Toplam varyasyon (matematik)
Gelen matematik , toplam varyasyon (yerel veya küresel) yapıya ilişkin bazı biraz farklı konseptleri, bakabilirsiniz değer kümesi a fonksiyonu ya da bir önlem . [ a , b ] ⊂ ℝ aralığında tanımlanan, gerçek değerleri f olan sürekli bir fonksiyon için , tanım aralığındaki toplam varyasyonu, x ↦ f ( x ) denkleminin eğrisinin yay uzunluğunun bir ölçüsüdür, x ∈ için [ a , b ].
Tarihsel Not
Gerçek bir değişkenin fonksiyonları için toplam varyasyon fikri, sınırlı varyasyona sahip Fourier serisi periyodik süreksiz fonksiyonlar için bir yakınsama teoremi göstermek amacıyla ilk olarak Camille Jordan tarafından tanıtıldı . Kavramın birkaç değişkenli fonksiyonlara genişletilmesi o kadar basit değildir.
Tanımlar
Gerçek bir değişkenin işlevleri
Bir aralık üzerinden tanımlanan gerçek (veya karmaşık) bir f değişkeninin bir fonksiyonunun toplam varyasyonu şu şekilde verilir:
[de,b]⊂${\ displaystyle [a, b] \ altküme \ mathbb {R}}
Vbde(f)=supP∑ben=0değilP-1|f(xben+1)-f(xben)|,{\ displaystyle V_ {b} ^ {a} (f) = \ sup _ {\ matematiksel {P}} \ toplam _ {i = 0} ^ {n_ {P} -1} | f (x_ {i + 1 }) - f (x_ {i}) |, \,}burada supremum, verilen aralığın bölümleri kümesinde geçerlidir .
P={P={x0,...,xdeğilP}|P bir bölümüdür [de,b]}{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ left \ {P = \ {x_ {0}, \ dots, x_ {n_ {P}} \} | P {\ text {bir bölümüdür}} [a , b] \ sağ \}}
Birkaç gerçek değişkenin işlevleri
Ω, ℝ n'nin açık bir alt kümesi olsun . Bir işlev için f içinde L 1 (Ω), toplam varyasyon f Q ile tanımlanır:
V(f,Ω): =sup{∫Ωf(x)divϕ(x)dx:ϕ∈VSvs1(Ω,$değil), ‖ϕ‖L∞(Ω)≤1},{\ displaystyle V (f, \ Omega): = \ sup \ left \ {\ int _ {\ Omega} f (x) \ operatöradı {div} \ phi (x) \, \ matematik {d} x \ iki nokta üst üste \ phi \ in C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n}), \ \ Vert \ phi \ Vert _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)} \ leq 1 \ sağ \},}nerede Ω içinde yer alan kompakt destekli sürekli türevlenebilir vektör değerlerine sahip fonksiyonlar kümesidir ve temel üst sınırla ilgili normdur. Sınırlı bir etki alanına sahip olmanın burada yararlı olmadığını unutmayın .
VSvs1(Ω,$değil){\ displaystyle C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n})}‖‖L∞(Ω){\ displaystyle \ Yeşil \; \ Yeşil _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)}}Ω⊆$değil{\ displaystyle \ Omega \ alt küme \ matbb {R} ^ {n}}
Ölçümler
İmzalı ölçü: klasik tanım
Ölçülebilir bir uzay üzerinde işaretli bir ölçü μ düşünün . μ 'nin sırasıyla üst varyasyonu ve alt varyasyonu olarak adlandırılan ve on iki fonksiyon tanımlarız :
(X,Σ){\ görüntü stili (X, \ Sigma)}W¯(μ,⋅){\ displaystyle {\ üst çizgi {\ matematik {W}}} (\ mu, \ cdot)}W_(μ,⋅){\ displaystyle {\ altı çizili {\ matematik {W}}} (\ mu, \ cdot)}Σ{\ görüntü stili \ Sigma}
W¯(μ,E): =sup{μ(AT)∣AT∈Σ ve AT⊂E}∀E∈Σ{\ displaystyle {\ overline {\ matematik {W}}} (\ mu, E): = \ sup \ left \ {\ mu (A) \ mid A \ in \ Sigma {\ text {and}} A \ subset E \ sağ \} \ qquad \ forall E \ in \ Sigma},
W_(μ,E): =enf{μ(AT)∣AT∈Σ ve AT⊂E}∀E∈Σ{\ displaystyle {\ altı çizili {\ matematik {W}}} (\ mu, E): = \ inf \ sol \ {\ mu (A) \ orta A \ in \ Sigma {\ metin {ve}} A \ altküme E \ sağ \} \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}.
