Kristal kohomolojisi
Kristalin kohomolojisi bir olan Weil kohomolojisi için düzenleri tarafından tanıtılan Alexander Grothendieck 1966 yılında ve geliştirdiği Pierre Berthelot . Vücut tabanındaki Witt vektör halkaları üzerindeki modülleri dikkate alarak kohomoloji yayılımlarının kapsamını genişletir .
Motivasyon ve tarih
Weil'in varsayımları
Kompakt türevlenebilir manifoldlar çalışmasında , Lefschetz'in formülü , kendi içinde manifoldun bir morfizminin sabit noktalarının sayısını hesaplamayı mümkün kılar . Bu formül, dikkate alınan manifoldun De Rham kohomoloji vektör uzaylarına etki eden alternatif bir iz toplamıdır .
İşi André Weil üzerinde cebirsel manifoldu üzerinde sonlu alanlar bilgisi olduğunu gösterdi zeta fonksiyonu manifoldunun sayısının bu eşdeğerdir olduğunu rasyonel noktaları baz alan tüm sonlu uzantılar üzerinde sahiptir. Weil, rasyonel noktaların , yinelenen Frobenius endomorfizminin tam olarak sabit noktaları olduğunu fark etti . Weil daha sonra, sonlu bir alan üzerindeki manifoldlar için, karakteristik sıfır alan üzerinde sonlu boyutlu vektör uzaylarında değerler içeren bir kohomolojik teorinin, Lefschetz'in sonucunu doğal olarak genelleyeceğini öne sürer.
Fqdeğil{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q ^ {n}}}ϕdeğil{\ displaystyle \ phi ^ {n}}
Böyle bir kohomolojik teori için gerekli koşullar resmileştirildi ve varsayılan teori " Weil'in kohomolojisi " ni vaftiz etti .
Ét-adic étale kohomolojisi
Bir Weil kohomolojisinin inşası, Alexander Grothendieck'in şema teorisinin ilk günlerinde kendisine koyduğu hedeflerden biridir . Onların étale topolojisini ve karşılık gelen kohomolojisini tanımladıktan sonra, öğrencileriyle birlikte, q'yu bölmeyen herhangi bir asal sayı ℓ için ℓ -adik kohomoloji geliştirir .
Let k olması karakteristik bir alan, p , ve k bir cebirsel kapağın bir k . Let X'in olmak sonlu üzerinde türünde bir ayrı şema k ve ℓ bir asal sayı. Gruplar Etale ait X ⊗ k olan
Hben(X⊗k¯,Zℓ)=lim←Hveben(X⊗k¯,Z/ℓdeğilZ){\ displaystyle H ^ {i} (X \ otimes {\ bar {k}}, \ mathbb {Z} _ {\ ell}) = \ lim _ {\ leftarrow} H _ {\ text {et}} ^ { i} (X \ otimes {\ bar {k}}, \ mathbb {Z} / \ ell ^ {n} \ mathbb {Z})}
Hben(X⊗k¯,Ql)=Ql⊗Hben(X⊗k¯,Zl){\ displaystyle H ^ {i} (X \ otimes {\ bar {k}}, \ mathbb {Q} _ {l}) = \ mathbb {Q} _ {l} \ otimes H ^ {i} (X \ otimes {\ bar {k}}, \ mathbb {Z} _ {l})}
Bunlar, ℓ p'den farklı olduğunda veya X uygunsa , sonlu boyutlu vektör uzaylarıdır .
Kristalin kohomolojiye doğru
Let k olması karakteristik bir alan p ,> 0 izin X, boyut, temiz ve pürüzsüz bir diyagram d üzerine k . Birkaç kohomolojik teorimiz var:
- Onun étale ℓ-adic kohomolojisi (katsayıları ℤ p olarak ): Yapısal olarak, “sıradan” kohomolojinin özelliklerini taklit eder, yani Zariski topolojisine karşılık gelir , ancak sadece ℓ ≠ p ;
- Onun Hodge kohomolojisi veya De Rham kohomolojisi : eğer X / k temiz ve alırsak alalım, pürüzsüz k -vector boşluk ve rasyonel sayı sayamazsınız;
- Yapısal demet üzerindeki Witt vektörlerinin demetinin bulunduğu Serre kohomolojisi .Hben(X,WÖX){\ displaystyle H ^ {i} (X, W {\ mathcal {O}} _ {X})}WÖX{\ displaystyle W {\ mathcal {O}} _ {X}}
Étale kohomolojisi sayesinde Grothendieck, Lefschetz'in Weil'in ilk varsayımını içeren formülünü kanıtladı. İkinci varsayım , Poincaré'nin ikiliğinin bir sonucu olarak ortaya çıkıyor . Son olarak, Pierre Deligne son iki varsayımı kanıtladı.
