Euler-Lagrange denklemi

Euler-Lagrange denklemi (İngilizce, Euler-Lagrange denklemi veya ELE ) a, matematiksel sonuç olarak temel bir rol oynar varyasyonların hesaplanması . Bu denklem , brakistokron problemi veya hatta jeodezik problemler gibi birçok gerçek ark uzunluğunu en aza indirme probleminde bulunur . Adını Leonhard Euler ve Joseph-Louis Lagrange'den almıştır .

Notasyonlar

$D olacak$ bir ifade normalize vektör uzayı , $[ t 0 , t 1 ]$ bir gerçek aralığı ve afin alan ve işlevleri $X$ $: [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $] \to$ $e$ ait C sınıfı 1 , öyle ki , $X$ $0$ $,$ $x$ $1$ olan $E'nin$ iki vektör kümesi . ${\ mathcal {G}}$ ${\ displaystyle x \ sol (t_ {i} \ sağ) = x_ {i}}$

Türevi vektör, bir fonksiyondan bir noktasında $t$ $\in [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $]$ belirtilir . ${\ mathcal {G}}} içinde {\ displaystyle x \$ ${\ displaystyle {\ nokta {x}} (t)}$

Ayrıca kendimize bir sınıf fonksiyonu C 1 veriyoruz . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}: \ sol [t_ {0}, t_ {1} \ sağ] \ times E ^ {2} \ - \ mathbb {R}}$

Üç değişkeni not edildi (önceki gösterimle karışıklığa yol açması muhtemeldir, ancak ortak kullanımdadır), üç kısmi diferansiyel uygulaması not edilmiştir. ${\ displaystyle t, x, {\ dot {x}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi t}}}$ (dan olarak ) ve ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times E ^ {2}}$ $\ mathbb {R}$
${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi x}}, {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} }$ (dan içinde $E '$ , çift ve $E$ ). ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times E ^ {2}}$

Fonksiyonun bunları oluştururken , belirli bir fonksiyon için , biz tanımlanan üç işlevi elde etmek $[$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $]$ (sırasıyla değerleri ile tekrar , $E '$ ve $E'$ olan genellikle göstermektedirler aynı şekilde (,) Yine de, bu kafa karıştırıcı olsa da), bu özellikle iki işleve anlam verir ${\ displaystyle \ sol [t_ {0}, t_ {1} \ sağ] \ için \ mathbb {R} \ times E ^ {2}, \; t \ mapsto \ left (t, x (t), {\ nokta {x}} (t) \ sağ)}$ ${\ mathcal {G}}} içinde {\ displaystyle x \$ $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle {\ frac {\ bölümlü {\ mathcal {L}}} {\ bölümlü x}} {\ text {et}} {\ frac {\ bölümlü {\ mathcal {L}}} {\ bölümlü {\ nokta {x}}}}: \ sol [t_ {0}, t_ {1} \ sağ] \ - E '}

Eyaletler

Let $J olmak$ fonksiyonel tanımlanır için: ${\ mathcal {G}}$

{\ displaystyle J (x) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ mathcal {L}} \ left (t, x (t), {\ dot {x}} (t ) \ sağ) \, \ mathrm {d} t}

Herhangi biri için sabit fonksiyon için $J$ , türevlenebilir ve ${\ mathcal {G}}} içinde {\ displaystyle x \$ ${\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ sol ({\ frac { \ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} \ sağ) = 0}

. Kısmi gösteri

Aşağıdaki kanıtı bu varsayar için "kısmi" duyurulur ve C sınıfı olan 1 (bu durumda türevlenebilirliği içinde baştan sağlanır). Sadece bunu ve C 1 sınıfına ait olduğunu varsayan bir kanıt için , Du Bois-Reymond'un lemasının varyasyonların hesaplanmasına uygulanmasına bakın . $\ nokta x$ ${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}}}$ ${\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} \ sol (t, x (t), {\ nokta {x}} ( t) \ sağ)}$ $x$ ${\ mathcal {L}}$

İfadedeki "durağan" ifadesi şu anlama gelir: işlevin işlevsel uç noktayı yapması için gerekli bir koşul olan Euler koşulunun karşılanması (bu ispatta C 2 sınıfının işlevleriyle sınırlıdır ). $x$ $J$ ${\ mathcal {G}}$

Bu Euler koşulu yazılır : , herhangi bir $h$ fonksiyonu için $: [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $] \to$ $E$ (C 2 sınıfından ) $t$ $0$ ve $t$ $1'de$ sıfır . Altın ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = 0}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left (\ left \ langle {\ frac {\ partic {\ mathcal {L}}} {\ partly x}}, h \ right \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}}, {\ nokta {h}} \ sağ \ rangle \ sağ) \, \ mathrm {d} t}

(burada bir ikilik dirseği )

{\ displaystyle \ langle ~, ~ \ rangle: E '\ times E \ ila \ mathbb {R}}

ve integralin ikinci terimi, parçalara göre bir entegrasyon sayesinde (ek düzenlilik varsayımlarıyla izin verilir) şeklinde ifade edilir.

