Kobordizm

Olarak farklı topoloji , kobordizma bir bir eşdeğerlik ilişkisi arasında kompakt diferansiyel manifoldları . İki kompakt çeşitleri M ve N olduğu söylenmektedir cobordant veya kobordizma olarak da eğer ayrık birleşimi bir kenarına gibi elde edilebilir olan çeşitli kompakt L kenar . Bu L çeşidinin M ve N arasında bir kobordizm olduğunu veya L'nin M ile N arasında bir kobordizm gerçekleştirdiğini söylüyoruz . Böyle bir kobordizmin varlığı, M ve N'nin aynı boyutta olduğunu ima eder .

Kesin olarak konuşursak, kobordizm bir eşdeğerlik ilişkisi değildir , çünkü belirli bir n büyüklüğündeki farklı çeşitlerin sınıfı bir küme değildir . Bununla birlikte, M ve N türünün eşbordant olduğu gerçeği, yalnızca bu çeşitlerin diffeomorfizm sınıfına bağlıdır. Kobordizm, diffeomorfizme kadar tanımlanan n boyutunun farklı manifoldları kümesi üzerindeki bir eşdeğerlik ilişkisini tanımlar .

Geleneksel olarak, bir çeşitliliğin sonsuza kadar sayılabilir olduğu varsayılır . Sıkıştırılmış her bir sınırlı bir sayıda ile örtülebilir yerel harita etki , ve her bir alan, bir ile tanımlanır açık bir bir R , n . Diferansiyel manifold bu nedenle sürekli gücüne sahiptir . Tanımlanmış diffeomorfizm n farklı büyüklük çeşitlerinin sınıfı , tüm R üzerindeki n boyutunun toplam diferansiyel manifold yapılarının bir bölümü olarak elde edilir .

Yönlendirilmiş diferansiyel manifoldlar için kobordizmden daha ince bir ilişki vardır . Kenardaki çeşitli yönelim, kenarda bir yönelim oluşturur. Bağlı bir yönlendirilebilir diferansiyel manifold M için , tam olarak iki farklı yön vardır. Bu yönelimlerden biri belirtilirse, M , dile yönelik kötüye kullanım olarak adlandırılır . Daha sonra , ikinci yönelimle donatılmış M çeşidini belirtiriz . M ve N yönelimli iki kompakt manifold , çeşitli kompakt kenar ve kenarı ve N'nin ayrık birleşimi olan yönlendirilmiş W olduğunda kobordant olarak adlandırılır . W'nin M ve N arasında yönelimli bir kobordizm olduğu söylenir . $\ overline {M}$ $\ overline {M}$

Ayrıca makalenin ilerleyen bölümlerinde tartışılan başka Kobordizm kavramları da var.

Kobordizm Örnekleri

0 boyutunda

Kompakt boyut 0 çeşitleri , tam olarak " sonlu kümeler " noktalarıdır. Diffeomorfizmler önyargılardır. Diffeomorfizm dışında, önem derecelerine göre sınıflandırılırlar . 1. boyutun kompakt sınırlanmış bir manifoldu, segment [0,1] kopyalarının ve dairenin kopyalarının ayrık sonlu birleşimidir . Segmentlerin kullanımı, bir kobordizmin çift sayıda noktayı iptal etmesine izin verir. Öte yandan, bir nokta, bir çift noktaya sahip kobordizmde değildir. Aslında, iki sonlu küme, kardinalleri aynı pariteye sahipse kobordizmdedir .

İlgili herhangi bir manifold gibi, bir noktanın bir işaret (+ veya -) ile sembolize edilen tam olarak iki yönü vardır. 0 boyutunun kompakt yönelimli bir manifoldu, + ve - işaretlerinin sonlu bir koleksiyonudur. Yönlendirilmiş segmentin [0,1] kopyalarının kullanılması, yönlendirilmiş bir kobordizm ile bir + işaretini - işaretiyle iptal etmeyi ya da tam tersine bir + işareti ve bir - işareti oluşturmayı mümkün kılar. İmza olarak adlandırılan işaret sayısı + eksi işaret sayısı - yönelimli kobordizm tarafından değişmez.

