Kepler-Bouwkamp sabiti
Gelen matematik , Kepler-Bouwkamp sabit olan sınır bir dizi yarıçaplarının eş çevrelerinde olan normal çokgenler arda yazılıdır 1 yarıçaplı bir daire ve bir yazılı üçgen başlayarak her adımda tek taraf sayısı arttıkça.
Bu sabitin belirlenmesi
Yapının ilk aşamaları şu şekildedir: Biri bir birim daireye , içinde bir daire bulunan bir eşkenar üçgen çizer . Gelen biri inscribes kare bir bir daire inscribes, iç . İçinde bir a inscribes normal beşgen bir bir daire inscribes ettiği, vs.
VS1{\ displaystyle C_ {1}}VS2{\ displaystyle C_ {2}}VS2{\ displaystyle C_ {2}}VS3{\ displaystyle C_ {3}}VS3{\ displaystyle C_ {3}}VS4{\ displaystyle C_ {4}}
Sınırlandırılmış daireninkine atıfta bulunulan dairenin yarıçapı eşittir .
VSdeğil{\ displaystyle C_ {n}}çünküπdeğil{\ displaystyle \ çünkü {\ frac {\ pi} {n}}}
Sabit Kepler-Bouwkamp, sınır çevreler ışını sonsuza eğilimi eşittir sonsuz bir ürün : .
VSdeğil{\ displaystyle C_ {n}}değil{\ displaystyle n}R=∏değil=3∞çünkü(πdeğil){\ displaystyle R = \ prod _ {n = 3} ^ {\ infty} \ cos \ sol ({\ frac {\ pi} {n}} \ sağ)}
Bu sonsuz ürün gerçekten yakınsaktır (hatta kesinlikle) çünkü ve seriler kesinlikle yakınsaktır.
çünkü(πdeğil)=1-π22değil2+Ö(1değil2){\ displaystyle \ cos \ sol ({\ frac {\ pi} {n}} \ sağ) = 1 - {\ frac {\ pi ^ {2}} {2n ^ {2}}} + o \ sol ({ \ frac {1} {n ^ {2}}} \ sağ)}Σ(1/değil2){\ displaystyle \ Sigma (1 / n ^ {2})}
Ondalık sayı o biçim sonra A085365 arasında OEIS .
R≈0.1149420448...{\ displaystyle R \ yaklaşık 0 {,} 1149420448 \ dots}
İnşaatın kökeni
Bu yapı bir fikir gelir Kepler tek seferde ilk çevrelerle bir yaklaşım düşündüm yörüngelerini etrafında Güneş arasında Jüpiter , Satürn (çevrelerin ve ait) Mars ve Dünya'nın (daireler ve ). Bu model, veri uygun hale getirmek için astronomik , bu geçecek düzlem geometride için boşlukta geometri değiştirirken, normal çokgenler arasında düzenli polyhedra beş kullanılarak, küreler halinde yazılı Pluronic katı devrine bilinen altı gezegen (katı madde için en iyi yaklaşımı olan kürenin ilahi mükemmelliği).VS1{\ displaystyle C_ {1}}VS2{\ displaystyle C_ {2}}VS3{\ displaystyle C_ {3}}VS4{\ displaystyle C_ {4}}
Bouwkamp'ın hesaplamaları
1965 yılında Indagationes Mathematicae (en) dergisinde yayınlanan bir makalede Bouwkamp , Kepler-Bouwkamp sabitinin tersinin yaklaşık bir değerini verir . Bu değer, bu makalede açıklanan işlemin tersine karşılık gelir: Eşkenar üçgene yazdığımız , kendisi de bir kareye yazdığımız bir daire içine yazılmış bir birim çemberle başlıyoruz . ve bir sınır bu şekilde elde edilen çemberlerin yarıçap.
P=∏değil=3∞1çünkü(πdeğil){\ displaystyle P = \ prod _ {n = 3} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ cos ({\ frac {\ pi} {n}})}}}P{\ displaystyle P}
İlk olarak matematikçiler Edward Kasner ve James Roy Newman'ın (in) , 1940'ta yayınlanan Mathematics and the Imagination (in) adlı kitaplarında yaklaşık olarak 12'ye eşit, yaklaşık hatalı bir değer verdiklerinden bahsediyor .
