Bütün eleman

Gelen matematik ve daha özel olarak değişmeli cebir , tamsayılar bir ile değişmeli halkanın bir genelleme hem cebirsel tamsayı (halkasındaki tamsayı ilgili tam sayı ve) cebirsel elemanları bir in alanlarının genişletilmesi . Cebirsel sayı teorisi ve cebirsel geometride çok faydalı bir kavramdır . Ortaya çıkışı, ikinci dereceden tam sayıların , özellikle de Gauss tam sayılarının çalışılmasıyla başladı .

Tanım

Sabit, değişmeli bir $A$ halkasıdır .

Let $B olmak$ bir değişmeli $bir$ cebiri (a sahip, yani bir değişmeli (yekpare) bir halka bir halka morfizmalar ). Bir eleman $b$ ait $B$ üzerinde tam sayı olduğu söylenir $A$ bir mevcutsa birim polinom katsayılı $A$ ile kaybolan $b$ . ${\ displaystyle \ phi: A \ dan B ye}$

Örnekler

Ne zaman bir a, gövde (değişmeli) , tek bir eleman üzerinde bütünleşik olan A (ve sadece) bu ise, cebirsel fazla A .
Vücutta halka üzerinde bir cebri olarak görülen bir ilgili tam sayı , tamsayılardır cebirsel tamsayı . Örneğin : VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} $\ mathbb {C}$ Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}} $\ mathbb {Z}$
- Herhangi bir Gauss tamsayı ile ve bir
kare kökü $-1$ , üzerinde bir tam sayıdır , çünkü, tam katsayılı birim polinomla iptal edilir ;α=-de+benb∈VS{\ displaystyle \ alpha = a + \ mathrm {i} b \ in \ mathbb {C}} ${\ displaystyle \ alpha = a + \ mathrm {i} b \ in \ mathbb {C}}$ -de,b∈Z{\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}} ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ ben{\ displaystyle \ mathrm {i}} ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$ Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}} $\ mathbb {Z}$ α{\ displaystyle \ alpha} $\alfa$ X2-2-deX+(-de2+b2){\ displaystyle X ^ {2} -2aX + (a ^ {2} + b ^ {2})} ${\ displaystyle X ^ {2} -2aX + (a ^ {2} + b ^ {2})}$
tek rasyonel cebirsel tamsayılar göreli tam sayılardır.

Let bir olmak unsuru A ve B bölüm halkası A [ X ] / ( X- 2 - bir ). Görüntü X de B ile tamamlanır A .

Let G bir sonlu grup automorphisms arasında A ve A G elemanları alt halka A sabit tüm elemanları ile G . Yani A'nın her elemanı A G'nin integralidir .

Gösteri

Eğer α bir elemanıdır A , daha sonra α köküdür polinom tt σ ∈ G ( x - σα ) katsayıları arasında automorphisms değişmeyen olan G , çünkü simetrik fonksiyonlar arasında σα .

Söylenir $B$ olduğu üzerinden integral $A$ ya da bir olduğu $bir$ bütün cebri her eleman ise $B$ üzerinde yekparedir $A$ . Biz de diyecek bir olan tüm morfizmanın veya bir olan tüm uzantısı . ${\ displaystyle \ phi: A \ dan B ye}$ $A \ dan B ye$

Vücut uzantılarının aksine, bir halka morfizmi mutlaka enjekte edici değildir. Ama söylemek $b$ üzerinde ayrılmaz bir parçasıdır $A$ olduğunu vasıtasıyla $b$ bölüm halkasının üzerinde ayrılmaz bir parçasıdır ve $B$ . Bu nedenle kendimizi her zaman enjekte edici morfizmlerle sınırlayabiliriz. Ancak genel durumun tanımını korumak daha uygundur (bu nedenle bir örten morfizmin tamsayı olduğunu söyleyebiliriz). ${\ displaystyle \ phi: A \ dan B ye}$ ${\ displaystyle \ phi (A)}$

Özellikleri

Biz bir morfizmanın söylemek A için B bir olan sonlu morfizmanın o yaparsa B bir A Modül varsa, olduğu sonlu tipi, gibi ayrıca söylenmektedir B olduğu üzerinde sonlu A . ${\ displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ B}$ ${\ displaystyle B = b_ {1} A + \ ldots + b_ {n} A.}$

Teorem - Aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:

b , A üzerinde tam sayıdır ,
A [ b ], A üzerinde sonludur ( A modülü olarak),
B'nin b içeren bir (üniter) alt cebiri vardır ve A üzerinde sonlu ( A modülü olarak),
Bir olduğu bir [ b -] sadık modülü sonlu Çeşidi bir Modül.