Yani
W¯(μ,E)≥0≥W_(μ,E)∀E∈Σ{\ displaystyle {\ üst çizgi {\ matematik {W}}} (\ mu, E) \ geq 0 \ geq {\ altı çizili {\ matrm {W}}} (\ mu, E) \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}.
Varyasyon (hatta mutlak varyasyon imzalı ölçüm arasında) u kaydetti | μ | , daha sonra aşağıdaki gibi tanımlanır
|μ|(E): =W¯(μ,E)+|W_(μ,E)|∀E∈Σ{\ displaystyle | \ mu | (E): = {\ üst çizgi {\ matematik {W}}} (\ mu, E) + \ sol | {\ altı çizili {\ matematik {W}}} (\ mu, E) \ sağ | \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}.
μ varyasyonunun üzerinde (pozitif) bir ölçü olduğunu gösterebiliriz . Toplam varyasyon ve ^ ı ile gösterilen, || μ || , varyasyonun tüm tanım kümesini kapladığı toplam kütleyi gösterir X , yani:
(X,Σ){\ görüntü stili (X, \ Sigma)}
‖μ‖: =|μ|(X){\ displaystyle \ | \ mu \ |: = | \ mu | (X)}.
Dilin kötüye kullanılmasıyla varyasyon | μ | bazen toplam değişimin bir ölçüsü olarak da adlandırılır .
İmzalı ölçü: modern tanım
Biz yazarsanız Ürdün ayrışma imzalı tedbir ait u :
μ=μ+-μ-{\ displaystyle \ mu = \ mu ^ {+} - \ mu ^ {-} \,}burada ve her ikisi de pozitif ölçüler ise, o zaman aşağıdaki alternatif varyasyon tanımına sahibiz | μ | :
μ+{\ displaystyle \ mu ^ {+}}μ-{\ displaystyle \ mu ^ {-}}
|μ|=μ++μ-{\ displaystyle | \ mu | = \ mu ^ {+} + \ mu ^ {-} \,}.
Karmaşık ölçümler
μ ölçüsü karmaşık değerliyse, üst ve alt varyasyonlar tanımlanamaz ve Hahn-Jordan ayrıştırması yalnızca gerçek ve sanal kısımlara uygulanabilir. Ancak, karmaşık bir ölçümün toplam varyasyonunu tanımlamak mümkündür:
Varyasyon grubu fonksiyonudur μ kompleks değerlere sahip bir ölçüm
|μ|(E)=supπ∑AT∈π|μ(AT)|∀E∈Σ{\ displaystyle | \ mu | (E) = \ sup _ {\ pi} \ toplam _ {A \ in \ pi} | \ mu (A) | \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}
burada ölçülebilir bir E uzayının tüm bölümleri π için üstünlük , sonlu sayıda ayrık, ölçülebilir alt kümeye alınır.
Gerçek bir değişkene dönersek, daha önce görülen tanımı buluyoruz .
|μ|=μ++μ-{\ displaystyle | \ mu | = \ mu ^ {+} + \ mu ^ {-} \,}
Vektör ölçümleri
Burada tanımlanacağı şekliyle varyasyon pozitiftir ve μ'nin işaretli bir ölçü olduğu ile örtüşür: toplam varyasyonu zaten tanımlanmıştır. Vektör değerlerinin işlevlerine genişletilebilir:
|μ|(E)=supπ∑AT∈π‖μ(AT)‖∀E∈Σ{\ displaystyle | \ mu | (E) = \ sup _ {\ pi} \ toplam _ {A \ in \ pi} \ | \ mu (A) \ | \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}Burada verilen tanım, yalnızca X uzayının sonlu bölümlerini gerektirmesi anlamında Rudin tarafından verilen tanımı genişletir : bu, sonlu toplam ölçülerinin toplam varyasyonları için kullanılabileceğini ima eder.
Özellikleri
Türevlenebilir fonksiyonların toplam varyasyonu
Türevlenebilir bir fonksiyonun toplam varyasyonu, daha önce görüldüğü gibi fonksiyonların üst sınırından ziyade fonksiyona bağlı bir integral ile verilebilir.
