Pólya Varsayımı
Sayı teorisinde , Pólya varsayımı , belirli bir tam sayıdan küçük olan doğal tam sayıların çoğunun (yani yarısından fazlasının) tek sayıda asal çarpana sahip olduğunu belirtir . Bu varsayım, 1919'da Macar matematikçi George Pólya tarafından önerildi . 1958'de yanlış olduğu kanıtlandı. En küçük karşı örneğin boyutu genellikle bir varsayımın yanlış olsa da birçok sayı için doğru olabileceğini göstermek için kullanılır.
İddia
Pólya varsayımı , 2'den büyük herhangi bir n tamsayısı için, n'den küçük veya n'ye eşit doğal sayıları (0 sayılmaz) tek sayıda asal çarpana sahip olanlar ile bir çift sayıya sahip olanlar arasında bölersek , o zaman ilk set, ikinciden daha fazla (veya daha fazla) öğeye sahiptir. Asal faktörlerin tekrarlandıkça sayıldığını unutmayın. Böylece, 24 = 2 3 × 3 1'in 3 + 1 = 4 asal çarpanı varken 30 = 2 × 3 × 5'in 3 asal çarpanı vardır.
Benzer şekilde, varsayım Liouville işlevi ile aşağıdaki gibi formüle edilebilir:
tüm n > Burada 1. λ ( k ) = (1) Ω ( k ) olan tam sayı asal faktörlerin sayısı ise 1'e eşit k Hatta ve -1 bu tek ise. Ω işlevi, bir tamsayının asal çarpanlarının toplam sayısını sayar.
Karşı örnek
Polya varsayımı 1958'de C. Brian Haselgrove tarafından reddedildi . Bu onun bir eksileri olduğunu gösterdi, yaklaşık 1.845 x 10 361 tahmin etti .
N = 906 180 359 için açık bir karşı örnek 1960 yılında R. Sherman Lehman tarafından verilmiştir; en küçük karşı örnek, 1980'de Minoru Tanaka tarafından bulunan n = 906150 257'dir.
Pólya varsayımı, 906 150 257 ≤ n ≤ 906 488 079 bölgesindeki n değerlerinin çoğu için hatalı . Bu bölgede, Liouville işlevi n = 906 316 571'de 829 maksimum değere ulaşır .
Notlar ve referanslar
- (fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Polya varsayım " ( yazarların listesini görmek ) .
- (De) George Pólya , " Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie " , Jahresber. der DMV , cilt. 28,1919, s. 31-40
- (inç) CB Haselgrove , " Polya'nın bir varsayımının yanlışlığı ' , Mathematika , cilt. 5, n o 02,1958, s. 141-145
- (içinde) RS Lehman , " Liouville'in işlevidir " , Hesaplamanın Matematik , Cilt. 14, n o 72,1960, s. 311-320 ( çevrimiçi okuyun )
- (in) Bay Tanaka , " Sayısal Araştırma Liouville Fonksiyonunun Kümülatif Toplamıdır " , Tokyo Matematik Dergisi , cilt. 3, n o 1,1980, s. 187-189 ( çevrimiçi okuyun )