Gösteri

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 3}$ ve anında. ${\ displaystyle 3 \ Rightarrow 4}$
${\ displaystyle 1 \ Rightarrow 2}$ :

Ya öyle . Ya . By Öklid bölünme içinde (çünkü burada mümkündür , elimizdeki üniter olan) ile en fazla derecesi . Öyleyse doğrusal bir kombinasyondur ve sonlu tiptedir. ${\ displaystyle P (X) = X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ ldots + a_ {0} \ A [X]} içinde$ ${\ displaystyle P (b) = 0}$ ${\ displaystyle F (X) \ A [X]}$ ${\ displaystyle A [X]}$ $P (X)$ ${\ displaystyle F (X) = Q (X) P (X) + R (X)}$ ${\ displaystyle R (X)}$ $n-1$ ${\ displaystyle F (b) = R (b)}$ ${\ displaystyle 1, b, \ ldots, b ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle A [b]}$

${\ displaystyle 4 \ Rightarrow 1}$ :

D'ye böyle bir modül ve A -modülü D' nin bir üretici ailesi verelim . Tüm i için , bd i bir D üyesidir ve A'daki katsayıların doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilir . Dolayısıyla , A'nın a ij öğeleri vardır, öyle ki: ${\ displaystyle (d_ {1}, \ ldots, d_ {n})}$ $d_ {j}$

{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n], \ quad b.d_ {i} = \ toplam _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} d_ {j}}

bu da yazılmış

{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n], \ quad \ sum _ {j = 1} ^ {n} (\ delta _ {ij} b-a_ {ij}) d_ {j} = 0}

δ ij Kronecker sembolünü gösterir .

Eğer determinantı d ile ifade edersek , Laplace formülü tüm i için dd i = 0 olduğunu gösterir . Şöyle d i oluşturmak D , biz anlamak dD = 0 dolayısıyla (itibaren D güvenilir olan) d = 0 bu belirleyici gelişirse d , biz bir şekilde bir denklemi elde P ( B ) = 0, p bir mghorta polinom katsayıları ile bir . ${\ displaystyle \ det (\ delta _ {ij} b-a_ {ij})}$

Sonuç 1 - A üzerinde B'nin tam sayı elemanları kümesi, B'nin görüntüsünü içeren bir alt halkasıdır . ${\ displaystyle \ phi: A \ dan B ye}$

Gösteri

Eğer B ve C üzerinde tamsayılardır , A daha sonra alt cebiri bir [ b , c ] zarfında (bir modül olarak) sonlu A [ b kendisi üzerinde sonlu] A , yani A [ b , c ] ile sonlu A , bu nedenle (göre teoreme göre) tüm elemanları A üzerinde tamsayılar, özellikle de b - c ve bc elemanları .

Doğal sonucu 2 - Eğer B olduğu üzerinden integral A ve eğer C arasında bir tamsayıdır parçası olan B a B cebiri, daha sonra C üzerinde yekparedir A . Bu nedenle, bir sabit halkanın bütün bir halka A üzerinde yekparedir A .

Gösteri

Izin vermek bir polinom c iptal eder . Yana fazla tamsayılardır , A , cebir bir olan bir (önceki doğal sonucu gerekçesini yineleme) sonlu Çeşidi Modül. Yana C üzerinde tamsayıdır C , cebir D = C [ c ] a, Cı- sonlu Çeşidi Modül. Bunu anlamak Ge bir olan bir sonlu Çeşidi Modül ve teorem bize sonuçlandırmak için izin verir. ${\ displaystyle X ^ {n} + b_ {n-1} X ^ {n-1} + \ ldots + b_ {0} \ B [X]}$ $b_k$ ${\ displaystyle C = A [b_ {0}, \ ldots, b_ {n-1}]}$

Eğer oda fazla tam sayı olduğu A , o zaman:
- herhangi bir $A-$ cebir $C için$ , tensör çarpımı $C$ üzerinde tamsayıdır (örneğin: B [ X ], A [ X ] üzerinde tam sayıdır ); ${\ displaystyle B \ otimes _ {A} C}$
- daha fazla $C$ , $A$ üzerinde integral ise, $A$ üzerinden integral de öyle . ${\ displaystyle B \ otimes _ {A} C}$
Bir polinom B [ X ], A [ X ] üzerinde integral ise , katsayıları A tamsayılarıdır .

Tam kapanma ve kapanma

Kaynaktan Doğal sonucu 1 Yukarıdaki grubu tamsayıdır unsurları $B$ fazla $A$ olan bir alt $bir$ cebiri ait $B$ (yani bir alt halka $B$ ile çarpma kararlı $A$ ). Bu set denir entegre kapak arasında $A$ içinde $B$ .