1. boyutta

Boyut 1'in tek bağlantılı kompakt manifoldu, dairenin yakınında diffeomorfizmdir . Aslında, 1. boyutun kompakt bir diferansiyel manifoldu, sonlu sayıda dairenin ayrık bir toplamıdır. Pantolon bir daire ve iki çemberin (rakamlar tersini bakınız) birliği arasında bir kobordizma oluşturun. Anında yinelemeyle, sınırlı sayıda dairenin herhangi bir ayrık birleşimi, bir daireye eşbordant olur. 1. boyuttaki kobordizm herhangi bir ilgili bilgi sağlamaz.

Daha yüksek boyutta

Herhangi bir kompakt hiperyüzey ait R , n kompakt alan komşudur. Bu tür bir etki, kapalı bir top, bir kompakt hiperyüzeyi çıkararak R , n da cobordant küre S , n -1 .
Herhangi bir kompakt yönlendirilebilir yüzey boyut 2 kompakt bir hiperyüzey olarak gerçekleştirilmiştir R 3 . Önceki örnek, boyut 2'nin tüm yönlendirilebilir yüzeylerinin birlikte bağlandığını göstermektedir. Kobordizm cinsiyet hakkında bilgi sağlamaz .
Boyut 3 Herhangi yönlendirilebilir kompakt manifoldu küre için cobordant olan S 3 (ya da boş seti, aynı şey gelir). Sonuç, daha yüksek boyutta yanlıştır.

Kısıtlamalar

İki farklı manifoldun eşbordant olmasını engelleyen homolojik nitelikte kısıtlamalar vardır. Bu kısıtlamalar karakteristik sınıfları kullanır .

Stiefel-Whitney sayıları

Z / 2 Z katsayılarına sahip herhangi bir karakteristik sınıf , Siefel-Whitney sınıflarında bir polinom olarak (benzersiz olarak) yazılır.
Herhangi bir anda bölüm ler için n, ve bir diferansiyel manifoldu M boyut N ile ilişkilidir Stiefel-Whitney sayısı ağırlık s ( M içinde) Z / 2 Z .

Pontrjagin teoremi - Aynı boyuttakiiki diferansiyel manifold M ve N eşbordant ise, o zaman aynı Stiefel-Whitney sayılarına sahiptirler.

Thom teoremi - Aynı boyutun iki diferansiyel manifoldu aynı Stiefel-Whitney sayılarına sahipse, bunlar eşbordandır.

H-kobordizm teoremi

H-cobordism teoremi, yeniden bağlanmalar ve topolojik yapılar açısından kobordizmi anlamamızı sağlar. Kanıtı, Mors işlevlerinin kullanımına ve Mors teorisinin temellerine dayanmaktadır .

Temas çeşitleri arasında kobordizm

Bir iletişim manifoldu tek boyut kompakt bir diferansiyel manifolddur N ile birlikte sunulmaktadır, diferansiyel formda gibi bir birim formu . Söylendi: $\alfa$ $\ alpha \ wedge (d \ alpha) ^ {n}$

Bir dışbükey kenar simplektik manifoldu boyut 2 N bunun bir birlik + 2, bağlı bileşenlerin kenarının M içinde çok yakın bir var olan giden Liouville alanı ; $(M, \ omega)$
2 n + 2 boyutundaki semplektik bir manifoldun içbükey kenarı , çevresinde bir reentran Liouville alanı bulunan M'nin kenarının bağlı bileşenlerinin bir birleşimi olduğunda . $(M, \ omega)$

İki kontak manifoldu ve sınırı içbükey ve dışbükey kenarların ayrık birleşimi olan ve sırasıyla içbükey ve dışbükey kenarlar olarak gerçekleşen semplektik bir manifold olduğunda eşbordant olduğu söylenir . $(N_ {1}, \ alpha _ {1})$ $(N_ {2}, \ alpha _ {2})$ $(M, \ omega)$ $N_ {1}$ $N_ {2}$

Referanslar

R. Thom, " Türevlenebilir manifoldların bazı global özellikleri ", Commentarii Mathematici Helvetici ,1954, s. 17-86 ( ISSN 0010-2571 , çevrimiçi okuyun )
(in) Robert Stong, Cobordism teorisi üzerine notlar , Princeton, Princeton University Press , 2016 (ilk baskı, 1968), 422 s. ( ISBN 978-0-691-64901-6 )