Metrik uzay

Gelen matematik ve daha özel olarak topoloji , bir metrik alan a, dizi bir kavramı, içinde mesafe seti elemanları arasında tanımlanır. Elemanlar genel olarak noktalar olarak adlandırılacaktır.

Herhangi bir metrik uzay, kurallı olarak bir topoloji ile donatılmıştır . Metriklenebilir boşluklar bu şekilde elde edilen topolojik boşluklar vardır.

Sezgisel uzay deneyimimize en uygun örnek, üç boyutlu Öklid uzayıdır . Bu uzayın Öklid metriği, iki nokta arasındaki mesafeyi, onları birleştiren parçanın uzunluğu olarak tanımlar.

Bir metrik uzayın izometri sınıfı (yani, aynı metrik yapıdaki tüm uzayların kümesi), homeomorfi sınıfından çok daha küçüktür . Örneğin, bir kare, bir üçgen, bir daire ve herhangi bir Jordan eğrisi homeomorfiktir, ancak bunlar izometrik değildir. Böylece bir metrik yapı, nesnelerin geometrik şekli hakkında basit bir topolojik yapıdan çok daha fazla bilgiyi kodlar; ki bu şaşırtıcı değildir, çünkü iki nokta arasındaki mesafe kavramı, olağan geometri için merkezidir.

Metrik uzay kavramı ilk olarak Fransız matematikçi René Maurice Fréchet tarafından 1906'da savunduğu tezinde formüle edilmiştir .

Tanım

Tanım (metrik alanı) - Bir metrik alan bir çift boş olmayan bir dizi ve fazla mesafe olan bir uygulama olduğundan, biri aşağıdaki üç özellik olduğu. $(E, d)$ $E$ $d$ $E$ ${\ displaystyle d: E \ kez E \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$

simetri: . ${\ displaystyle \ için tüm x, y \ E'de, \, d (x, y) = d (y, x)}$
ayrılık: . ${\ displaystyle \ forall x, y \ in E, \, d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$
Üçgen eşitsizliği . ${\ displaystyle \ için tüm x, y, z \ E, \, d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$

Basitlik adına, bir metrik uzaya , temeldeki mesafe hakkında bir belirsizlik olmadığında, bazen çift tarafından değil , yalnızca küme tarafından atıfta bulunulacaktır . $E$ $(E, d)$ $d$

Bir metrik uzayın topolojisi

Top ve küre

Tanım (top ve küre) - Bir metrik uzay olsun ve . Bu tanımlar , açık ve kapalı topu ortalanmış, ve yarıçap ile aşağıdaki gibi. $(E, d)$ $yaşlı$ ${\ displaystyle r \ in \ sol] 0, + \ infty \ sağ [}$ $de$ $r$

Açık top: . ${\ displaystyle B (a, r): = \ {x \ in E \, | \, d (a, x) <r \}}$
Top kapalı: . ${\ displaystyle B_ {f} (a, r): = \ {x \ in E \, | \, d (a, x) \ leq r \}}$

Merkezli ve yarıçaplı küreyi de aşağıdaki gibi tanımlıyoruz . $de$ $r$

Küre . ${\ displaystyle S (a, r): = B_ {f} (a, r) \ setminus B (a, x) = \ {x \ in E \, | \, d (a, x) = r \} }$

Açık veya kapalı bir topun asla boş olmadığını fark ederiz çünkü her zaman merkezini içerir . Öte yandan, bir küre boş olabilir. $de$

Kör top (açık veya kapalı) kavramını tanımlamak bazen uygun olur: Bu, daha önce tanımlandığı gibi merkezinden yoksun toptur . Örneğin yarıçapı küt açık top r ve merkez a set belirtir:

${\ displaystyle B (a, r) \ setminus \ {a \}}$ .

topoloji

Olalım bir metrik uzay. Açık topların (herhangi bir) olası birleşiminden oluşan seti daha kesin olarak tanımlarız : $(E, d)$ ${\ matematiksel {T}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {T}}: = \ {\ cup _ {i \ in I} B (a_ {i}, r_ {i}) \, | \, I {\ text {herhangi bir set ve}} \ için tüm ben \ I, \, a_ {i} \ içinde E, \, r_ {i}> 0 \}}$

burada boş bir birliğin (ne zaman ) boş kümeye değdiğini düşünüyoruz . ${\ displaystyle I = \ varnothing}$ $\ hiçbir şey$

(Bir metrik alan topoloji) Öneri / tanımı - grubu a, topolojisi ile adlandırılan bir mesafe tarafından oluşturulan topoloji . Bu demektir ${\ matematiksel {T}}$ $E$ $d$

Boş küme ve tüm kümeye aittir . $\ hiçbir şey$ $E$ ${\ matematiksel {T}}$
Küme herhangi bir birlik tarafından kararlıdır. ${\ matematiksel {T}}$
Küme sonlu kesişim ile kararlıdır. ${\ matematiksel {T}}$

Tanım (açık, kapalı ve mahalle) - Aşağıdaki kelimeleri kullanıyoruz.

