Mohr Çemberi

Mohr daire durumlarının grafiksel gösterimidir stres tarafından önerilen iki boyutlu, Christian Otto Mohr içinde 1882 .

Yatay eksenin normal gerilimin genliğini ve dikey eksenin kayma geriliminin genliğini temsil ettiği bir grafikte Mohr dairesi, kesme düzlemi P noktası etrafında döndüğünde P noktasındaki gerilim durumlarının yeridir. Yatay eksenle kesişimleri P noktasındaki iki ana sınırlamaya karşılık gelen, yatay eksende ortalanmış bir dairedir .

Bu daire, parçanın maruz kaldığı dış kuvvetlerin bilgisinden inşa edilmiştir. Şunları belirlemeye izin verir:

ana yönler ve asal gerilmeler σ I , σ II ve σ III ; $({\ vec {x}} _ {{\ mathrm {I}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm {II}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm { III}}})$
Elimizdeki olan yönde en fazla cission nedenle yetmezliği (yönlendirme olası yönü t alınmak, arıza fasiesinin ) yanı sıra, bu gerilim değeri.

Sorunlu

Stres durumunun grafik temsili

Mohr dairesi, gerilim durumunun grafiksel bir temsilidir. Tresca kriterine (maksimum kesilme) göre , nihai limit durumunda doğrulamanın grafiksel çözümlemesine izin verir . Bu nedenle, hızlı bir yöntemdir ve gerilmelerin tensörünün tedavisine kıyasla daha az hesaplama yöntemi gerektirir , ancak düzen ile sınırlı bir hassasiyete sahiptir.

Mohr dairesinin belirli bir noktadaki gerilim durumunu temsil ettiğine dikkat edin.

Maksimum kesilme arayın

Sünek bir malzemenin kırılması - bu, çoğu metalin orta gerilme hızları için oda sıcaklığında olduğu durumdur - her zaman kesmede meydana gelir : atomları "yırtmak" için gereken kuvvet, atomları üstüne kaydırmak için gerekli olandan çok daha büyüktür. birbirlerine ( bkz.Plastik deformasyon ). Bir parça üzerindeki belirli bir gerilim için, bu nedenle, cission τ (tau) ' nun maksimum olduğunu bilmek gereklidir .

Silindirik bir numune üzerinde basit çekiş veya tek eksenli çekiş durumunu ele alalım. Bu test sırasında, kırılma fasiyesinin , numunenin eksenine göre 45 ° açıyla yönlendirildiğinde başlayacağı bilinmektedir. Test parçasının bir kesitini ele alırsak, S 0 alanına sahiptir ; Birinin uyguladığı F kuvveti bu bölüm için normaldir, dolayısıyla bir normal gerilme σ 0'a sahiptir ve bu değer:

\ sigma _ {0} = {\ frac {{\ mathrm {F}}} {{\ mathrm {S}} _ {0}}}

ve sıfır kesme.

İlk bölüme belirli bir açıyla eğimli bir bölüm düşünün ; bir alanı var . Normaldeki kuvvet bu bölüme yansıtılırsa, normal bir modül kuvveti elde edilir . Normal gerilim σ 1 bu durumda değerdir: $\ theta$ ${\ displaystyle S_ {1} = {\ frac {S_ {0}} {\ cos (\ theta)}}}$ ${\ vec {\ mathrm {F}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ vec {{\ mathrm {N}}}} _ {1}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {F}} \ cos (\ theta)}$

{\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ frac {\ mathrm {N} _ {1}} {\ mathrm {S} _ {1}}} = \ cos (\ theta) ^ {2} \ sigma _ {0} = {\ frac {1+ \ cos (2 \ theta)} {2}} \ sigma _ {0}}

Kesit üzerinde projeksiyon varsa , modül kuvveti elde edilir . Τ 1 ksiyonu şu değerdedir : ${\ vec {\ mathrm {F}}}$ ${\ vec {{\ mathrm {T}}}} _ {1}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {F}} \ sin (\ theta)}$

{\ displaystyle \ tau _ {1} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {1}} {\ mathrm {S} _ {1}}} = \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ sigma _ {0} = {\ frac {\ sin (2 \ theta)} {2}} \ sigma _ {0}}

Kesit ne kadar eğimli olursa, T o kadar büyük, ancak S o kadar büyük. Τ = T / S oranı, 45 ° 'de bulunan bir bölüm için bir maksimum temsil eder , bu da başarısızlık yüzünü açıklar.