Eğer $bir$ edilir entegre olarak, kendi entegre kapak fraksiyonlarının alanı olarak adlandırılır yekpare kapatma bölgesinin $A$ . Cebirsel geometride bu, $A ile$ tanımlanan şemanın normalizasyonuna karşılık gelir . Eğer $bir$ onun ayrılmaz kapatılması eşittir, biz söylemek $A$ olduğu tamamen kapalı veya normale .

Yukarıdaki Sonuç 2'ye göre , $A'nın$ fraksiyonlar alanının bir uzantısındaki integral kapanışı her zaman tamamen kapalıdır. Özellikle :

$A'nın$ tam kapanması tamamen kapalıdır;
halka O K tamsayılar bir alanının K bir halka entegre kapak böylece entegral kapalıdır, cebirsel tamsayı fraksiyonların, alanının tamsayılar halkasına indirgenir.

Örnekler

Halka ℤ = O ℚ bütün tam kapalı [halka ℤ $i$ ] = O ℚ [i] ve Gauss tamsayılar de. Aslında herhangi bir ana halka tamamen kapalıdır.
(Bakınız Daha genel olarak , Gauss lemması ) yekpare bir halka GCD'nın ile özellikle bir - faktörlü halka - tam bir şekilde (örneğin kapalı normal halka polinom halka gibi, R [ X 1 , ..., X , n ] bir katsayılı ana gövde veya halka R ).
İkinci dereceden bir alanın ℚ ( $\sqrt$ $d$ ) tam sayılarının O ℚ ( $\sqrt d$ ) halkası iyi bilinmektedir: bkz. “ İkinci dereceden tamsayı ”. Örneğin, O ℚ (√5) = ℤ [(1 + √ 5 ) / 2] ve O ℚ (√ - 2) = ℤ [ $\sqrt$ $-2$ ].
ℤ [ t 2 , t 3 ] 'ün integral kapanışı ℤ [ t ]' dir.
Bir derecelendirme halkası tamamen kapalıdır; değerleme halkalarının da kesişimi.

Gösteri

Bu nedenle , herhangi bir değerleme halkası Bézout'tan GCD'ye ve bir fortiori tamamen kapalıdır.
K'de tamamen kapalı alt halkaların kesişme noktası açıkça tamamen kapalıdır.

Aslında, bir integral halka, ancak ve ancak kesir alanı için değerleme halkalarının bir kesişimi ise tamamen kapalıdır.

Bir Dedekind halkası tamamen kapalıdır (tanım gereği).
" Kesir halkalarına geçiş, integral kapanışa geçer: A , K alanının bir alt halkası olsun ve S , A'nın 0 içermeyen çarpımsal bir parçası olsun . K'nin bir elemanının S - 1 a üzerinde tamsayı olması için eğer ve formun yalnızca bir '/ s nerede bir' bütün üzerindedir bir yerde, s aittir s . » Özellikle:
- eğer A tamamen kapalıysa S −1 A da;
- içerisinde K , cebirsel kapanış fraksiyonunun A ayrılmaz kapağın fraksiyonların alanına eşittir A .

Gösteri

Eğer x , S −1 A üzerinde bir tamsayı ise, o zaman formun bir denklemini karşılar

{\ displaystyle x ^ {n} + {\ frac {a_ {n-1}} {s}} x ^ {n-1} + \ ldots + {\ frac {a_ {0}} {s}} = 0 \ {\ text {with}} \ a_ {k} \ in A \ {\ text {ve}} \ s \ in S}

Tarafından çarpımı s , n , o, aşağıdaki sx üzerinde yekparedir A . Tersi de aynı şekilde bu hesaplamayı ters yönde tekrarlayarak ispatlanmıştır. İlk özel durum, K'nin A'nın kesirlerinin alanına eşit olmasıyla ve ikincisi S'nin A'nın sıfır olmayan elemanlar kümesine eşit olmasıyla elde edilir .

Gelen cebirsel sayılar teorisi , örneğin, biz sık yüzüğe ihtiyacım S-tamsayılar a sayıların alanında K , S asal sayının sonlu kümesidir. Bunlar, katsayıları S –1 ℤ olan bir birim polinomu tarafından iptal edilen K'nin elemanları , paydası yalnızca S'nin asallarıyla bölünebilen rasyonel sayıların halkasıdır (örneğin S = {2, 3} ise S –1 ℤ c / 2 ila 3 b ) formundaki kesirler kümesidir .

Cebirsel uzantılarla bağlantı

Let bir , yekpare bir alan adı K fraksiyonları ve alanını L bir uzantısı arasında K .

Bir unsuru halinde L tamsayıdır A onun katsayıları zaman en az bir polinom fazla K tamsayılardır bir .

