Kısmi türev
Gelen matematik , kısmi türev a çok değişkenli fonksiyonu olan bir türevi olan değişkenlerden biri ile ilgili olarak, diğerleri sabit tutulur. Bu temel bir kavramdır analizi içinde bir boyut içinde farklı geometri ve vektör analizi .
değil{\ görüntü stili n}
Fonksiyonun değişkene göre kısmi türevi genellikle not edilir .
f{\ görüntü stili f}x{\ görüntü stili x}∂f∂x{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x}}}
Eğer bir fonksiyonudur ve olan sonsuz artışlarla arasında , sırasıyla, daha sonra karşılık gelen sonsuz artış olduğu:
f{\ görüntü stili f}x1,⋯,xdeğil{\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}dx1,⋯,dxdeğil{\ displaystyle \ matematik {d} x_ {1}, \ cdots, \ matematik {d} x_ {n}} x1,⋯,xdeğil{\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}f{\ görüntü stili f}
df=∂f∂x1dx1+⋯+∂f∂xdeğildxdeğil{\ displaystyle \ matrm {d} f = {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x_ {1}}} \, \ matrm {d} x_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x_ {n}}} \, \ matematik {d} x_ {n}}.
Bu ifade 'nin " toplam diferansiyeli "dir ve toplamdaki her terim 'nin "kısmi diferansiyeli"dir .
f{\ görüntü stili f}f{\ görüntü stili f}
Fonksiyonun sadece bir değişkene bağlı olduğu durumda, türev ve kısmi türev aynıdır: .
f′=dfdx=∂f∂x{\ displaystyle f '= {\ frac {\ matematik {d} f} {\ matematik {d} x}} = {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x}}}
Misal
Bir koninin hacmini düşünün ; formüle göre tabanın
yüksekliğine ve yarıçapına bağlıdır V{\ görüntü stili V} h{\ görüntü stili h} r{\ görüntü stili r}
V=r2hπ3{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} h \ pi} {3}}}.
Kısmi türevi ile ilgili olarak , IS
V{\ görüntü stili V}r{\ görüntü stili r}
∂V∂r=2rhπ3{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi r}} = {\ frac {2rh \ pi} {3}}}.
Yüksekliğini sabit tutarken yarıçapı değiştirilirse bir koninin hacminin nasıl değiştiğini açıklar.
Göre kısmi türev , IS
h{\ görüntü stili h}
∂V∂h=r2π3{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi h}} = {\ frac {r ^ {2} \ pi} {3}}}ve yarıçapı sabit tutarken değişen koninin yüksekliği ise hacmin nasıl değiştiğini temsil eder.
Koninin hem yarıçapı hem de yüksekliği değiştirilirse hacmin nasıl değiştiğini daha sonra ifade edebiliriz.
dV=∂V∂rdr+∂V∂hdh=2rhπ3dr+r2π3dh=(∂V∂re→r+∂V∂he→z)⋅(dre→r+dhe→z){\ displaystyle \ matrm {d} V = {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi r}} \ matrm {d} r + {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi h}} \ matrm {d} h = {\ frac {2rh \ pi} {3}} \ matrm {d} r + {\ frac {r ^ {2} \ pi} {3}} \ matrm {d} h = \ sol ({\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi r}} {\ vec {e}} _ {r} + {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi h}} {\ vec {e}} _ {z} \ sağ ) \ cdot \ sol (\ matematik {d} r {\ vec {e}} _ {r} + \ matematik {d} h {\ vec {e}} _ {z} \ sağ)}
=(2rhπ3e→r+r2π3e→z)⋅(dre→r+dhe→z)=mezun→V⋅dÖM→{\ displaystyle = \ sol ({\ frac {2rh \ pi} {3}} {\ vec {e}} _ {r} + {\ frac {r ^ {2} \ pi} {3}} {\ vec {e}} _ {z} \ sağ) \ cdot \ sol (\ matematik {d} r {\ vec {e}} _ {r} + \ matematik {d} h {\ vec {e}} _ {z } \ sağ) = {\ overrightarrow {\ operatöradı {grad}}} \, V \ cdot {\ overrightarrow {\ matematik {d} OM}}}
Nokta , koninin tepe noktasıdır ve tabanın yarıçapı üzerinde bir noktadır.
Ö{\ görüntü stili O}M{\ görüntü stili M}
Diferansiyel denklemler denir kısmi türevleri içeren kısmi diferansiyel denklemler , bilimde birçok bağlamlarda bulunurlar.
Resmi tanım ve özellikler
Kısmi türevler limitlerden tanımlanır . Tanımları, genelleştirdikleri “sıradan” türevlerin tanımına benzer.
