Olasılık aksiyomları

In olasılık teorisi , olasılık aksiyomları da adlandırılan Kolmogorov aksiyomları adını Andrei Nikolaievich Kolmogorov onları geliştirilen bir uygulama doğrulamak gerektiğini özelliklerini belirlemek fikrini resmileştirmek amacıyla olasılık . P{\ displaystyle \ mathbb {P}}

Bu özellikler şu şekilde özetlenebilir: Ölçülebilir bir uzay üzerinde bir ölçü ise , o zaman bir olasılık uzayı olmalıdır . P{\ displaystyle \ mathbb {P}} (Ω,AT){\ displaystyle \ sol (\ Omega, {\ mathcal {A}} \ sağ)}(Ω,AT,P){\ displaystyle \ sol (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ sağ)}

Cox teoremi bazı tarafından tercih olasılıkları resmileştirmek başka bir yaklaşım sağlar Bayesian .

Aşağıda, bir kabile ile sağlanan boş olmayan bir kümeyi ele alıyoruz . Ω{\ displaystyle \ Omega}AT{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

İlk aksiyom

Olaylara unsurları diyoruz . AT{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

Herhangi bir olay için  :  AT{\ displaystyle \ A}

0≤P(AT)≤1.{\ displaystyle 0 \ leq \ mathbb {P} (A) \ leq 1.}

Yani, bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında gerçek bir sayı ile temsil edilir.

İkinci aksiyom

 Ω{\ displaystyle \ \ Omega}düşünülen rastgele deneyle ilişkili evreni belirlemek ,

P(Ω)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1},

Yani, belirli bir olayın veya evrenden herhangi bir sonucun elde edilme olasılığı 1'e eşittir. Diğer bir deyişle, temel olaylardan birini veya diğerini gerçekleştirme olasılığı 1'e eşittir.

Üçüncü aksiyom

İkiye ikiye ayrık olaylardan oluşan sayılabilir herhangi bir aile (ayrıca ikiye ikişer uyumsuz diyoruz ), şunları karşılar: AT1,AT2,...{\ displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}, \ noktalar}

P(AT1∪AT2∪⋯)=∑ben=1+∞P(ATben){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots) = \ toplamı _ {i = 1} ^ {+ \ infty} \ mathbb {P} (A_ {i}) }.

Yani, olayların ayrık ( sayılabilir ) birliği olan bir olayın olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. Buna σ-toplamsallık veya sayılabilir toplamsallık denir (olaylar ikişer ikişer ayrık değilse, bu ilişki genel olarak artık doğru değildir).

Sonuçlar

Aksiyomlardan, olasılıkların hesaplanması için yararlı olan bir dizi özellik gösterilmektedir, örneğin:

• P(∅)=0.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ boş küme) = 0.}

Gösteri

Kullanım 3 inci  ile belitini herkes için elde edilir ATk=∅ {\ displaystyle A_ {k} = \ boşküme \}k. {\ displaystyle k. \}

P(∅)=∑k≥1P(∅),{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ boş küme) = \ toplamı _ {k \ geq 1} \ mathbb {P} (\ boş küme),}

O zamandan beri sağdaki terim değerse tatmin edilmeyen ilişki Öyleyse , yalnızca uygun olanı kalır . P(∅)∈]0,1], {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ boş küme) \ içinde] 0,1], \}+∞. {\ displaystyle + \ infty. \}P(∅)=0, {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ boş küme) = 0, \}

Not: özellikle, bu, evrenin boş olmasını yasaklar, ikinci aksiyom, ölçüsünün 1 olmasını (dolayısıyla sıfır a fortiori değil ) gerektirir.

• Eğer , iki uyumsuz (veya ayrık) olayları daha sonra, vardırAT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

P(AT∪B)=P(AT)+P(B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ fincan B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B).}

• Daha genel olarak, 2 ila 2 arasındaki uyumsuz olaylar ailesiyse, o zaman(ATk)1≤k≤değil{\ displaystyle (A_ {k}) _ {1 \ leq k \ leq n}}

P(⋃1≤k≤değilATk)=∑1≤k≤değilP(ATk).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {1 \ leq k \ leq n} A_ {k} \ sağ) = \ toplamı _ {1 \ leq k \ leq n} \ mathbb {P} (A_ {k}).} Gösteri

3 e  aksiyomunu herkes için kullanın, uyumsuz olayların bir sonucunu elde eder 2-2, örneğin ATk=∅ {\ displaystyle A_ {k} = \ boşküme \}k≥değil+1. {\ displaystyle k \ geq n + 1. \}