Gerçek türetilebilir bir değişkenin bir fonksiyonunun toplam varyasyonu
Toplam varyasyon a türevlenebilir fonksiyonu f gerçek aralığından [üzerinde tanımlanan bir , b , aşağıdaki gibi onun türevi ise], ifade edilebilir f Riemann-integrallenebilirdir
Vbde(f)=∫deb|f′(x)|dx{\ displaystyle V_ {b} ^ {a} (f) = \ int _ {a} ^ {b} | f '(x) | \ matematik {d} x}
Birkaç türevlenebilir gerçek değişkenli bir fonksiyonun toplam varyasyonu
f , sınırlı bir açık küme üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu olsun , o zaman f'nin toplam varyasyonu şu şekilde verilir:
Ω⊆$değil{\ displaystyle \ Omega \ alt küme \ matbb {R} ^ {n}}
V(f,Ω)=∫Ω|∇f(x)|dx{\ displaystyle V (f, \ Omega) = \ int \ limitler _ {\ Omega} \ sol | \ nabla f (x) \ sağ | \ matematik {d} x}nerede normu belirtir l 2 .
|.|{\ görüntü stili |. |}
gösteri
Green-Ostrogradsky teoreminden gelen bir eşitliği ispatlayarak başlıyoruz .
Teoremin koşulları altında, elimizde:
∫Ωfdbenvϕ=-∫Ω∇f⋅ϕ{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} f \, \ matematik {div} \ phi = - \ int _ {\ Omega} \ nabla f \ cdot \ phi}Nitekim, Green-Ostrogradsky teoremi ile
∫ΩdivF=∫∂Ω$⋅değil{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ text {div}} \ mathbf {F} = \ int _ {\ kısmi \ Omega} \ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {n}}alarak geliyor:
F: =fϕ{\ displaystyle \ mathbf {F}: = f \ mathbf {\ phi}}
∫Ωdiv(fϕ)=∫∂Ω(fϕ)⋅değil{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ text {div}} \ sol (f \ mathbf {\ phi} \ sağ) = \ int _ {\ kısmi \ Omega} \ sol (f \ mathbf {\ phi} \ sağ) \ cdot \ matematikbf {n}}tanım gereği Ω'nin kenarında sıfır nerede :
ϕ{\ displaystyle \ matematik {\ phi}}
0=∫Ωdiv(fϕ)=∫Ω∂xben(fϕben)=∫Ω(ϕben∂xbenf+f∂xbenϕben)⇔∫Ωf∂xbenϕben=-∫Ωϕben∂xbenf⇔∫Ωfdivϕ=-∫Ωϕ⋅∇f{\ displaystyle 0 = \ int _ {\ Omega} {\ text {div}} \ sol (f \ mathbf {\ phi} \ sağ) = \ int _ {\ Omega} \ kısmi _ {x_ {i}} \ sol (f \ mathbf {\ phi} _ {i} \ sağ) = \ int _ {\ Omega} (\ mathbf {\ phi} _ {i} \ kısmi _ {x_ {i}} f + f \ kısmi _ {x_ {i}} \ mathbf {\ phi} _ {i}) \, \ Leftrightarrow \, \ int _ {\ Omega} f \ kısmi _ {x_ {i}} \ mathbf {\ phi} _ {i} = - \ int _ {\ Omega} \ mathbf {\ phi} _ {i} \ kısmi _ {x_ {i}} f \, \ Leftrightarrow \, \ int _ {\ Omega} f {\ metin {div}} \ matematik {\ phi} = - \ int _ {\ Omega} \ matematik {\ phi} \ cdot \ nabla f}Böylece, aşağıdaki eşitlik doğrulanır:
∫Ωfdivϕ=-∫Ωϕ⋅∇f≤|∫Ωϕ⋅∇f|≤∫Ω|ϕ|⋅|∇f|≤∫Ω|∇f|{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} f {\ text {div}} \ mathbf {\ phi} = - \ int _ {\ Omega} \ mathbf {\ phi} \ cdot \ nabla f \ leq \ sol | \ int _ {\ Omega} \ mathbf {\ phi} \ cdot \ nabla f \ sağ | \ leq \ int _ {\ Omega} \ sol | \ mathbf {\ phi} \ sağ | \ cdot \ sol | \ nabla f \ sağ | \ leq \ int _ {\ Omega} \ sol | \ nabla f \ sağ |}Son terimde, atılabilir, çünkü tanım gereği, temel üst sınırı en fazla 1'dir.