{\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ sol \ langle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}}, {\ nokta {h}} \ sağ \ rangle \, \ mathrm {d} t = \ left [\ left \ langle {\ frac {\ partic {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x} }}}, h \ right \ rangle \ right] _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ parsiyel {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} \ sağ), h \ sağ \ rangle \, \ mathrm {d} t}

Kanca sıfır olduğundan, $h ( t 0 ) = h ( t 1 ) = 0 olduğundan$ , Euler'in durumu şöyle yazılır:

{\ displaystyle 0 = {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0} } ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ parsiyel {\ mathcal {L}}} {\ kısmi x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ parsiyel {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} \ sağ), h \ sağ \ rangle \, \ mathrm {d} t}

Varyasyonlar hesabının temel lemmasını uygulayarak , şunu çıkarıyoruz:

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ sol ({\ frac { \ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} \ sağ) = 0}

Misal

Bir örnek, Fermat ilkesinin bir uygulamasıdır . Buradaki amaç, koordinatları yatay olarak $t$ ve dikey olarak x not edilen, yukarıdaki ifadenin notasyonlarına uymak için bir düzlem optik yol belirlemektir . Işık ışını, –1 ile 1 arasında bulunan $t$ değerlerine karşılık gelen bölge haricinde, vakumu geçer. Bu bantta, $n$ $t$ endeksinin artık 1'e değil, 1 / 'e eşit olduğu varsayılır. | t |. İki bant arasındaki optik yolun uzunluğu şu şekildedir :

{\ displaystyle \ mathrm {L} = \ int _ {- 1} ^ {1} f \ sol (t, x (t), {\ nokta {x}} (t) \ sağ) \, \ mathrm {d } t \ quad {\ text {with}} \ quad f (t, x, y) = n_ {t} {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} {| t |}}}

Burada , Euler-Lagrange denklemi, $f'nin$ üçüncü değişkenine göre kısmi türevinin bir sabit olduğunu belirtir, burada $C$ , eğer $t$ , $x$ değişkenlerine ve türevine uygulanırsa. Elde ederiz : ${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x}} = 0}$

{\ displaystyle C = {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} = {\ frac {\ nokta {x}} {| t | {\ sqrt {1 + {\ nokta { x}} ^ {2}}}}} \ quad {\ text {dolayısıyla}} \ quad {\ dot {x}} ^ {2} = C ^ {2} t ^ {2} (1 + {\ nokta {x}} ^ {2})}

Bu sonuç $u = C | t |$ :

\ dot x = \ frac {u} {\ sqrt {1 - u ^ 2}}

Bir sikloidin bir kısmının denklemini tanıyoruz .

Beltrami Kimliği

Bir sık özel durum fonksiyonu nerede olduğunu bağımsızdır $t$ . Euler-Lagrange denkleminin bir sonucu, Beltrami'nin kimliğidir : ${\ mathcal {L}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} - {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} {\ nokta {x}} = C}

$C$ harfi , aynı zamanda $f$ fonksiyonunun değişkene göre Legendre dönüşümü olan gerçek bir sabiti belirtir . ${\ textstyle \ nokta {x}}$

Gösteri

İki kez türevlenebilir olduğunu varsayarak , Beltrami'nin kimliğinin sol tarafını türetelim: $x$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ mathcal {L}} - {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} {\ nokta {x}} \ sağ) = {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi x}} {\ nokta {x}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} {\ ddot {x}} - \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ left ({\ frac {\ parsiyel {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} \ sağ) {\ nokta {x}} + {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x}}}} {\ ddot {x}} \ sağ) = \ sol ({\ frac {\ partic {\ mathcal {L}}} {\ kısmi x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ parsiyel {\ mathcal {L}}} {\ kısmi {\ nokta {x} }}} \ sağ) \ sağ) {\ nokta {x}} = 0}

Ünlü bir tarihsel örnek, brakistokron eğridir . Sorulan soru, bir A noktasını, başlangıç hızı olmadan A noktasından başlayan ve eğri üzerinde sürtünme olmadan kayan bir malzeme noktası gibi daha düşük bir rakımda bulunan bir B noktasına bağlayan eğriyi bulmakla ilgilidir. .

Ne zaman a, homojen bir fonksiyonu değişkeninin , Euler teoremi Beltrami'nin kimliği ifade eder uygulanır . ${\ mathcal {L}}$ $\ nokta x$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = C}$

Dış bağlantılar

(tr) Eric W. Weisstein , " Euler-Lagrange Diferansiyel Denklemi " , MathWorld