Elemanları denir, açık olanlar arasında . ${\ matematiksel {T}}$ $E$
Alt kümeleri diğer taraftan denir, açık tamamlayıcısı yazılır kapalı ait . $E$ $E$
Böyle bir açık varsa bir kümenin bir mahalle olduğu söylenir . ${\ displaystyle V \ alt küme E}$ $E'de x \$ ${\ displaystyle U \ {\ matematik {T}}}$ ${\ displaystyle x \ in U \ alt küme V}$

Açık, kapalı ve komşuluk kavramları aslında topolojik uzaylara atfedilen , daha genel olan ve metrik uzaylara özgü olmayan kavramlardır .

İlk özellikler

Herhangi bir açık top açık bir toptur.
Herhangi bir kapalı top kapalı bir toptur.
Her küre kapalı bir küredir.
Bir kısım A ve E , bir olan mahalle bir noktaya ait a ancak ve ancak bir merkez ile açık topu içeriyor a .
Bir noktada merkezli, açık top bir bir teşkil bölgelerinden temel bir bir . Olduğunu, herhangi mahalle bir merkez ile açık topu içeriyor a .
Tüm açık toplar , E'nin bir temel açıklığını oluşturur . Yani herhangi bir açık, açık topların birleşimi (herhangi biri) olarak yazılabilir.

süitlerin yakınsaması

Tanım (yakınsaklık, yapışma değeri, Cauchy dizisi) - Bir metrik uzayın dizisi olsun ve . ${\ görüntü stili (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $(E, d)$ $E'de x \$

'ye yakınsadığını söylüyoruz , ya da bunun sınırı , eğer ${\ görüntü stili (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $x$ $x$ ${\ görüntü stili (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ var n_ {0} \ geq 0, \, \ forall n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Bunun si'nin bir yapışma değeri olduğunu söylüyoruz. $x$ ${\ görüntü stili (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ forall n_ {0} \ geq 0, \, \ var n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Bunun bir Cauchy dizisi olduğunu söyleriz, eğer ${\ görüntü stili (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ var n_ {0} \ geq 0, \, \ forall p, q \ geq n_ {0}, \, d (x_ {p}, x_ {q}) \ leq \ varepsilon}

Aşağıdaki özellikler kontrol edilir:

Yakınsak bir dizi, limiti olan benzersiz bir yapışma değerine sahiptir.
Bir Cauchy dizisi, ancak ve ancak bir yapışma değerine sahipse yakınsar.

Açık bir topun yapışması

Yapışma çapı açık topun r ve merkez a belirtildiği gibi, , tanımı gereği, açık top ihtiva eden kapalı küçüğüdür . Kapalı top açık topu içerdiğinden ve kapalı olduğundan her zaman buna sahibiz . Öte yandan, bu katılımın katı olması da mümkündür. Örneğin düşündüğümüz eğer gerçek çizgi mesafesi sahip sonra , ve . ${\ displaystyle {\ üst çizgi {B}} (a, r)}$ ${\ görüntü stili B (a, r)}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r) \ altküme B_ {f} (a, r)}$ ${\ görüntü stili d (x, y): = \ min \ {| xy |, 1 \}}$ ${\ displaystyle B (0,1) = \ sol] -1,1 \ sağ [}$ ${\ displaystyle {\ üst çizgi {B}} (0,1) = \ sol [-1,1 \ sağ]}$ ${\ displaystyle B_ {f} (0,1) = \ mathbb {R}}$