ϕ{\ displaystyle \ matematik {\ phi}}
Şimdi ne zaman ve ne zaman olmadığını düşünün . İçin , let sonra olmak bir yaklaşım için de yakın ve aynı ayrılmaz. Çünkü bu yaklaşım mümkündür içinde yoğundur L 1 . Şimdi, önceki lemmanın eşitliğini değiştirerek:
θ(x): =∇f(x)|∇f(x)|{\ displaystyle \ teta (x): = {\ frac {\ nabla f (x)} {\ sol | \ nabla f (x) \ sağ |}}}|∇f(x)|≠0{\ displaystyle | \ nabla f (x) | \ neq 0}θ(x)=0{\ görüntü stili \ teta (x) = 0}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}θε∗{\ displaystyle \ teta _ {\ varepsilon} ^ {*}}θ{\ görüntü stili \ teta}ε{\ displaystyle \ varepsilon}VSvs1(Ω;$değil){\ displaystyle C_ {c} ^ {1} (\ Omega; \ mathbb {R} ^ {n})}VSvs1{\ görüntü stili C_ {c} ^ {1}}
limε→0∫Ωfdivθε∗=limε→0∫Ωθε∗⋅∇f=∫Ωθ⋅∇f=∫Ω|∇f|{\ displaystyle \ lim \ limitler _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ int _ {\ Omega} f {\ text {div}} \ teta _ {\ varepsilon} ^ {*} = \ lim \ limitler _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ int _ {\ Omega} \ mathbb {\ teta} _ {\ varepsilon} ^ {*} \ cdot \ nabla f = \ int _ {\ Omega} \ teta \ cdot \ nabla f = \ int _ {\ Omega} \ sol | \ nabla f \ sağ |}Böylece yakınsak bir diziye sahibiz , oysa sahip olduğumuza yöneliyor , bu da sonuca varmayı mümkün kılıyor.
∫Ωfdivϕ{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} f {\ metin {div}} \ mathbf {\ phi}}∫Ω|∇f|{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ sol | \ nabla f \ sağ |}∫Ωfdivϕ≤∫Ω|∇f|{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} f {\ text {div}} \ mathbf {\ phi} \ leq \ int _ {\ Omega} \ sol | \ nabla f \ sağ |}
Toplam varyasyonu sonlu ise f'nin sınırlı bir varyasyonu olduğunu söyleriz .
Bir ölçünün toplam varyasyonu
Toplam varyasyon, sınırlı varyasyon ölçümleri alanı üzerinde tanımlanan bir normdur . Bir σ-cebir kümesindeki bu uzay , normu ile donatılmış , ca uzayı olarak adlandırılan bir Banach uzayıdır . Aynı norma sahip (sayılabilir toplamın aksine) sonlu toplamın ölçülerinden oluşan, ba uzayı olarak adlandırılan daha büyük bir Banach uzayında bulunur . Standartla ilişkili mesafe fonksiyonu, iki ölçüm μ ve ν arasındaki mesafenin toplam değişimini vermeyi mümkün kılar .
ℝ üzerindeki sonlu ölçümler için , daha önce açıklandığı gibi , bir ölçümün μ toplam varyasyonu ile bir fonksiyonun varyasyonu arasındaki bağlantı aşağıdaki gibidir. İle u , bir işlev ayarlamak cp o ℝ → ℝ böyle:
φ(t)=μ((-∞,t]) .{\ displaystyle \ varphi (t) = \ mu ((-\infty, t]) ~.}O zaman, μ işaretli bir ölçünün toplam varyasyonu, φ toplam varyasyonuna eşittir . Genel olarak, Ürdün'ün ayrıştırma teoremi sayesinde imzalı bir ölçünün toplam varyasyonu tanımlanabilir.
‖μ‖TV=μ+(X)+μ-(X) ,{\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {TV} = \ mu _ {+} (X) + \ mu _ {-} (X) ~,}ölçülebilir uzay ( X , Σ) üzerinde μ işaretli herhangi bir ölçüm için .
Uygulamalar
Toplam varyasyon, gerçek bir değişkenin pozitif bir fonksiyoneli (sadece bir değişkenli durum için) veya integrallenebilir fonksiyonların uzayı üzerinde (birkaç değişkenli durum için) olarak görülebilir. İşlevsel olarak toplam varyasyon, matematik ve mühendislikte optimal kontrol , sayısal analiz veya varyasyon hesabı gibi bir problemin çözümünün minimum toplam varyasyonda olması gereken çeşitli uygulamalar bulur . İki tür ortak sorundan bahsedebiliriz:
İlgili Makaleler
Notlar ve referanslar
-
( Jordan 1881 ), göre ( Golubov ve Vitushkin 2002 ).