Şimdi değişken olduğunda parametreleştirilmiş eğriyi (σ, τ) çizersek, orijinden, Mohr dairesinden geçen bir çap çemberi elde ettiğimizi görürüz . $\ theta$ $\ sigma _ {0}$

Tek eksenli testlerdeki (çekiş veya kompresyon) kırılma fasiyesi, 45 ° 'de bu maksimum kisyon yönünü vurgulamaktadır.

45 ° kırılma düzlemli 8 mm çaplı bir alüminyum numunenin çekme göçmesi
45 ° 'de kırılma düzlemi ile 10 mm × 3 mm dikdörtgen kesitli bir çelik numunenin çekme göçmesi
Somut bir numunenin sıkıştırma başarısızlığı; taneler arası sürtünme nedeniyle kırılma düzlemi 45 ° 'de değil

Düzlem kısıtlamaları için çemberi çizme

Genel dava

Düzlem gerilme durumuna sahip bir katının P noktasını düşünün. Bu tipik olarak bir parçanın yüzeyinde herhangi bir dış kuvvetin uygulanmadığı bir noktadır: hidrostatik basınç yok, başka bir parça ile temas yok (serbest yüzey).

Burada birinin ( x , y ) düzleminde düzlem gerilimleri durumunda olduğunu varsayıyoruz . Gerilmelerin tensör simetriktir olup aşağıdaki

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {{x}} & \ tau _ {{xy}} & 0 \\ & \ sigma _ {{y} } & 0 \\ && 0 \ end {pmatrix}}

ile:

σ x : x eksenine dik olan yüzdeki normal gerilim ;
σ y : y eksenine dik olan yüzdeki normal gerilim ;
τ xy : z eksenine dik olan yüzdeki kayma gerilmesi.

( X , y ) düzlemindeki bir birim vektörü düşünün . P'de bu vektöre dik bir yüze uygulanan gerilim . Bir eşdoğrusal bileşeni ve bir ortogonal bileşeni kabul eder . Çiftlerin seti zaman (içinde döner x , y ) düzlemi Mohr daire aranan olan bir daireyi tarif etmektedir. Bu daire, [AB] segmentinin çapını kabul eder, burada: ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {n})}$ ${\ vec {n}}$

A noktası, x'e normal olan yüzdeki gerilmeleri tanımlar . Koordinatları (σ x , τ xy );
B noktası, y'ye normal yüzdeki gerilmeleri açıklar . Koordinatları (σ y , -τ xy ).

kolayca inşa etmeye izin verir. Bu çemberin özellikleri aşağıdaki gibidir:

Bu nedenle çemberin orta noktası [AB], abscissa C z = (σ x + σ y ) / 2'dir. A ve B yatay eksende değilse, merkez [AB] ile σ n ekseninin kesişme noktasındadır .
Çemberin yarıçapı şuna eşittir : ve bu yarıçap maksimum kesmeye eşittir τ max . ${\ mathrm {R}} _ {z} = {\ frac {{\ mathrm {AB}}} {2}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2}} \ sağ) ^ {2} + \ tau _ {{xy}} ^ {2}}}$
Dairenin eksenle kesişme noktalarının apsisleri geçerlidir ve temel gerilimlere eşittir ve . ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} \ pm R_ {z}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {I}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {II}}}$
( X , y ) düzleminde x ekseni ile θ açısı yapan bir vektörle ilgili kısıtları bilmek istiyorsak , daire üzerindeki A noktasının -2θ açısında bulunan C noktasının koordinatlarını almalıyız. (yani açı -2θ'dir). ${\ vec {n}}$ $(\ overrightarrow {{\ mathrm {OA}}}, \ overrightarrow {{\ mathrm {OC}}})$
Yatayın A noktasıyla yaptığı açıya -2θ p dersek (yani ), birinci ana yön, x ekseni ile θ p açısını oluşturan vektör tarafından verilir , ikinci ana yön ona diktir. Σ n ekseni bu ana yönlere karşılık gelir ve τ n ekseni maksimum kesilme yönlerini temsil eder; x ve y geometrik eksenleri çap [AB] ile temsil edilir. $(\ overrightarrow {{\ mathrm {OA}}}, \ sigma _ {{\ mathrm {n}}}) = - 2 \ theta _ {{\ mathrm {p}}}$ ${\ vec {n}}$