P{\ displaystyle P}
Daha sonra kullanılan iki hesaplama yöntemini verir.
İlki Bouwkamp tarafından gerekçelendirilen ilişkiyi kullanır:
ln(2Pπ)=∑k=1∞k-1ζ(2k)22k(λ(2k)-1){\ displaystyle \ ln ({\ frac {2P} {\ pi}}) = \ toplamı _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {- 1} \ zeta (2k) 2 ^ {2k} (\ lambda (2k) -1)}
burada bir Riemann zeta fonksiyonu ve . Zeta değerleri tablolarını kullanarak elde eder . İkinci yöntem, genel terimler dizisinin yakınsama yavaşlığının üstesinden gelmeyi amaçlamaktadır . Bouwkamp bunun için neredeζ(s)=∑değil=1∞değil-s{\ displaystyle \ zeta (s) = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {- s}}λ(s)=∑değil=1∞(2değil+1)-s=(1-2-s)ζ(s){\ displaystyle \ lambda (s) = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} (2n + 1) ^ {- s} = (1-2 ^ {- s}) \ zeta (s)}P≈8,7000366252081945{\ displaystyle P \ yaklaşık 8,7000366252081945}∏değil=3DEĞİL1çünkü(πdeğil){\ displaystyle \ prod _ {n = 3} ^ {N} {\ frac {1} {\ cos ({\ frac {\ pi} {n}})}}}P=RQ{\ displaystyle P = RQ}
R=∏değil=3∞1g(değil) ve Q=∏değil=3∞g(değil)çünkü(πdeğil){\ displaystyle R = \ prod _ {n = 3} ^ {\ infty} {\ frac {1} {g (n)}} {\ text {et}} Q = \ prod _ {n = 3} ^ { \ infty} {\ frac {g (n)} {\ cos ({\ frac {\ pi} {n}})}}}
seçerek böylece açıkça hesaplanabilir ve sonsuz ürün olmasıdır yakınsak hızla. Alma yoluyla (elde asimptotik gelişim içinde o alır) bir bilgisayar kullanarak.
g(değil){\ displaystyle g (n)}R{\ displaystyle R}Q{\ displaystyle Q}g(değil)=1-π22değil2+π424değil4-π6720değil6{\ displaystyle g (n) = 1 - {\ frac {\ pi ^ {2}} {2n ^ {2}}} + {\ frac {\ pi ^ {4}} {24n ^ {4}}} - {\ frac {\ pi ^ {6}} {720n ^ {6}}}}çünkü(πdeğil){\ displaystyle \ çünkü ({\ frac {\ pi} {n}})}P≈8,7000366252081943{\ displaystyle P \ yaklaşık 8,7000366252081943}
Ondalık aşağıdaki formu A051762 ait OEIS .
P{\ displaystyle P}
Referanslar
-
(in) Tomislav Doslic , " Kombinatoryal Dizilerin Kepler-Bouwkamp yarıçapı " , tamsayı Dizilerin Dergisi , Cilt. 17,2014( çevrimiçi okuyun )
-
(inç) Steven R. Finch, Matematik Sabitleri , Cambridge University Press ,2003, 602 s. ( çevrimiçi okuyun ) , böl. 6 ("Fonksiyonel Yinelemeyle İlişkili Sabitler") , s. 428.
-
Jean Kepler (tercüme ve Alain Segonds notları), Le secret du monde , Gallimard, coll. "Tel", 1993 ( ISBN 2-07-073449-8 ) , bölüm II ( s. 70 ).
Dış bağlantılar
-
(en) Christoffel Bouwkamp, " Sonsuz Bir Ürün " , Indagationes Mathematicae , Elsevier , cilt. 68,1965( DOI 10.1016 / S1385-7258 (65) 50004-4 ).
-
(tr) E. Stephens, " Yavaşça Yakınsak Sonsuz Ürünler " , The Mathematical Gazette , Mathematical Association, cilt. 79, n o 486,Kasım 1995, s. 561-565 ( DOI 10.2307 / 3618092 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">