Homoloji ve kohomoloji
Homoloji belirli tıkanıklığı ölçmek için kullanılan genel bir matematiksel yöntemdir takımları arasında Morfizm olduğu kesin . Cebir , cebirsel topoloji , cebirsel geometri ve diferansiyel geometri gibi birçok alanda yer alır .
Genel
Zincir kompleksi
Bir zincir kompleksine , Abelian gruplarının bir dizisi veya daha genel olarak Abelian kategorisindeki nesneler ve kenar operatörleri olarak adlandırılan bir homomorfizm ailesi verilir , örneğin:
. öğelerine derece dizeleri denir . Çekirdeğin elemanlarına döngü denir. Görüntünün öğelerine kenarlar denir. Her kenar bir döngüdür. O halde kompleksin homoloji grupları tanım gereğidir
.
Mben{\ görüntü stili M_ {i}}∂ben:Mben→Mben-1{\ displaystyle \ kısmi _ {i}: M_ {i} \ sağ ok M_ {i-1}}∂ben∂ben+1=0{\ displaystyle \ kısmi _ {i} \ kısmi _ {i + 1} = 0}Mben{\ görüntü stili M_ {i}}ben{\ görüntü stili ben}ker∂ben{\ displaystyle \ ker \ kısmi _ {i}}benm ∂ben+1{\ displaystyle Im \ \ kısmi _ {i + 1}}M∗{\ görüntü stili M _ {*}}Hben(M∗,∂∗)=ker∂ben/benm ∂ben+1{\ displaystyle H_ {i} (M _ {*}, \ kısmi _ {*}) = \ ker \ kısmi _ {i} / Im \ \ kısmi _ {i + 1}}
kokain kompleksi
Bir ortak zincir kompleksine , bir Değişken grup dizisi veya daha genel olarak Değişken kategorisindeki nesneler ve eş- sınır operatörleri adı verilen bir homomorfizm ailesi verilir , örneğin:
. elemanlarına dereceli zincirler denir . Çekirdeğin elemanlarına kosikl denir. Görüntünün öğelerine kobordlar denir. Her kobord bir eş döngüdür. Cohomoloji grupları kompleksin tanım olarak, daha sonra
.
Mben{\ görüntü stili \ M ^ {i}}∂ben:Mben→Mben+1{\ displaystyle \ kısmi ^ {i}: M ^ {i} \ sağ ok M ^ {i + 1}}∂ben∂ben-1=0{\ displaystyle \ kısmi ^ {i} \ kısmi ^ {i-1} = 0} Mben{\ görüntü stili \ M ^ {i}}ben{\ görüntü stili ben}ker∂ben{\ displaystyle \ ker \ kısmi ^ {i}}benm ∂ben-1{\ displaystyle Im \ \ kısmi ^ {i-1}} M∗{\ görüntü stili \ M ^ {*}}Hben(M∗,∂∗)=ker∂ben/benm ∂ben-1{\ displaystyle H ^ {i} (M ^ {*}, \ kısmi ^ {*}) = \ ker \ kısmi ^ {i} / Im \ \ kısmi ^ {i-1}}
Eğer bir kokainler kompleksi ise, ayarlayarak bir zincirler kompleksi elde ettiğimizi fark ederiz . Ancak, her iki terminoloji de mevcuttur, çünkü indekslemeyi değiştirmek rahatsız edici olabilir.
M∗{\ görüntü stili \ M ^ {*}} Mben=M-ben{\ displaystyle \ M_ {i} = M ^ {- i}}
Örneğin, if , değişken grup zincirlerinden oluşan bir kompleks ise, let ve (dönüştürülmüş harita ). Yani cochains oluşan bir komplekstir.
(M∗,∂∗){\ görüntü stili (M _ {*}, \ kısmi _ {*})}Mben=HÖm(Mben,Z){\ displaystyle M ^ {i} = \ matrm {Hom} (M_ {i}, \ mathbf {Z})}∂ben=(∂ben+1)∗{\ displaystyle \ kısmi ^ {i} = (\ kısmi _ {i + 1}) ^ {*}}(M∗,∂∗){\ görüntü stili (M ^ {*}, \ kısmi ^ {*})}
Misal
Herhangi bir topolojik uzayla, onun tekil zincirler kompleksini ve dolayısıyla onun tekil homolojisini ilişkilendirebiliriz . Bakış açısından Kategori teorisi , homoloji bir şekilde görülebilir funktor kategorisinden topolojik boşluklar kategorisine mezun değişmeli gruplar .
Değişmeli bir halkada değişmeli grupları modüllerle değiştirebiliriz.
Katalog
Her homoloji teorisi (içinde) başlı başına bir makaleye değer. Aşağıdaki liste ayrıntılı değildir.
bibliyografya
- (tr) William Fulton , Cebirsel Topoloji: İlk Ders , Springer , col. " GTM " ( n o 153)1995, 430 s. ( ISBN 978-0-387-94327-5 , çevrimiçi okuyun )
- Alexandru Dimca , Topolojide Kasnaklar , Berlin, Springer-Verlag , col. "Universitex",2004, 236 s. ( ISBN 978-3-540-20665-1 , Matematik İncelemeleri 2050072 , çevrimiçi okuyun )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">