Gösteri

Izin vermek , vektörün ( x , y ) düzlemindeki bileşenleri olsun . Bu aynı düzlemdeki bileşenleri . ${\ displaystyle {\ başlar {pmatrix} \ cos (\ theta) \\\ günah (\ theta) \ end {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (\ theta) \ sigma _ {x} + \ sin (\ theta) \ tau _ {xy} \\\ cos (\ theta) \ tau _ {xy} + \ sin (\ theta) \ sigma _ {y} \ end {pmatrix}}}$

Bu vektörün vektöre göre bileşeni , skaler ürününe şu şekilde eşittir : ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ vec {n}} \ cdot {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}} = \ cos (\ theta) ^ {2 } \ sigma _ {x} +2 \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ tau _ {xy} + \ sin (\ theta) ^ {2} \ sigma _ {y} = {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} + \ cos (2 \ theta) {\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2}} + \ sin (2 \ theta) \ tau _ {xy}}

Bu bileşen, ortogonal bir nokta çarpımına eşittir bileşenlerinin vektör doğrudan dik olan, verir: ${\ displaystyle \ tau _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ başlar {pmatrix} - \ sin (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ end {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle \ tau _ {n} = \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x}) - \ sin (\ theta) ^ {2} \ tau _ {xy} + \ cos (\ theta) ^ {2} \ tau _ {xy} = \ sin (2 \ theta) {\ frac {\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x}} {2} } + \ cos (2 \ theta) \ tau _ {xy}}

İçin A noktası ve için B noktası alıyoruz . ${\ displaystyle \ theta = 0 \; {\ rm {mod}} \; \ pi}$ ${\ displaystyle \ theta = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}$

Izin verin ve böyle bir açı olun ve . Sonra elde ederiz: ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {z} = {\ sqrt {\ sol ({\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2}} \ sağ) ^ {2} + \ tau _ {xy} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ rm {P}}}$ ${\ displaystyle \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}}) = {\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2 \ mathrm {R} _ {z}}} }$ ${\ displaystyle \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}}) = {\ frac {\ tau _ {xy}} {\ mathrm {R} _ {z}}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} + \ mathrm {R} _ {z} (\ cos (2 \ theta) \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}}) + \ sin (2 \ theta) \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}})) = {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} + \ mathrm {R} _ {z} \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}} - 2 \ theta)}

{\ displaystyle \ tau _ {n} = \ mathrm {R} _ {z} (- \ sin (2 \ theta) \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}}) + \ cos (2 \ theta ) \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}})) = \ mathrm {R} _ {z} \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}} - 2 \ theta)}

Bu nedenle, değiştiğinde, koordinat noktalarının, koordinatların merkezi O ve yarıçapı olan daireyi tanımladığı görülebilir . [AB] çaplardan biridir ve açıdır . $\ theta$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {n})}$ ${\ displaystyle ({\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}}, 0)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {z}}$ ${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ rm {P}}}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {n}, {\ overrightarrow {\ mathrm {OA}}})}$

Başlıca kısıtlamaları vardır özdeğerler arasında ve kökleri olan karakteristik polinom . Bu iki kök iyidir . Onları için Mohr dairesine alıyoruz . ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}}}$ ${\ displaystyle (X- \ sigma _ {x}) (X- \ sigma _ {y}) - \ tau _ {xy} ^ {2} = X ^ {2} - (\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}) X + \ sigma _ {x} \ sigma _ {y} - \ tau _ {xy} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} \ pm \ mathrm {R} _ {z}}$ ${\ displaystyle \ theta = \ theta _ {\ rm {P}} \; {\ rm {mod}} \; {\ frac {\ pi} {2}}}$

Çift eksenli stres

Koordinat sisteminin x ve y eksenleri , P noktasındaki gerilim tensörünün ana yönleri olacak şekilde seçilirse , genel durum basitleştirilir . Bu durumda, sıfırdır ve gerilme durumunun çift eksenli olduğu söylenir. Tipik olarak, basınçlı bir tankın açık havasındaki bir nokta veya tabakanın düzlemine dik iki çift kuvvete maruz kalan bir levha üzerindeki bir nokta olabilir. ${\ displaystyle \ tau _ {xy}}$