Bununla birlikte, kalan sorular, p -adik kohomolojinin yaklaşmaya izin vermediği şemanın p'ye indirgenmesiyle ilgilidir .
Dwork ve Monsky-Washnitzer eserleri esinlenerek, Grothendieck yükseltmek önermektedir X temiz ve diyagramıdır düz Z / W (k) ile ( k karakteristiği de mükemmel p > 0 ve W (k) ' Witt vektörlerin halkası). Daha sonra Z'nin De Rham kompleksini W (k) üzerinde düşünebilir ve hiperkomolojisini alabiliriz. Sezgi, bu grupların, X / k kapsamına giren Z / W (k) seçimine, a priori isteğe bağlı olmadığıydı .
Tanım
Bölünmüş güçler
Ya da bir halka ve I bir idealdir ait A . Bir bölünmüş güç yapısı (ya da PD-yapı üzerine) I uygulamalar dizisidir
γdeğil:ben→AT{\ displaystyle \ gamma _ {n}: I \ ila A}herhangi bir pozitif veya sıfır n için , örneğin:
-
γ0(x)=1{\ displaystyle \ gama _ {0} (x) = 1}ve her şey için ;γ1(x)=x{\ displaystyle \ gama _ {1} (x) = x}x∈ben{\ displaystyle x \ in I}
-
γdeğil(x)∈ben{\ displaystyle \ gamma _ {n} (x) \ I}eğer n ≥ 1 ve ;x∈ben{\ displaystyle x \ in I}
-
γdeğil(x+y)=∑ben+j=değilγben(x)γj(y){\ displaystyle \ gama _ {n} (x + y) = \ toplamı _ {i + j = n} \ gama _ {i} (x) \ gama _ {j} (y)}için ;x,y∈ben{\ displaystyle x, y \ I’de}
-
γdeğil(λx)=λdeğilγdeğil(x){\ displaystyle \ gamma _ {n} (\ lambda x) = \ lambda ^ {n} \ gamma _ {n} (x)}her şey için ve ;x∈ben{\ displaystyle x \ in I}λ∈AT{\ displaystyle \ lambda \ A’da}
-
γdeğil(x)γm(x)=(m+değildeğil)γm+değil(x){\ displaystyle \ gamma _ {n} (x) \ gamma _ {m} (x) = {m + n \ seçin n} \ gamma _ {m + n} (x)}her şey için ve ;x∈ben{\ displaystyle x \ in I}m,değil∈DEĞİL{\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}
-
γm(γdeğil(x))=(mdeğil)!m!(değil!)mγmdeğil(x){\ displaystyle \ gamma _ {m} (\ gamma _ {n} (x)) = {\ frac {(mn)!} {m! (n!) ^ {m}}} \ gamma _ {mn} ( x)}her şey ve herkes için .x∈ben{\ displaystyle x \ in I}m,değil∈DEĞİL{\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}
Özellikle, W (k) Witt vektörlerinin halkasını gösteriyorsa, (p) bir W (k) idealidir ve bir PD yapısı ile verilir .
γdeğil=pdeğil/değil!{\ displaystyle \ gamma _ {n} = p ^ {n} / n!}
Let k olması karakteristik ile mükemmel bir alan p > 0, ve X, bir k -schema. Biz tarafından ifade W = W (k) ' üzerinde Witt vektörlerinin halka k ve
Wdeğil=W/pdeğil{\ displaystyle W_ {n} = W / p ^ {n}}Kristal Alanı bir edilir Alanı aşağıdaki gibi tanımlanır:
VSrbens(X/Wdeğil){\ displaystyle \ mathrm {Cris} (X / W_ {n})}
- Nesneler değişmeli diyagramlardır
U↪benV↓↓Spevsk→SpevsWdeğil{\ displaystyle {\ begin {matrix} U & {\ stackrel {i} {\ hookrightarrow}} & V \\\ downarrow && \ downarrow \\\ mathrm {Spec} \, k & \ rightarrow & \ mathrm {Spec} \, W_ {n} \ end {matris}}}ile bir Zariski açıkken, i kapalı bir daldırma yere bu -schemas gibi ilgili standart PD-yapı ile uyumlu bir PD-yapı ile temin edilmektedir .