Uyarılar

Bir boş olmayan kısmı için A ve E , bir noktasında bir haritada x ve E ilişkilendiren mesafeyi x için A (yani inf mesafelerin x noktalarına tüm A ) olan sürekli 1- çünkü Lipschitzian . X o yok olur, olduğu üye nokta için A .
- Herhangi bir metriklenebilir topolojik alanı dolayısıyla değil sadece ayrılmış , ancak tamamen normal dolayısıyla - Normal - bütün söylemek olduğu singletons edilir kapalı ve bir kapalı olduğu F olan iptal yer sürekli fonksiyonun: Uygulama x ↦ d ( x , F ).
Özellikle, E'nin herhangi bir a elemanı için , x ↦ d ( x , a ) haritası 1-Lipschitzian'dır. Şu sonucu çıkarıyoruz:
- herhangi bir kapalı top B f ( a , r ) uzaklıkla ilişkili topoloji için kapalı bir toptur ( bu harita ile kapalı [0,
r ]' nin karşılıklı bir görüntüsü olarak ). Yapışma B ( a , r ) bir B ( a , r ) bu nedenle dahildir B f ( a , r ), fakat bazen sıkı: yazılar "bkz Ball (matematik) " ve " Ultrametrik mesafe ".
d haritası 2-Lipschitzian'dır , E × E çarpım alanında d $\infty$ (( x 1 , x 2 ), ( y 1 , y 2 ) tarafından tanımlanan d $\infty$ mesafesine sahiptir ) = max ( d ( x 1 , y 1 ), d ( x 2 , y 2 )).

Herhangi bir bölümü üzerinde , A ve E , indüklenen topolojisi ile çakışan bir mesafe ile kısıtlanması yolu ile tanımlanır. Gerçekten de, her ikisi de bir şekilde sahip bölgelerinden esas bir noktası , x ve A ile kesiştiği bir merkezi açık topları x .

Kapalı toplarının tümü kompakt ise , bir metrik uzayın temiz olduğu söylenir . Herhangi bir uygun metrik uzay yerel olarak kompakttır, ancak tersi yanlıştır ( sonsuz bir küme üzerindeki ayrık mesafeyi düşünün ).

Örnekler

Bir kural K bir ile ya da kompleks vektör alan doğal bir mesafe indükleyen d ( x , y ) = N ( - x: y ).
ℝ n üzerindeki çeşitli olağan mesafeler bir normdan çıkarılır, bu nedenle, örneğin:
- ( n = 1 için) gerçel sayılar kümesi üzerindeki olağan uzaklık, mutlak değerle ilişkili
olandır ;
( n = 2 için uçakta Manhattan'a olan uzaklık ℝ 2 : d ( a , b ) = | x b - x bir | + | y b - y bir |. Norm 1 tarafından indüklenen mesafedir ;
( n = 2 için) satranç mesafesi , a = ( x a , y a ) karesinden b = ( x b , y b ) karesine kralla yapılacak minimum satranç hamlesi sayısını bilmeyi sağlar ve tanımlanır tarafından: d ( a , b ) = maks (| x b - x bir |, | y b - y bir |) ;

Modülü iki karmaşık sayılar arasındaki fark bir mesafedir.

Önemsiz uzaklık (veya ayrık uzaklık veya ayrık metrik), herhangi bir kümede şu şekilde tanımlanır: x ≠ y ve d ( x , x ) = 0 ise d ( x , y ) = 1. İlişkili topoloji ayrık topolojidir .

Hamming uzaklığı kullanılan düzeltici kod teorisi .

Topolojik alanlarda ℝ ve] 0, 1 [ alışılmış bir mesafede bulunmasını içerir, homeomorphic ancak, değil olan metrik alanlar olarak izomorfik ; örneğin, ℝ tamamlandı ama] 0, 1 [değil.

Biz ℝ bağışlamak ise + mesafesi ile d ( x , y ) = | e x - e y | biz ℝ her zamanki topoloji bulmak + fakat şimdi tüm polinom fonksiyonları düzgün sürekli .

Metrik uzayların çarpımı

Metrik uzayların herhangi bir sonlu veya sayılabilir çarpımı, düzgün çarpım yapısını ve a fortiori çarpım topolojisini indükleyen bir mesafe ile sağlanabilir : bunun için, eğer ( E k , d k ) ( k ∈ℕ) metrik uzaylarsa, örneğin, E 1 ×… × E n ile tanımlanan d N mesafesini sağlayın

d_ {N} {\ Büyük (} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) {\ Büyük)} = N {\ Büyük (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {\ Büyük)},

burada K a, standart ℓ s ℝ rasgele n (veya başka bir standart yetiştirme ℝ (ilgili + ) n için ürün sipariş ) sağlayan e = Π k ∈ℕ e k mesafesi d tarafından tanımlanan

d (x, y) = \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} {\ frac {d_ {k} (x_ {k}, y_ {k})} {2 ^ {k}}},

her mesafe burada e k önce bir tarafından gerektiğinde değiştirildiğinde topolojik eşdeğer bir mesafe d k artan sabit bir bağımsız ile k . d N ve d' nin gerçekten de karşılık gelen kümelerdeki uzaklıklar olduğu ve bu kümeler üzerinde tanımladıkları topolojilerin çarpım topolojileriyle çakıştığı kolayca doğrulanır (hesaplamalar, yalnızca iki topolojinin çakışmadığını, aynı zamanda iki yapının da tekdüze olduğunu bile gösterir). d k'nin önceden yer değiştirmesinde seçilmiş olmaları koşuluyla , eşdeğer mesafeleri yalnızca topolojik olarak değil, tek biçimli olarak buradan gelirler ).