⋃1≤k≤değilATk=⋃k≥1ATk,{\ displaystyle \ bigcup _ {1 \ leq k \ leq n} A_ {k} = \ bigcup _ {k \ geq 1} A_ {k},}

bu nedenle

P(⋃1≤k≤değilATk)=P(⋃k≥1ATk),{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {1 \ leq k \ leq n} A_ {k} \ sağ) = \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {k \ geq 1} A_ { k} \ sağ),}

ama üçüncü aksiyom sayesinde

P(⋃k≥1ATk)=∑k≥1P(ATk){\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {k \ geq 1} A_ {k} \ sağ) = \ toplamı _ {k \ geq 1} \ mathbb {P} \ sol (A_ {k} \ sağ)}

ve son olarak, çünkü her şey için istenen sonucu elde ederiz. k≥değil+1, {\ displaystyle k \ geq n + 1, \} P(ATk)=P(∅)=0, {\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (A_ {k} \ sağ) = \ mathbb {P} \ sol (\ boş küme \ sağ) = 0, \}

• P(B∖AT)=P(B)-P(AT∩B){\ displaystyle \ mathbb {P} (B \ setminus A) = \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B)};

Bu ilişki, A'nın değil B'nin oluşma olasılığının farka eşit olduğu anlamına gelir . Bu ilişki, B'nin ayrık bir birleşimi olduğu gerçeğinden kaynaklanır . P(B)-P(AT∩B){\ displaystyle \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B)}B∖AT{\ displaystyle B \ setminus A}AT∩B.{\ displaystyle A \ cap B.}

• Özellikle, eğer öyleyseAT⊂B{\ displaystyle A \ alt küme B}

P(AT)≤P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A) \ leq \ mathbb {P} (B)}

Olasılık artışının özelliğidir . Aslında, önceki özelliğin yazıldığı özel durumdaAT⊂B{\ displaystyle A \ alt küme B}

P(B∖AT)=P(B)-P(AT), {\ displaystyle \ mathbb {P} (B \ setminus A) = \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A), \} burada ilk terim açıkça pozitif veya sıfırdır.

• Bunun herhangi bir olay için verdiği özel durumda ,B=Ω,{\ displaystyle B = \ Omega,}AT{\ displaystyle A}

P(Ω∖AT)=1-P(AT){\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega \ setminus A) = 1- \ mathbb {P} (A)}

Bu, bir olayın meydana gelmeme olasılığının 1 eksi gerçekleşme olasılığına eşit olduğu anlamına gelir; bu özellik, zıt olayın olasılığını belirlemek olayın kendisinden daha kolay olduğunda kullanılır.

• Tüm etkinlikler için , ,AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

P(AT∪B)=P(AT)+P(B)-P(AT∩B) ≤ P(AT)+P(B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ fincan B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B) \ \ leq \ \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B).}

En az olaylardan biri olasılığı, bu araçlar veya meydana olasılıkların eşittir olduğu ve meydana eksi olasılığı ve eş zamanlı olarak meydana gelir. Aynı şekilde, AT{\ displaystyle A} B{\ displaystyle B}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}AT{\ displaystyle A} B{\ displaystyle B}

P(AT∪B∪VS)=P(AT)+P(B)+P(VS)-P(B∩VS)-P(VS∩AT)-P(AT∩B)+P(AT∩B∩VS).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ fincan B \ fincan C) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) + \ mathbb {P} (C) - \ mathbb {P} (B \ cap C) - \ mathbb {P} (C \ cap A) - \ mathbb {P} (A \ cap B) + \ mathbb {P} (A \ cap B \ cap C).}

• Bu son iki formül, bazen " Poincaré elek formülü " adını taşıyan dahil etme-hariç tutma ilkesinin özel durumlarıdır (n = 2.3) :

P(⋃ben=1değilATben)=∑k=1değil((-1)k-1∑1≤ben1<ben2<...<benk≤değilP(ATben1∩ATben2∩...∩ATbenk)),{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\, \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \, \ sağ) = \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} \ sol ( (-1) ^ {k-1} \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ ldots <i_ {k} \ leq n} \ mathbb {P} \ left (A_ {i_ { 1}} \ cap A_ {i_ {2}} \ cap \ ldots \ cap A_ {i_ {k}} \ sağ) \ sağ),}

n'nin birleşme olasılığını veren, ille de ayrık kümeler olması gerekmez .