-
( Saks 1937 , s. 10)
-
( Rudin 1966 )
-
( Rudin 1966 , s. 139)
-
( 1966 Rudin , s. 138)
-
(it) Cesare Arzelà, “ Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (Sınırlı varyasyona sahip iki değişkenli fonksiyonlar üzerine) ” , Rendiconto delle sessioni della Reale Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna , cilt. IX, n veya 4,7 Mayıs 1905, s. 100–107 ( çevrimiçi oku [ arşivi7 Ağu 2007] ).
-
(tr) Boris I. Golubov , “Arzelà varyasyonu” , içinde Michiel Hazewinkel , Matematik Ansiklopedisi , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun ).
-
(tr) Boris I. Golubov , “Fréchet varyasyonu” , içinde Michiel Hazewinkel , Matematik Ansiklopedisi , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun ).
-
(tr) Boris I. Golubov , “Hardy varyasyon” , içinde Michiel Hazewinkel , Matematik Ansiklopedisi , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun ).
-
(tr) Boris I. Golubov , “Pierpont varyasyonu” , içinde Michiel Hazewinkel , Matematik Ansiklopedisi , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun ).
-
(tr) Boris I. Golubov , “Vitali varyasyonu” , içinde Michiel Hazewinkel , Matematik Ansiklopedisi , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun ).
-
(tr) Boris I. Golubov , “Tonelli düzlem varyasyonu” , içinde Michiel Hazewinkel , Matematik Ansiklopedisi , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun ).
- (tr) Boris I. Golubov ve Anatolii G. Vitushkin , “ Varyation of a function” , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun )
- Camille Jordan , “ Fourier serisinde ”, Académie des Sciences oturumlarının haftalık raporları , cilt. 92,1881, s. 228–230 ( çevrimiçi okuyun )
-
(de) Hans Hahn, Theorie der reellen Funktionen , Berlin, Springer Verlag ,1921, VII + 600 s. ( çevrimiçi oku [ arşivi31 Aralık 2008] ).
-
(it) Giuseppe Vitali, “ Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (Nokta grupları ve gerçek değişkenlerin fonksiyonları hakkında) ” , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino , vol. 43,1908, s. 75–92 ( çevrimiçi oku [ arşivi31 Mart 2009] ).
-
C. Raymond Adams ve James A. Clarkson, “ İki değişkenli fonksiyonlar için sınırlı varyasyon tanımları üzerine ”, Transactions of the American Mathematical Society , cilt. 35,1933, s. 824–854 ( DOI 10.1090 / S0002-9947-1933-1501718-2 , Matematik İncelemeleri 1501718 , zbMATH 0008.00602 , çevrimiçi okuyun ).
-
(it) Lamberto Cesari, “ Sulle funzioni a variazione limitata (Sınırlı varyasyonun işlevleri üzerine) ” , Annali della Scuola Normale Superiore , iI, cilt. 5, n kemik 3-4,1936, s. 299–313 ( Matematik İncelemeleri 1556778 , zbMATH 0014.29605 , çevrimiçi okuyun ).
-
Stanislaw Saks, “ Theory of the Integral ”, Mathematical Monographs , Varşova - Lwów , GE Stechert & Co., Monografie Matematyczne , cilt. 7,1937, s. VI + 347 ( Matematik İncelemeleri 1556778 , zbMATH 0017.00004 , çevrimiçi okuyun ).
-
Walter Rudin, Gerçek ve Karmaşık Analiz , New York, McGraw-Hill ,1966, 1 st ed. , xi + 412 s. ( Matematik İncelemeleri 210528 , zbMATH 0142.01701 ).
Dış bağlantılar
Uygulamalar
-
Vincent Caselles, Antonin Chambolle ve Matteo Novaga, “ TV gürültü azaltma probleminin süreksizlik çözümleri seti ve bazı uzantılar ”, Multiscale Modeling and Simulation , SIAM , cilt. 6, n o 3,2007( çevrimiçi okuyun ) (görüntü işleme için gürültü gidermede toplam varyasyonun uygulanması).
-
Leonid I. Rudin, Stanley Osher ve Emad Fatemi, “ Doğrusal olmayan toplam varyasyon tabanlı gürültü giderme algoritmaları ”, Physica D: Doğrusal Olmayan Olaylar , n o 60.1,1992, s. 259-268 ( çevrimiçi okuyun ).
-
Peter Blomgren ve Tony F. Chan, “ Renkli TV: vektör değerli görüntülerin restorasyonu için toplam varyasyon yöntemleri ”, Görüntü İşleme, IEEE İşlemleri , cilt. 7, n o 3,1998, s. 304-309 ( çevrimiçi okuyun ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">