Gösteri

Eğer x , A üzerinde tamsayı ise , x'i iptal eden Q ∈ A [ X ] birim polinomu vardır . Daha ziyade, x olduğu cebirsel üzerinde K , ve en az bir polinom P bölme S içine K [ X ]. A , b , c ,… ile P'nin köklerini (bir ayrıştırma alanında ) gösterelim ; dolayısıyla, P ( X ) = ( X - a ) ( X - b ) ( X - c )…. Bu kökler aynı zamanda Q'nun kökleri olduğundan, hepsi A üzerinde bir bütündür ; sonuç olarak, a , b , c ,… ' deki polinomlar olan P'nin katsayıları da A üzerinde tamsayılardır (Sonuç 1'e göre).

Eğer L a, sonlu uzantısı arasında K ve eğer B bir entegre kapatma birimi olup , A içinde L , aşağıdaki iki koşul kısıtlamasını bir B ile sınırlı olmak A :
- uzantı ayrılabilir veya
- A , bir alan üzerinde sonlu tipte integral bir cebir veya sıfır karakteristiği olan bir Dedekind halkasıdır.

(Genel durumda karşı örnekler vardır).

Başvuruları cebirsel geometrinin

Bütün bir morfizm olalım . ${\ displaystyle \ phi: A \ dan B ye}$

Krull boyutları eşitsizliğini sağlaması . ${\ displaystyle \ dim B \ leq \ dim A}$
İlişkili şema morfizmi kapalıdır (yani kapalı bir parçayı kapalı bir parçaya gönderir). ${\ displaystyle f: {\ rm {Spec}} B \ - {\ rm {Spec}} A}$ $\ phi$
Daha fazlası enjekte ediciyse, o zaman örtendir. Başka bir deyişle, $A'nın$ her asal idealine karşılık , $B'nin$ asal bir ideali vardır , öyle ki . Üstelik, ancak ve ancak maksimum ise maksimumdur. Son olarak, boyutların eşitliğine sahibiz . $\ phi$ $f$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ phi ^ {- 1} ({\ mathfrak {q}})}$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ displaystyle \ dim A = \ dim B}$

Notlar ve referanslar

(in) MF Atiyah ve IG Macdonald , Değişmeli Cebire Giriş , Taylor & Francis ,1969( çevrimiçi okuyun ) , s. 68, eski. 12.
Bu son karakterizasyon daha az sıklıkla kullanılır, ancak örneğin ayrı değerleme halkalarının çalışılmasına hizmet eder .
Bu argüman Pierre Samuel , Cebirsel Sayılar Teorisi'nde [ baskının ayrıntısı ] yer almaktadır., N. Bourbaki , Değişmeli Cebir , s. V.1.1, Serge Lang , Algèbre'de [ baskıların detayı ]ve (en) Pierre Samuel ve Oscar Zariski , Commutative Algebra , cilt. 1, Springer Verlag , cilt. " GTM " ( n o 28). Nakayama'nın lemmasını kanıtlamak için kullanılan argümanın bir çeşididir . Alternatif olarak, D' nin endomorfizmi için Cayley-Hamilton teoremini çağırabiliriz : " b tarafından üretilmiştir ".
Sonuçları kullanan daha açık bir kanıt Aviva Szpirglas , Cebir L3 tarafından sunulmuştur : Kursu 400 test ve düzeltilmiş alıştırmalarla tamamlayın [ baskının detayı ] , Çatlak. 10, § 4.2.2, A = case durumunda ancak jenerik olarak herhangi bir halkayı kapsar . Bir simetrik polinomların temel teoremi göre alternatif bir yöntem .
Atiyah ve Macdonald 1969 , s. 67-68 (ör. 8 ve 9).
Henri Lombardi ve Claude Left, değişmeli cebir - Yapıcı yöntemler - sonlu tip projektif modüller , Calvage & Mounet,2016( 1 st ed. , 2011) ( arXiv 1611,02942 , çevrimiçi sunum ) , s. 137, Lemma 8.4.
tarafından üretilen bir cebirin ayrılmaz kapatılması genel hesaplama için monomials , bkz örneğin (in) David Eisenbud , Değişmeli Cebir: Cebirsel Geometriye Yönelik With a View , ark. "GTM" ( n o 150)1995( çevrimiçi okuyun ) , s. 139-140egzersiz 4.22.
André Néron , " Cebirsel geometrinin temel kavramları " , Orsay'ın Matematiksel Yayınları, 1964-65 .
Bourbaki AC VI § 1 n o 3.
Jean-Pierre Serre , Yerel kolordu [ basımların ayrıntıları ]s. 22.
Atiyah ve Macdonald 1969 , s. 61-64.