• Tümevarım yoluyla, n = 2 için elde edilen eşitsizlik genelleşir:

P(⋃ben=1değilATben)≤∑k=1değilP(ATk).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\, \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \, \ sağ) \ leq \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} \ left (A_ {k} \ sağ).}

Artan ve azalan limitler veya monoton sürekliliğin Mülkiyeti

• Artan olaylar dizisi şunları sağlar:AT1⊂AT2⊂AT3⊂...{\ displaystyle A_ {1} \, \ alt küme \, A_ {2} \, \ alt küme \, A_ {3} \, \ alt küme \, \ noktalar}

P(AT1∪AT2∪⋯)=limdeğilP(ATdeğil).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots) = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}).}

Yani, artan bir olay dizisi sınırının olasılığı (bu durumda, bu dizideki tüm olayların - sayılabilir - birleşimi), bu olayların olasılıklarının sayısal dizisinin sınırına eşittir.

Gösteri

Biz poz veriyoruz

B1=AT1ve∀değil≥2, Bdeğil=ATdeğil∖ATdeğil-1.{\ displaystyle B_ {1} = A_ {1} \ quad {\ text {ve}} \ quad \ forall n \ geq 2, \ B_ {n} = A_ {n} \ ters eğik çizgi A_ {n-1}.}

Öyleyse kopuklar ve doğrula Bben{\ displaystyle B_ {i}}

⋃değil≥1Bdeğil=⋃değil≥1ATdeğilve∀değil≥1, ⋃k=1değilBk=ATdeğil.{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} B_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ quad {\ text {ve}} \ quad \ forall n \ geq 1, \ \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} B_ {k} = A_ {n}.}

Sırasıyla σ-toplamsallık ve toplamsallık özellikleri şu anlama gelir:

∑değil≥1P(Bdeğil)=P(⋃değil≥1ATdeğil)ve∀değil≥1, ∑k=1değilP(Bk)=P(ATdeğil).{\ displaystyle \ toplamı _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (B_ {n}) = \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ sağ) \ dörtlü {\ text {et}} \ quad \ forall n \ geq 1, \ \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (B_ {k}) = \ mathbb {P} (A_ {n }).}

O halde , bir serinin toplamının kısmi toplamlarının sınırı olarak tanımlanmasından başkası değildir . P(AT1∪AT2∪⋯)=limdeğilP(ATdeğil){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots) = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n})}

• Azalan olaylar dizisi şunları sağlar:AT1⊃AT2⊃AT3⊃...{\ displaystyle A_ {1} \, \ supset \, A_ {2} \, \ supset \, A_ {3} \, \ supset \, \ noktalar}

P(AT1∩AT2∩⋯)=limdeğilP(ATdeğil).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots) = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}).}

Yani, azalan bir olay dizisi sınırının olasılığı (bu durumda, bu dizideki tüm olayların kesişimi - sayılabilir), bu olayların olasılıklarının sayısal dizisinin sınırına eşittir.

• Boole eşitsizliği . Karşılaşılan herhangi bir olay dizisi :B1,B2,B3,...{\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, \ noktalar}

P(B1∪B2∪⋯)≤∑değilP(Bdeğil).{\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {1} \ cup B_ {2} \ cup \ cdots) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} (B_ {n}).} Gösteri

Biz poz veriyoruz

ATdeğil=B1∪B2∪⋯∪Bdeğil=⋃k=1değilBk.{\ displaystyle A_ {n} = B_ {1} \ cup B_ {2} \ cup \ dots \ cup B_ {n} = \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} B_ {k}.}

Sonra onları artan bir sıra oluşturun ve ATben{\ displaystyle A_ {i}}

⋃değil≥1ATdeğil=⋃değil≥1Bdeğil.{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} B_ {n}.}

Üstelik yukarıda da gördük

P(ATdeğil)≤∑k=1değilP(Bk),{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n}) \ leq \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (B_ {k}),}

bu nedenle

P(⋃değil≥1Bdeğil)=P(⋃değil≥1ATdeğil)=limdeğilP(ATdeğil)≤limdeğil∑k=1değilP(Bk)=∑değil≥1P(Bdeğil).{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n \ geq 1} B_ {n} \ sağ) = \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {n \ geq 1 } A_ {n} \ sağ) & = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}) \\ & \ leq \ lim _ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (B_ {k}) \\ & = \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (B_ {n}). \ end {hizalı}}}

• Boole eşitsizliğinin iki önemli sonucuna işaret edelim:
  • İhmal edilebilir kümelerin sonlu veya sayılabilir birliği kendi başına ihmal edilebilir;
  • Neredeyse güvenli kümelerin sonlu veya sayılabilir bir kesişiminin kendisi neredeyse güvenlidir.

Ölçüm teorisinden formülasyon

Aynı şekilde, tek bir sadece üçlü setleri , bir temsil olasılık alanı gibi a, ölçülen alanı olan ölçüde , toplam kitle için özelliği vardır 1'e eşit: (Ω,AT,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}

P(Ω)=1.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1.}