Liouville işlevi
Liouville işlevi kaydetti λ ve onuruna Fransız matematikçi Joseph Liouville , bir olan önemli aritmetik fonksiyon numarası teorisi ile tanımlanan,:
∀değil∈DEĞİL∗,λ(değil)=(-1)Ω(değil),{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ dörtlü \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)},}
burada Ω ( n ), n > 0 tamsayısının çokluğu ile sayılan asal faktörlerin sayısıdır .
Eğer değil=∏ben=1mpbenyben, yani Ω(değil)=∑ben=1myben.{\ displaystyle {\ text {si}} n = \ prod _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} ^ {\ gamma _ {i}}, {\ text {sonra}} \ Omega (n) = \ toplam _ {i = 1} ^ {m} \ gama _ {i}.}
örneğin: 12 = 2² × 3 ve Ω (12) = 3).
Özellikleri
- Fonksiyon λ olan tamamen çarpımsal için işlev Ω olan tam katkı maddesi . Bu nedenle λ (1) = 1.
- Bu tatmin ✻ belirtmektedir, aşağıdaki kimliği, Dirichlet konvolüsyon , 1 sabit bir fonksiyonu 1 ve χ C gösterge işlevi seti C arasında mükemmel kareler :λ∗1=χVS,Ösen edeğilvsÖre :∑d|değilλ(d)={1Eğer değil bir tam karedir,0değilse.{\ displaystyle \ lambda * {\ mathbf {1}} = \ chi _ {C}, \ dörtlü {\ rm {veya ~ tekrar ~:}} \ dörtlü \ toplam _ {d | n} \ lambda (d) = {\ start {durumlar} 1 & {\ metin {si}} n {\ metin {bir tam karedir,}} \\ 0 & {\ metin {aksi halde.}} \ end {durumlar}}}Gerçekten de, bu iki işlev n çarpımsal ve açıkça çakıştığı Hangi güçler arasında asal sayılar .
- Liouville fonksiyonudur ters arasında ✻ için, mutlak değer arasında Möbiüs fonksiyonu ^ ı.
Bu özellik, χ C ✻ | μ | = 1 .
- Arasında Dirichlet dizisi X ile ilgilidir Riemann zeta fonksiyonu , aşağıdaki formül ile:
∑değil=1∞λ(değil)değils=ζ(2s)ζ(s).{\ displaystyle \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s )}}.}
∑değil=1∞λ(değil)qdeğil1-qdeğil=∑değil=1∞qdeğil2=12(ϑ3(q)-1){\ displaystyle \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {1} {2}} \ sol (\ vartheta _ {3} (q) -1 \ sağ)}
burada a, Jacobi teta fonksiyonu.
ϑ3(q){\ displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}
varsayımlar
Polya Sanısı
not ediyoruz . Pólya 1919'da bu varsayımı yapmıştı ve 1958'de Colin Brian Haselgrove tarafından reddedildi . Minoru Tanaka 1980 yılında küçük bulunan karşı- n : L bile vardır (906, 150 257) = 1. L ( n ) > 0.061867 √ n tamsayı sonsuzluk n . İşareti değişikliklerin sayısı olmadığı bilinmemektedir L sonlu olduğunu ve iyi bir nedenle: Riemann hipotezi ve tümü sıfır basitliği ve Riemann zeta fonksiyonu sonuçlanacaktır.
L(değil)=∑k=1değilλ(k){\ displaystyle L (n) = \ toplam _ {k = 1} ^ {n} \ lambda (k)}∀değil>1,L(değil)⩽0{\ displaystyle \ forall n> 1, \; L (n) \ leqslant 0}
Başka bir varsayım (bazen yanlış atfedilen Pál Turan ): tanımladığımızı halinde , o zaman olası görünüyordu M ( n ) ≥ 0 için n da Haselgrove 1958 reddedilmiştir yeterince büyük,. Bu özellik, eğer doğru olsaydı, Pál Turán'ın gösterdiği gibi, Riemann hipotezinin doğruluğuyla sonuçlanacaktı.
M(değil)=∑k=1değilλ(k)k{\ displaystyle M (n) = \ toplam _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda (k)} {k}}}
chowla varsayımı
Bir varsayım Sarvadaman Chowla için belirtmektedir negatif olmayan sayılar tamsayılar tüm farklı ve negatif olmayan tamsayılar ile için biz var:
k{\ görüntü stili k}bben{\ görüntü stili b_ {i}}k{\ görüntü stili k}deben{\ görüntü stili a_ {i}}debenbj-dejbben≠0{\ displaystyle a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ değil = 0}1≤ben<j≤k{\ displaystyle 1 \ leq ben <j \ leq k}
∑1≤değil≤xλ(de1değil+b1)⋅⋅⋅λ(dekdeğil+bk)=Ö(x){\ displaystyle \ toplam _ {1 \ leq n \ leq x} \ lambda (a_ {1} n + b_ {1}) \ cdot \ cdot \ cdot \ lambda (a_ {k} n + b_ {k}) = öküz)}zaman ,
x→∞{\ displaystyle x \ ila \ infty}burada Landau sembolünü gösterir .
Ö{\ görüntü stili o}
Asal sayı teoremine eşdeğer olduğu için varsayım doğrudur ; için açıktır .
k=1{\ görüntü stili k = 1}k≥2{\ displaystyle k \ geq 2}
2015 yılında, Kaisa Matomäki , Maksym Radziwill ve Terence Tao , varsayımın ortalama bir versiyonuna gelince biraz ilerleme kaydetti. 2016'da Terence Tao, davadaki varsayımın logaritmik bir versiyonunu gösterdi . Benzer bir varsayım, Liouville fonksiyonunu Möbius fonksiyonu ile değiştirerek aynı şekilde formüle edilmiştir.
k=2{\ görüntü stili k = 2}
Notlar ve referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır
İngilizce başlıklı
" Liouville işlevi " ( yazarların listesini görmek ) .
-
Suite A008836 ait OEIS .
-
(tr) Eric W. Weisstein , “ Polya Konjektür, ” üzerinde MathWorld .
-
(tr) CB Haselgrove , “ Pólya varsayımının çürütülmesi ” , Mathematika , cilt. 5,1958, s. 141-145 ( DOI 10.1112 / S0025579300001480 ).
-
(tr) Peter Borwein , Ron Ferguson ve Michael J. Mossinghoff , “ Liouville Fonksiyonunun Toplamlarında İşaret Değişiklikleri ” , Math. Komp. , cilt. 77, n o 263,2008, s. 1681-1694 ( çevrimiçi okuyun ).
-
K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao : Chowla´s varsayımının ortalama biçimi, Algebra & Number Theory, cilt 9, 2015, s 2167-2196, Arxiv
-
T. Tao: İki noktalı korelasyonlar için logaritmik ortalamalı Chowla ve Elliott Conjectures, Forum of Mathematics, Pi (2016), Cilt. 4, 36 sayfa doi: 10.1017 / fmp.2016.6.