U⊂X{\ displaystyle U \ alt küme X}Wdeğil{\ displaystyle W_ {n}}ker(ÖV→ÖU){\ displaystyle \ mathrm {ker} ({\ mathcal {O}} _ {V} \ - {\ mathcal {O}} _ {U})}pWdeğil⊂Wdeğil{\ displaystyle pW_ {n} \ alt küme W_ {n}}
- Morfizmler , açık bir daldırma ve bölünmüş güçlerle uyumlu bir morfizmden oluşan değişmeli diyagramlardır .(U,V,δ)→(U′,V′,δ′){\ displaystyle (U, V, \ delta) \ ila (U ', V', \ delta ')}U↪U′{\ displaystyle U \ hookrightarrow U '}V→V′{\ displaystyle V \ ila V '}
- Kapsayan aile Morfizmlerin aileleri şekilde açık bir daldırma ve(Uben,Vben,δben)→(U,V,δ){\ displaystyle (U_ {i}, V_ {i}, \ delta _ {i}) \ ila (U, V, \ delta)}Vben→V{\ displaystyle V_ {i} \ - V}V=⋃benVben{\ displaystyle V = \ bigcup _ {i} V_ {i}}
Bir kristalin sitesinde kirişlerin kategorisi olan topos denilen kristal evrenini ve kaydetti . Özellikle, bu yapı işlevselliği garanti eder: k- şemalarının bir morfizmiyse, onu bir morfizm ile ilişkilendirebiliriz
(X/Wdeğil)vsrbens{\ displaystyle (X / W_ {n}) _ {\ mathrm {cris}}}f:X→Y{\ displaystyle f: X \ - Y}
f-1:(Y/Wdeğil)vsrbens→(X/Wdeğil)vsrbens{\ displaystyle f ^ {- 1} :( Y / W_ {n}) _ {\ mathrm {cris}} \ ila (X / W_ {n}) _ {\ mathrm {cris}}}.
Kristal kohomolojisi
Let F olduğu bir kristalin sahada kiriş, ve (u, v) bünyesinde bir amacı. İlişkilendirerek bölümleri F ile açık için W ve V , biz bir demet tanımlayan V için Zariski topolojisi . Bir morfizm için
(U×VW,W){\ displaystyle (U \ kere _ {V} W, W)}
g:(U,V)→(U′,V′){\ displaystyle g: (U, V) \ - (U ', V')}sitede bir morfizm alıyoruz
gF∗:g-1F(U′,V′)→F(U,V){\ displaystyle g_ {F} ^ {*}: g ^ {- 1} F _ {(U ', V')} \ ila F _ {(U, V)}}bu özellikle de bir geçişlilik durumda ve de tatmin bir bir izomorfizm eğer V → V açık bir daldırma ve . Herhangi bir nesne için kendimizi vermek tersine, (u, v) sitesi, bir demet ait ilgili Zariski topoloji için V , aynı zamanda herhangi bir morfizmanın g bir geçiş morfizma yukarıdaki gibi olan tatmin uyarılmış özellikleri, biz bir demet tanımlar kristalin site. Yapısal kiriş ilişkilendiren ışın herhangi bir nesne ile kristalin site .