Her durumunda d k olan ayrık mesafe , bu seçim d verir: eğer x ≠ Y , d ( x , y ) = 2 - k k en küçük n olacak şekilde X , n ≠ Y , n . Örnekler Baire uzay ve topolojik halkaları arasında biçimsel dizi .

Öte yandan, kaba olmayan topolojik uzayların sayılamayan bir ürünü hiçbir zaman ölçülebilir ve hatta ardışık değildir .

Metrik uzayların denkliği

İki metrik uzayı karşılaştırarak farklı denklik derecelerini ayırt etmek mümkündür . En azından metrik tarafından indüklenen topolojik yapıyı korumak için ikisi arasında sürekli bir fonksiyon gereklidir.

İki metrik uzay ( M 1 , d 1 ) ve ( M 2 , d 2 ) söylenir:

aralarında bir homeomorfizm varsa topolojik olarak izomorfik (veya homeomorfik ) ;
eşit izomorfik aralarında mevcutsa düzgün sürekli bir eşleşme olan karşılıklı eşit süreklidir.
Lipschitz-eşdeğerleri , karşılıklı haritasının yanı sıra Lipschitzian olan birinden diğerine bir bijeksiyon varsa .
aralarında bire bir izometri varsa izometrik olarak izomorfiktir . Bu durumda, iki boşluk esasen aynıdır. Bir izometri bir fonksiyonudur f : M 1 → M 2 mesafeleri korur: D 2 ( f ( x ), f ( y )) = D 1 ( x , y için tüm) x , y de M 1 . İzometriler mutlaka enjekte edicidir .
Benzer bir pozitif sabit olup olmadığını k > 0 ve bijection f : M 1 → M 2 olarak adlandırılan benzerlik , bu tür d 2 ( f ( x ), f ( y )) = k d 1 ( x , y için tüm) x , y de M 1 .
d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 2 ( f ( u ), f ( v )) olacak şekilde , benzerlik olarak adlandırılan bir f : M 1 → M 2 önermesi varsa benzer d 1 ( x , y ) = D 1 ( u , v ) tüm x , y , u , v içinde M 1 .

İki benzer Öklid uzayı zorunlu olarak homeomorfiktir, dolayısıyla aynı boyuttadır ve dolayısıyla izometriktir.

metriklenebilir alan

Biz demek bir topolojik uzay ise metriklenebilir onun topoloji üreten bir mesafe varsa. Aşağıda, ölçülebilir uzaylara ilişkin bazı örnekler verilmiştir:

Ölçülebilir uzay örnekleri

Birlikte	topoloji	Topolojiyi oluşturan mesafe
gerçek düz $\ matematik bb {R}$	açık aralıklar tarafından oluşturulan olağan topoloji ${\ displaystyle \ sol] a, b \ sağ [}$	mutlak değerle ilişkili mesafe
karmaşık plan $\ matematik {C}$	açık dikdörtgenler tarafından üretilen topoloji ${\ displaystyle \ {a <{\ mathfrak {Re}} (z) <b \} \ cap \ {c <{\ mathfrak {Im}} (z) <d \}}$	karmaşık modül ile ilişkili mesafe
$\ matematik bb {R} ^ {d}$	açık parke taşları tarafından oluşturulan topoloji ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {d} \ sol] a_ {i}, b_ {i} \ sağ [}$	Öklid mesafesi
gerçek hat tamamlandı ${\ displaystyle {\ üst çizgi {\ mathbb {R}}}}$	form kümeleri tarafından üretilen topoloji veya nerede ${\ displaystyle \ sol] a, + \ infty \ sağ]}$ ${\ displaystyle \ sol [- \ infty, bir \ sağ [}$ $bir \ içinde \ R$	${\ görüntü stili d (x, y) = \| \ arctan (x) - \ arctan (y) \|}$ olan sözleşme ile ${\ displaystyle \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm \, \ pi / 2}$
Olasılık önlemleri bir üzerinde ölçülebilir uzay metriklenebilir ve bir ayrılabilir ve nerede Borelian kabile atar ${\ görüntü stili {\ matematiksel {M}} ^ {1} (X)}$ ${\ görüntü stili (X, {\ matematiksel {B}} (X))}$ $X$ ${\ matematiksel {B}} (X)$	Bu tür bir önlem bölgelerinden esas benzersiz topolojisi kümeleri tarafından verilir , sürekli olarak bağlıdırlar, ve $\ mü$ ${\ displaystyle \ {\ nu \ in {\ mathcal {M}} ^ {1} (X) \, \| \, \ forall 1 \ leq i \ leq n, \| \ mu (f_ {i}) - \ nu (f_ {i}) \| <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ noktalar, f_ {n}}$ $\ varepsilon> 0$ $n \ geq 1$	Lévy-Prokhorov mesafesi
Sayılabilir bir ayırıcı yarı-norm ailesi ile donatılmış vektör uzayı (yani, şunu ima eder ) $E$ ${\ görüntü stili (p_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ ${\ displaystyle p_ {n} (x) = 0 ~ \ tüm n}$ $x = 0$	benzersiz topoloji böyle bir vektörün mahallelerin bir temel olduğunu setleri verilir nerede sonlu ve $x$ ${\ displaystyle \ {y \ in E \, \| \, \ forall i \ in J, \, p_ {i} (xy) <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle J \ altküme \ matbb {N}}$ $\ varepsilon> 0$	${\ displaystyle d (x, y) = \ toplam _ {n \ geq 0} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ min (p_ {n} (xy), 1)}$

