Olarak sayısal analizi , sonlu fark yöntemi bulmak için yaygın bir tekniktir yaklaşık çözümler arasında kısmi diferansiyel denklemler yeterince birbirine yakın bazı noktalarda bilinmeyen işlevleri değerlerini bağlama ilişkilerin bir sistem (dijital şeması) çözümünde oluşur. Diğer .
Bu yöntem, iki aşamada ilerlediği için uygulanması en basit yöntem gibi görünmektedir: bir yandan türetme / farklılaştırma operatörlerinin sonlu farklılıkları ile ayrıklaştırma , diğer yandan sayısal diyagramın yakınsaması bu şekilde elde edilir. puan azalır.
Taylor formülleriyle diferansiyel operatörlerin ayrıklaştırılması (birinci türevler, saniye vb., Kısmi veya değil) elde edilebilir .
Taylor-Young formülasyonu basit kullanımıyla tercih edilir, Laplace integral kalanıyla Taylor formülasyonu hataları ölçmeyi mümkün kılar (aşağıya bakınız).
Bir x noktasında ve ayrıklaştırma adımının bir h değeri için , u [ x - h , x + h ] aralığında üç kez türevlenebilir , Taylor-Young formülü iki ilişkiye yol açar:
iki işlev burada £ ı ( x , h ) ile 0 yakınsaması h . Bu nedenle
iki yaklaşımlara tekabül u ( x ) ve 1 st sırası h .
U ( x ) ' e göre ön ve arka iki sonlu farkın ortalamasını almaya denk gelen önceki gelişmeleri çıkararak elde ederiz.
bu, u ( x ) ' in 2 e mertebesi h'nin bir yaklaşımıdır .
Merkezsiz yaklaşımlar Yukarı akış ofsetiBir x noktasında ve [ x , x + 2 h ] aralığında u'nun üç kez türevlenebilir olacağı şekilde ayrıklaştırma adımının bir h değeri için Taylor-Young formülü şu ilişkiye yol açar:
fonksiyon , h ile 0'a yakınsar . Bu nedenle
yaklaşılmasına karşılık gelir u ( x ) ve 1 st sırası h .
Aşağı akış ofseti için işlemi tekrarlayarak, şunu yazarak:
nereden
ki yaklaşık bir U '( x ) ve 2 E sırası h .
Formüller ardışık siparişlere genişletildiŞablonun boyutunu genişleterek, benzer yöntemlerle daha yüksek mertebelerin sonlu farklarını belirlemek mümkündür (Taylor formülündeki sırayı artırmak ve gereksiz terimleri iptal etmek için uygun bir doğrusal kombinasyon belirlemek ).
Örneğin, bir x noktasında ve ayrıklaştırma adımının bir h değeri için , u'nun [ x - 2 h , x + 2 h ] aralığında dört kez türevlenebilir olması için Taylor formülünün uzantısıyla, beşten fazla gösterebiliriz nokta diyagramları
4. dereceden birinci ve ikinci türevlerin yaklaşık değerleridir.
Çok değişkenli fonksiyonlara genişletme Yukarı akış ofsetiAyrıklaştırma adımının bir ( x , y ) noktasında ve bir h değeri için (iki boyutta aynı), u ( x , y ) dikdörtgende 4 kez türevlenebilir [0, x + 2 h ] × [ 0, y + 2 h ] , yazabiliriz
olan yaklaşık bir Laplace Ô u ( x , y ) of 2 E sırası h (bakınız Laplace denklemine ve Poisson denklemi ).
Ortalanmış şablonAyrıklaştırma adımının ( x , y ) noktasında ve bir h değeri için (iki boyutta aynı), u ( x , y ) dikdörtgende 4 kat farklı olabilir [ x - h , x + h ] × [ y - h , y + h ] , yazabiliriz
olan yaklaşık bir Laplace Ô u ( x , y ) of 2 E sırası h (bakınız Laplace denklemine ve Poisson denklemi ).