gF∗{\ displaystyle g_ {F} ^ {*}}U=U′×V′V{\ displaystyle U = U '\ times _ {V'} V}F(U,V){\ displaystyle F _ {(U, V)}}gF∗{\ displaystyle g_ {F} ^ {*}} ÖX/Wdeğil{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X / W_ {n}}}(U,V,δ){\ displaystyle (U, V, \ delta)}ÖV{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V}}
Kristalin kohomolojisi yapı çubuğu cohomoloji olduğu:
Hben(X/Wdeğil)=Hben((X/Wdeğil)vsrbens,ÖX/Wdeğil){\ displaystyle H ^ {i} (X / W_ {n}) = H ^ {i} \ sol ((X / W_ {n}) _ {\ mathrm {cris}}, {\ mathcal {O}} _ {X / W_ {n}} \ sağ)}
Hben(X/W)=limdeğil⟵Hben(X/Wdeğil){\ displaystyle H ^ {i} (X / W) = \ lim _ {\ stackrel {\ longleftarrow} {n}} H ^ {i} (X / W_ {n})}
Notlar ve referanslar
-
Esasen: rasyonel bir kesir olarak zeta fonksiyonunun ifadesinde yer alan polinomların katsayılarının p -adik değerleri nelerdir? Ve mutlak Galois grubunun bir temsilinin (açık ) ile sınırlandırılmasına ne dersiniz ?G-del(Q¯/Q){\ displaystyle \ mathrm {Gal} ({\ bar {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q})}Hben(X⊗Q¯,Qℓ){\ displaystyle H ^ {i} (X \ otimes \ mathbb {\ bar {Q}}, \ mathbb {Q} _ {\ ell})}G-del(Qp¯/Qp){\ displaystyle \ mathrm {Gal} ({\ overline {\ mathbb {Q} _ {p}}} / \ mathbb {Q} _ {p})}
-
(in) Bernard Dwork , " Cebirsel bir çeşitliliğin zeta fonksiyonunun rasyonalitesi hakkında " , American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, Cilt. 82, n o 3,1960, s. 631–648 ( ISSN 0002-9327 , DOI 10.2307 / 2372974 , JSTOR 2372974 , Matematik İncelemeleri 0140494 ).
-
Buradaki fikir gayri resmi " ".γdeğil(x)=xdeğil/değil!{\ displaystyle \ gamma _ {n} (x) = x ^ {n} / n!}
-
Gerçekten de bir tamsayıdır ve kombinatoryal bir bakış açısından mn nesnelerini m n sınıflarına dağıtma yollarının sayısı olarak yorumlanabilir .
-
Yani, bu PD yapısını belirtirsek , eğer var demektir .δ{\ displaystyle \ delta}δ(p-de)=γdeğil(p)-dedeğil{\ displaystyle \ delta (pa) = \ gama _ {n} (p) a ^ {n}}p-de∈ker(ÖV→ÖU){\ displaystyle pa \ in \ mathrm {ker} ({\ mathcal {O}} _ {V} \ to {\ mathcal {O}} _ {U})}
Ayrıca görün
Kaynakça
- (tr) Pierre Berthelot ve Arthur Ogus , Kristalin Kohomoloji Üzerine Notlar , Princeton University Press , coll. "Matematik Çalışmaları Yıllıkları",1978( zbMATH 0383.14010 , çevrimiçi okuyun )
- Pierre Berthelot , p> 0 karakteristik şemalarının kristal kohomolojisi , cilt. 407, Springer-Verlag , cilt. "Matematikte Ders Notları",1974, 604 s. ( ISBN 978-3-540-06852-5 , DOI 10.1007 / BFb0068636 , Matematik İncelemeleri 0384804 )
- (tr) Alexander Grothendieck , "Crystals and the de Rham cohomology of schemes" , Jean Giraud, Alexander Grothendieck, Steven Kleiman ve Michèle Raynaud, Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , cilt. 3, Kuzey-Hollanda, gün. "Saf matematikte ileri düzey çalışmalar",1968( Matematik İncelemeleri 0269663 , çevrimiçi okuyun ) , s. 306–358
- Alexander Grothendieck, SGA 5 (1972)
- Alexander Grothendieck, Pierre Deligne ve Nick Katz, SGA 7 (1972)
- (tr) Luc Illusie , "Kristalin kohomoloji raporu" , Cebirsel geometri , cilt. 29, Amer. Matematik. Soc., Coll. "Proc. Güzel. Saf Matematik. ",1975( Matematik İncelemeleri 0393034 ) , s. 459-478
- Luc Illusie , "Crystalline cohomology (P. Berthelot'tan sonra)" , Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés No. 453-470), Exp. 456 , cilt. 514, Springer-Verlag , cilt. "Matematik Ders Notları. ",1976( Matematik İncelemeleri 0444668 , çevrimiçi okuyun ) , s. 53-60
- (tr) Luc Illusie , "Crystalline cohomology " , Motives içinde (Seattle, WA, 1991) , cilt. 55, Amer. Matematik. Soc., Coll. "Proc. Güzel. Saf Matematik. ",1994( Matematik İncelemeleri 1265522 ) , s. 43–70
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">