Hill denklemi

Hill denklemi, a, ikinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem karşılamasıdır:

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + f (t) x = 0}

ile

f

bir periyodik fonksiyonu .

Bu denklem 1886'da George William Hill tarafından tanıtıldı ve özellikle fizikte yinelendi.

Her zaman, bir değişken değişikliği kullanarak, $f'nin$ π-periyodik olduğu benzer bir denklem elde edebiliriz . Daha sonra onu bir Fourier serisi şeklinde yeniden yazabiliriz :

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + \ left (\ theta _ {0} +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ theta _ {n} \ cos (2nt) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ phi _ {m} \ sin (2mt) \ sağ) y = 0}

Bu denklem sınıfının önemli bir durumu Mathieu denklemidir , burada ve Meissner denklemidir . ${\ displaystyle f (t) = a-2q \ cos (2t)}$ ${\ displaystyle f (t) = \ alfa ^ {2} + \ omega ^ {2} \ operatöradı {sgn} (\ cos (t))}$

Hill denkleminin çözümleri Floquet'in teorisinde geliştirilmiştir .

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Tepesi diferansiyel denklem " ( yazarların listesini görmek ) .
(tr) Eric W. Weisstein , " Hill's Diferansiyel Denklemi " , MathWorld'de