Yukarıda bahsedilen "düzen" kavramı, ayrıklaştırılmış operatörün yerel yakınsaması kavramına karşılık gelir. Ayrık çözümün küresel yakınsaması, ikisi arasında bir aile ilişkisi olmasına rağmen, çok farklı bir kavramdır.
Sonlu fark yöntemi için bir ağ , kısmi diferansiyel denklemlere tabi fonksiyonların tanım alanında yer alan bir dizi izole edilmiş noktadır ( düğümler olarak adlandırılır ), sadece düğümleri üzerinde yaklaşık olarak karşılık gelen bilinmeyenler tanımlanmış bir ızgara. bu fonksiyonların değerleri.
Ağ ayrıca , sınır koşullarını ve / veya başlangıç koşulunu yeterli hassasiyetle empoze edebilmek için alanın sınırında (veya en azından bu sınıra "yakın") bulunan düğümleri içerir .
Öncelikle, bir ağın ilk kalitesi, her bir düğüm ile en yakın komşusu arasındaki mesafeyi sınırlamak için, içinde geliştiği alanı olabildiğince kapsamasıdır. Bununla birlikte, ağ, farklılaştırma operatörlerinin ayrı formülasyonunu ifade etmeyi de mümkün kılmalıdır: bu nedenle, ağın düğümleri çoğunlukla ana yönleri değişkenlerin eksenleri olan bir ızgara üzerinde konumlandırılmıştır.
Biri , eksenlerden birine paralel bir hat üzerinde bulunan iki komşu düğüm arasındaki mesafeyi ağın adımını çağırır . Bu anlamda, adım hem yerel hem de yönsel bir kavramdır. Yönlü kalan bir kavram olan en büyük yerel perdeyi belirlemek için küresel adımdan bahsedeceğiz .
Bir rağmen sürekli zift çoğunlukla (çözünürlük için teorik bir problem poz olmadan) korunur, tanıtmak için bazen mantıklı bir olaydır değişken sahası bu hüner mümkün kılar: kesin çözüm uğrar daha güçlü varyasyonlar alanlarda daha ince seçilecektir sonuçların kesinliğinden ödün vermeden bilinmeyenlerin sayısını azaltmak. Öte yandan, formülasyon biraz daha karmaşıktır çünkü diferansiyel operatörlerin ayrıklaştırılması bunu hesaba katmalıdır.
Alanı (in ) aralığı [0; 1] , sabit aralıklı bir ızgara, h = 1 / M adımı ile M + 1 düğüm x i = ih , 0 ≤ i ≤ M ile karakterize edilir . Bu ağ, olası sınır koşullarının uygulandığı x 0 ve x M iki sınır noktasını içerir .
İki değişkenli (alan ) bir fonksiyonla ilgili kısmi bir diferansiyel denklem düşünün :
Sayısal bir şema, sonlu farklar yöntemi kullanılarak tasarlanmış ayrık bir problemin cebirsel formülasyonu olarak tanımlanabilir. İşlem aşağıdaki adımları içerir:
Dijital diyagram oluşturulduktan ve ayrık problem formüle edildiğinde, mesele sadece onu çözme meselesi değil, aynı zamanda ağın adımları 0'a yöneldiğinde ayrık çözümün kesin çözüme yakınlaşmasını sağlama meselesidir.
Belirli sözde açık diyagramlar için, bilinmeyenleri öyle bir şekilde sıralamak mümkündür ki, bunların her biri önceden hesaplanmış olması gereken öncekilerden ( üçgen matris ) özyinelemeli olarak belirlenebilmektedir . Örtük şemalar için, bazen tüm denklemlerin tüm sistemini çözmekten kaçınmak mümkündür. Bu, özellikle uzamsal değişkenlerle karakterize edilen durumu başlangıç koşullarıyla tanımlanan (t = 0), daha sonra zamanla aşamalı olarak gelişen gelişen bir sistem için geçerlidir: sayısal diyagram , geçici değişkende açık kalır ve onun örtük karakteri yalnızca uzamsal değişkenler.