Tanımı -
Let olmak bir nokta , bir mahalle içinde yer ve bir fonksiyonu değişkenleri.
de=(de1,...,dedeğil){\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$değil{\ displaystyle \ matematik {R} ^ {n}}sen{\ görüntü stili U}de{\ görüntü stili a}$değil{\ displaystyle \ matematik {R} ^ {n}}f:sen→${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}değil{\ görüntü stili n}
Kısmi türevi (ilk sırada, 1 ya da arasında) noktasında göre inci değişken o, varsa, bir yön türevinin bir noktada yönünde inci vektörü standart olarak ya da daha türev noktada arasında gerçek bir değişken, gerçek işlevi :
f{\ görüntü stili f}de{\ görüntü stili a}j{\ görüntü stili j}xj{\ görüntü stili x_ {j}}f{\ görüntü stili f}dej{\ görüntü stili a_ {j}}j{\ görüntü stili j}dej{\ görüntü stili a_ {j}} x↦f(de1,...,dej-1,x,dej+1,...,dedeğil){\ displaystyle x \ mapto f (a_ {1}, \ dots, a_ {j-1}, x, a_ {j + 1}, \ dots, a_ {n})}
∂f∂xj(de)=limh→0f(de1,...,dej-1,dej+h,dej+1,...,dedeğil)-f(de1,...,dedeğil)h{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x_ {j}}} (a) = \ lim _ {h \ ila 0} {f (a_ {1}, \ nokta, a_ {j-1} , a_ {j} + h, a_ {j + 1}, \ dots, a_ {n}) - f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ h} üzerinde}}.
Belirli bir noktada tüm kısmi türevler mevcut olsa bile , fonksiyon o noktada sürekli olmayabilir . Ancak, a, yeterli bir koşul arasında türevlilik ve - daha ziyade süreklilik, - bir noktada bir fonksiyonun:
∂f∂x1(de),...,∂f∂xdeğil(de){\ displaystyle {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x_ {1}}} (a), \, \ noktalar, \, {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x_ {n}}} (a )}
Teorem - Eğer tüm kısmi türevler (1. dereceden)bir komşulukta tanımlanmışsave noktasında sürekli ise, ozaman bu noktada türevlenebilir.
f{\ görüntü stili f}de{\ görüntü stili a}de{\ görüntü stili a}f{\ görüntü stili f}
Bu nedenle, kısmi türevler bir açıkta tanımlı ve sürekli ise, o zaman diferansiyel de vardır. Bu durumda, biz demek taşımaktadır sınıfına üzerinde .
sen{\ görüntü stili U}f{\ görüntü stili f} VS1{\ görüntü stili C ^ {1}}sen{\ görüntü stili U}
Örneğin bileşenleri vektör birinci kısmi türevleridir belirli bir noktada adı gradyan gelen noktada :
f{\ görüntü stili f}de{\ görüntü stili a}f{\ görüntü stili f}de{\ görüntü stili a}
mezun→f(de)=(∂f∂x1(de),...,∂f∂xdeğil(de)){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatöradı {grad}}} f (a) = \ sol ({\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x_ {1}}} (a), \ nokta, {\ frac { \ kısmi f} {\ kısmi x_ {n}}} (a) \ sağ)} ; ayrıca not edilir ("
nabla " okuyun ).
∇→f(de){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} f (a)}Eğer sınıfına ait ise , daha sonra gradyan noktasında sıfır olmadığı zaman, bir geometrik yorumu vardır: bu yönü gösterir büyük eğim hattı hızlı değişir.
f{\ görüntü stili f}VS1{\ görüntü stili C ^ {1}}f{\ görüntü stili f}de{\ görüntü stili a}f{\ görüntü stili f}
Yüksek dereceli kısmi türevler
Kısmi türev bir noktanın komşuluğunda tanımlandığında, kendisi bu noktada 1. dereceden kısmi türevleri kabul edebilir: bunlara 2. derece veya saniyenin kısmi türevleri denir ; inci değişkene göre noktada 1 mertebesinin kısmi türevi not edilir . Daha yüksek bir mertebeden kısmi türevler benzer bir şekilde tanımlanır.
∂f∂xben{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x_ {i}}}}f{\ görüntü stili f}∂f∂xben{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x_ {i}}}}de{\ görüntü stili a}j{\ görüntü stili j}∂2f∂xj∂xben(de){\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x_ {j} \, \ kısmi x_ {i}}} (a)}
Eğer bir noktada iki kez türevlenebilirse, o noktanın tüm ikinci kısmi türevleri mevcuttur ve türetme sırası, Schwarz teoremine göre bu sonucu değiştirmeden değiştirilebilir :
f{\ görüntü stili f}f{\ görüntü stili f}
∂2f∂xben∂xj=∂2f∂xj∂xben{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x_ {i} \, \ kısmi x_ {j}}} = {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x_ { j} \, \ kısmi x_ {i}}}}.
