Gelen malzeme bilimi ve özellikle sürekli ortamlar mekaniği ve malzeme direnci , asal gerilmeler (σ I σ, II σ, III ), bir ifade gerilimler esas bu şekilde gerilme tensörü a, köşegen matris . Bu taban ortonormaldir (bkz. Simetrik matris, § Spektral ayrışma ).
Maddenin bir elementinin gerilim durumu bir tensör, gerilim tensörü ile temsil edilebilir. Belirli bir uzay tabanında , bu tensör 3 × 3 matrisle temsil edilir :
.Stres tensörü dengede bir durumu tanımlıyorsa, matris simetriktir ; dahası gerçek katsayılarla .
Göre sonlu boyutlu spektral teoremi bu matrisi köşegenleştirilebilir ; bu matrisin köşegen bir matris olduğu birimdik bir temel vardır :
.Yön denir ana yön .
Geleneksel olarak, σ I ≥ σ II ≥ σ III alırız .
Σ I gerilmesi , maksimum çekme gerilimine karşılık gelir. Σ III <0 ise, o zaman σ III maksimum basınç gerilimine karşılık gelir. Tresca kriteri için tutulan maksimum kayma gerilmesi, şuna karşılık gelir:
.Azalan sınırlamalar emri koymazsak, o zaman
.Mevcut hatları asal gerilmelerin, herhangi bir noktada temel gerilme vektörleri teğet olan eğriler, adlandırılır demek ki izostatik hatları . İç kuvvetlerin malzemede nasıl dağıldığını görselleştirmeyi mümkün kılarlar.
Sonuç - Maksimum ana gerilim, maksimum çekme gerilimine karşılık gelir.
Minimum ana gerilim negatifse, maksimum sıkıştırma gerilimine karşılık gelir.
Maksimum kayma gerilimi şunlara değerdir:
.Bu, kopma risklerini incelemek istediğimizde önemlidir. Gerçekte, von Mises gerilimi veya Tresca gerilimi gibi eşdeğer bir skaler gerilimin kullanılması, bir alanın gerilime, sıkıştırmaya ve / veya kesmeye maruz kalıp kalmadığını göstermez. Bununla birlikte, sıkıştırma tipi stres, çatlakları kapatma eğiliminde olduğu için daha az tehlikelidir .
Ana yönler ve gerilimler belirlenebilir:
Özdeğerler λ denklemi doğrular
det (T - λI) = 0burada T, gerilim tensörü ve I kimlik matrisidir. Bu denklemi stres tensörünün değişmezleriyle yeniden yazabiliriz :
λ 3 - I 1 λ 2 + I 2 λ - I 3 = 0.Σ I > σ II > σ III uygularız .
Bir polinomun kökü tanımına göre , elimizde
(λ - σ I ) (λ - σ II ) (λ - σ III ) = 0Yüzleri ana yönlere dik olan bir küp düşünün. Σ I , σ II ve σ III gerilmeleri bu küpün yüzlerine dik olan gerilmelerdir; teğet gerilmeler sıfırdır.
Şimdi, köşeleri küpün yüzlerinin merkezleri olan oktahedronu düşünün . Her yüz için aşağıdakilere sahibiz:
Bu kısıtlamalara oktahedral kısıtlamalar denir .
Sekizgenin sekiz yüzündeki normal ve teğetsel gerilmeler aynıdır ve değerlerdir:
; .Kıyasla geldiğini hatırlatırız izostatik basınç P ve dengi von Mises gerilme σ e elimizde:
; ."Oktahedral normal gerilim" terimi bazen "izostatik basınç" ile eşanlamlı olarak kullanılır.
Oktahedral normal gerilme σ oct , oktahedronun hacmini çarpmadan (açıları değiştirmeden) değiştirme eğilimindedir. Tersine, oktahedral kesilme, hacmini değiştirmeden oktahedronu bozma eğilimindedir; bu nedenle mantıksal olarak von Mises kısıtlamasıyla bir ilişki buluruz.
Tek eksenli gerilim durumunda, ana gerilmelerden ikisi sıfırdır. Konvansiyona göre seçiyoruz σ I ≠ 0; x I gerilim eksenidir, bizde | σ I | = F / S (nominal gerilim), σ II = σ III = 0. Ana gerilmelerin tensörü bu şekilde yazılır
Tek eksenli sıkıştırma durumunda, σ I <0 olur, bu nedenle ilk konvansiyonun aksine σ I <σ II ve σ I <σ III olur. Her durumda elimizde τ max = ½ | σ I | var.
Düzlem gerilmeleri durumunda, temel gerilmelerden biri sıfırdır. Biz keyfi olarak σ III = 0'ı seçiyoruz ; o zaman önceki konvansiyonun aksine σ II <0 dolayısıyla σ II <σ III olabilir . Her durumda, τ max = ½ | σ I - σ II | elde ederiz .
Asıl gerilmelerin tensörü bu şekilde yazılır
İzostatik basınç P durumunda, σ I = σ II = σ III = P olur. Asal gerilmelerin tensörü yazılır.
ve τ max = 0.
Bu veri tabanında kanunlar daha basit bir şekilde ifade edilmektedir. Özellikle, temel gerilimler , örneğin maksimum kisyonu (Tresca kriteri ) dikkate alarak, plastiklik veya yıkım kriterini oluşturmayı mümkün kılar . Ana yönlerin bilgisi,