Her durumda, sayısal diyagramın her denklemi yalnızca az sayıda bilinmeyenle ilgilidir. Doğrusal bir ortamda, bu özellik, seyrek matrisler kullanarak ayrık problemi formüle etmeye ve uygun yöntemler kullanarak çözmek için ondan yararlanmaya yol açar . Ağın boyutu didaktik bir çalışmanın çerçevesini aştığında bu avantaj yadsınamaz.
Sayısal diyagramların çözünürlüğü genellikle klasik cebirsel yöntemlere dayanır. Bununla birlikte, diğer eşdeğer formülasyonlar, optimizasyon yöntemlerini gerektirebilir .
Şu sorunu düşünün:
Kesin çözüm bilindiği sürece bu sorun akademik olarak kalır:
Saha düzenli bir ağ uygulanan sipariş 1 açık Euler düzeni ile h = 1 / E , bilinmeyen u , n yansıtma u ( NH ) ilişkileri ile bağlantılıdır
Bu diyagram tekrarlama ilişkisine götürür
kimin açık çözümü
2. sıra diyagramı kullanılarak elde edilen başka bir formülasyon ( 1. sıranın diyagramını tutan n = 1 düğümünde hariç )
İlki gibi, bu ikinci diyagram da açıktır .
Bu iki diyagramın çözümlerini sayısal olarak belirlemek, bunları kesin çözümle karşılaştırmak çok kolaydır. Sırası birincisinden daha yüksek olduğu için ikinci diyagramdan daha iyi sonuçlar beklemek meşru görünüyor (iki dijital diyagramın aynı şekilde yakınsak olduğunu göstermek mümkündür):
Bu karşılaştırma, diferansiyel operatörlerin iyi bir temsilinin, iyi bir sayısal diyagram elde etmek için yeterli bir koşul olmadığını açıkça göstermektedir.
Yakınsama dijital diyagram (a anlamında farklılık sağlanması toplam teorik özelliktir standart ayrıklaştırma aşaması doğru eğilimi olduğunda yaklaşık çözeltisi ve tam çözeltisi arasında) 0 eğilimi gösterir 0 (ya da ilgili her adım olduğunda, küresel farklı yönlerde 0'a doğru eğilim gösterir).
Bir dijital diyagramın yaklaşık çözümü, yakınsaması gösterilmediği sürece pek inandırıcı değildir. Bu kanıt, şüphesiz, ince farklılıklar yönteminin en hassas noktasıdır, her durumda analitik araçların kullanılmasını gerektirir .
Kesikli çözümün davranışının, yakınsamayı sağlamak için beklentilere uygun olup olmadığını somut sayısal örnekler yardımıyla kontrol etmek yeterli değildir. Öte yandan, bu tür örnekler aksini ispatlamaya yardımcı olabilir.
Kavramsal olarak, yaklaşık çözüm ile kesin çözüm arasındaki farklar, iki olgunun birleşimiyle ortaya çıkar:
Bu kavramlar , somut bir örnekle elde edilen aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, sorunları daha da karmaşık hale getirebilecek yuvarlama hatalarını dikkate almaz :
Yakınsamanın çalışıldığı standart, ayrıklaştırma adımlarından bağımsız kalmalıdır. Bununla birlikte, L p alanlarınınkilerle ilgili standartların kullanılması yaygındır . Bir değişkenin işlevi için:
Başlangıç koşuluyla ilgili evrimsel bir problem bağlamında , Lax'ın teoremi tutarlılık ve kararlılık kavramlarını titizlikle belirtir ; ikincisi yakınsamayı sağlamak için gerekli ve yeterli bir koşuldur .
Yukarıda sunulan ve aynı zamanda kesin çözümü ve yaklaşık çözümü bildiği son örnekte (Euler diyagramı) , rapor tatmin edici
0'a yöneldiğinde 0'a doğru eğilimlidir, bu eşit şekilde
Böylece , bu Euler şemasının normdaki yakınsamasını kanıtlayan, eşit olarak 0'a doğru eğilim gösterir.