Her ikinci kısmi türev halinde açık fazla tanımlandığı gibidir ve kesintisiz bir şekilde yerleştirilir , daha sonra ( bakınız yukarıda ) ikinci diferansiyel bir seviyededir. Bu durumda, biz demek sınıfın olduğu üzerine .
f{\ görüntü stili f}sen{\ görüntü stili U}f{\ görüntü stili f}f{\ görüntü stili f}VS2{\ görüntü stili C ^ {2}}sen{\ görüntü stili U}
Değerlendirme
Karakter ∂, kısmi türev sembolü olarak adlandırılır yuvarlak d veya bazen yuvarlak d (ile karıştırılmamalıdır değil ait, küçük delta Yunan alfabesinin ).
δ{\ görüntü stili \ delta}
, ve ' nin bir fonksiyonu olsun .
f{\ görüntü stili f}x{\ görüntü stili x}y{\ görüntü stili y}z{\ görüntü stili z}
Birinci değişkene göre kısmi türev not edilir:
D1f{\ displaystyle \ matematik {D} _ {1} f}(
Chatterji s. 79 ) , , ya da
∂f∂x{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x}}}fx′{\ görüntü stili f_ {x} '}∂xf{\ görüntü stili \ kısmi _ {x} f}
ve ikinci dereceden olanlar:
D1,1f{\ displaystyle \ matematik {D} _ {1,1} f}(
Chatterji s. 123 ) , , , ya da .
∂2f∂x2{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x ^ {2}}}}fx,x″{\ displaystyle f_ {x, x} ''}∂x,xf{\ görüntü stili \ kısmi _ {x, x} f}∂x2f{\ displaystyle \ kısmi _ {x} ^ {2} f}İki değişken içeren ikinci mertebeden olanlar - ikinci mertebeden karışık türevler olarak adlandırılır - yazılır:
D1,2f{\ displaystyle \ matematik {D} _ {1,2} f}(
Chatterji s. 123 ) , , ya da .
∂2f∂x∂y{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x \, \ kısmi y}}}fx,y″{\ displaystyle f_ {x, y} ''}∂x,yf{\ görüntü stili \ kısmi _ {x, y} f}ve
D2,1f{\ displaystyle \ matematik {D} _ {2,1} f}(
Chatterji s. 123 ) , , ya da .
∂2f∂y∂x{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi y \, \ kısmi x}}}fy,x″{\ displaystyle f_ {y, x} ''}∂y,xf{\ görüntü stili \ kısmi _ {y, x} f}Birkaç değişkenli fonksiyonlarla uğraşırken, bazıları birbiriyle ilişkili olabilir ve hangilerinin sabit tutulacağının belirtilmesi gerekebilir.
Termodinamik veya istatistiksel mekanik gibi alanlarda , değişkenlere göre kısmi türev ve sabit tutularak genellikle not edilir .
f{\ görüntü stili f}x{\ görüntü stili x}y{\ görüntü stili y}z{\ görüntü stili z}(∂f∂x)y,z{\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x}} \ sağ) _ {y, z}}
operatörler
Gradyan
Nabla
Laplacian
Notlar ve referanslar
-
Srishti D. Chatterji, Analiz Kursu , cilt. 1: Vektör analizi , PPUR ,1997( çevrimiçi okuyun ) , s. 79.
-
karşı-örnekler boldur. O Bkz , S. Sarfati ve M. Fegyvères, Matematik: yöntemler know-how ve ipuçları , Breal ,1997( çevrimiçi okuyun ) , s. 375-376(örneğin F. Cottet-Emard, Analyze , cilt 2, De Boeck Supérieur'de alınmıştır ,2006( çevrimiçi okuyun ) , s. 31ve X. Oudot ve Bay Allano Chevalier Matematik PCSI - PTSI 1 st yıl , Hachette Eğitim ,2008( çevrimiçi okuyun ) , s. 493-494) ve H. Muller, A. Boisseau ve Weidenfeld, Mathematics PTSI , Bréal,2008( çevrimiçi okuyun ) , s. 447ya da daha basit bir “R fonksiyonların Farklılıklarının p R'nin q ” Vikiversite ile .
-
Wikiversity'de "Bir üründe tanımlanan bir fonksiyonun türevlenebilirliğinin yeterli koşulu" bölümündeki gösterim .
-
Chatterji 1997 , s. 121.
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">