Bir topolojik uzayın ölçülebilir olması için yeterli ve eşdeğer koşullar vardır:

İlk gerçekten yararlı olan Urysohn'dan kaynaklanmaktadır ; herhangi bir sayılabilir tabanlı normal uzayın metriklenebilir olduğunu söylüyor (koşulun bu formu aslında 1926'da Tychonov tarafından kanıtlandı. Urysohn'un 1925'te yayınlanan bir makalede bulduğu şey, herhangi bir sayılabilir tabanlı normal uzayın metriklenebilir olduğuydu). Örneğin, herhangi bir sayılabilir baz çeşidi ölçülebilirdir. Ayrıca bir kompakt , ancak ve ancak sayılabilir bir temeli varsa ölçülebilirdir.
Urysohn'un bu yeterli koşulu (düzenlilik + sayılabilir taban), Bing, Nagata ve Smirnov tarafından gerekli ve yeterli koşula (düzenlilik + yerel sonlu sayılabilir taban ) dönüştürülmüştür .
Smirnov ayrıca bir uzayın ancak ve ancak parakompakt ve yerel olarak ölçülebilir olması durumunda ölçülebilir olduğunu kanıtlamıştır (her noktanın ölçülebilir bir komşuluğu varsa bir uzayın yerel ölçülebilir olduğu söylenir). Özellikle, bir çeşit ancak ve ancak parakompakt ise ölçülebilirdir.

Notlar ve referanslar

Jean Dieudonné , Analizin Öğeleri , t. I: Modern analizin temelleri [ baskıların ayrıntıları ], 3 e ed. , s. 34 .
(in) CC Heyde ve E Seneta, Yüzyılların İstatistikçileri , Springer,2001( ISBN 978-0-387-95329-8 , çevrimiçi okuyun ) , s. 331
Maurice Fréchet, “ Fonksiyonel hesabın bazı noktalarında ”, Tez, Paris. Rendiconti Circolo Mat. Palermo , cilt. 22,1906, s. 1-74 ( çevrimiçi okuyun )
Jacques Dixmier , Genel Topoloji , PUF , s. 107.
Georges Skandalis , Topoloji ve analiz 3 rd yıl: çözümler ile dersler ve egzersizler , vol. 3, Paris, Dunod ,2004, s. 4.
Daha fazla ayrıntı için örneğin bulunan bağlantıyı izleyerek sayfanın altına kadar Vikiversite .
Henri Bourlès , Derinlemesine ve temel matematiğin kesinliği , cilt. 2: Alan uzantıları, topoloji ve topolojik vektör uzayları, fonksiyonel uzaylar, demetler , London, ISTE,2018, 316 s. ( ISBN 978-1-78405-416-8 , çevrimiçi okuyun ) , s. 101-102.
Pierre-Loïc Méliot, " Ölçümlerin yakınsaması, Poisson süreci ve Lévy süreci " ,2016, s. 12-14
Stéphane Mischler, “ Ecole Normale Supérieure'de Fonksiyonel Analiz ve PDE Kursu. Bölüm 1 - Yarı standart ve evtlcs'e giriş ” ,2007

Şuna da bakın: