör boyutundadır. Bu, tutarlı kasnakların kohomolojisi üzerine Serre teoreminin özel bir örneğidir . Projektif manifoldlar bu nedenle kompakt (karmaşık) analitik uzaylarla karşılaştırılacaktır.Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
Pkdeğil{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
k{\ displaystyle k}
X{\ displaystyle X}
k{\ displaystyle k}
ÖX(X){\ displaystyle O_ {X} (X)}![O_X (X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6888e0abca62a0b39dc2311629ecbed8632bde4)
- Bunu takiben, aynı zamanda afin olan bir yansıtmalı çeşitlilik zorunlu olarak sonlu sayıda noktadan (yani 0 boyutundan) oluşur.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">