Bir önceki paragrafın sonuçları aşağıdaki gibi basitleştirilmiştir:

Daire çap için koordinat noktalarının (σ x , 0) ve (σ y , 0) olduğunu kabul eder.
dairenin merkezinde apsis (σ x + σ y ) / 2;
Mohr dairesinin maksimum kesmeye eşit yarıçapı (σ x - σ y ) / 2'dir (σ x'in σ y'den büyük olduğu varsayılır ). Σ x veya σ y'nin negatif olabileceğini unutmayın .

Durumda σ de daire bu Not X = - σ y merkezi orijinde ve olması durumunda elde daire özdeş olan saf kesme nominal cission ile σ için eşit x . Dolayısıyla mekanik durum aynıdır ve bu nedenle malzeme izotropik ise, malzemenin durumu aynıdır, yalnızca yönelim değişir.

Tek eksenli stres

Eğer ve ise , tek eksenli bir stres durumu elde ederiz. Bunlar tipik olarak: ${\ displaystyle \ tau _ {xy} = 0}$ $\ sigma _ {y} = 0$

eksende gerilme veya sıkışmaya uğrayan doğrusal bir parçanın ( kiriş ) herhangi bir noktasından ( eşit ve zıt eşdoğrusal kuvvetlerin çifti): bağlantı çubuğu, bağlantı çubuğu, bir kafes kirişi , bir çekme veya sıkıştırma numunesi ; x'e kuvvet ekseni diyoruz ;
saf bükmede düz bir parçanın herhangi bir noktasından ( 4 noktalı bükmenin orta kısmı ); x parçanın eksenini diyoruz ;
tek bükmede (3 noktalı bükme) bir kirişin üst veya alt yüzeyinin herhangi bir noktasından.

Bu, Maksimum kesmenin aranması paragrafında ele alınan örnekteki durumdur . Önceki paragrafta verilen sonuçları şu şekilde buluyoruz : $\ sigma _ {y} = 0$

Mohr dairesi çap için (0,0) ve (σ x , 0) koordinatlarının noktalarını kabul eder .
Bu nedenle, τ n eksenine teğettir . Çekiş durumunda σ n pozitif tarafındadır ve sıkıştırmada σ n negatif tarafındadır.
Merkezi, apsis C z = σ x / 2 noktasındadır .
Maksimum kaymaya eşit yarıçapı, τ max = R z = σ x / 2 değerindedir (veya σ x negatifse mutlak değeri ).

Saf kesme

Saf kesme, gerilim tensörü σ x = σ y = 0 ve τ xy sıfır olmayacak şekilde olduğunda oluşur. Burulma halindeki bir tüp veya kesilmiş bir parçanın durumudur, ancak yalnızca nötr lifli düzlemde (basit kesmeye hafif bir bükülme eşlik eder).

Mohr'un dairesi daha sonra şunları doğrular:

Merkezi başlangıç noktasıdır, C z = 0.
, Yarıçapa eşit maksimum kesme kuvveti, ayrıca, nominal cission τ olan xy τ: maks = R z = τ xy .
Ana yönler ( x , y ) referansının açıortaylarıdır ( gerçek uzayda 45 ° 'de düz çizgi), σ I = -σ II = τ xy .

Üç eksenli yükler için dairenin çizilmesi

Basitleştirilmiş durum

P noktasındaki gerilim durumunun, gerilim tensörü köşegen olduğunda, sıfır olmayan diyagonal terimlerle üç eksenli olduğu söylenir. Tipik olarak, hidrostatik veya litozatik basınca ve çekme veya sıkıştırmaya maruz kalan bir katı üzerindeki bir noktadır . Üç eksenli test, zemin üzerinde yapılan bir testtir ( jeoteknik ).

Streslerin tensörü formdadır

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {x} & 0 & 0 \\ & \ sigma _ {y} & 0 \\ && \ sigma _ {z } \ end {pmatrix}}

ve σ x ≥ σ y ≥ σ z olduğunu varsayıyoruz . Normal bir yüzey düşünülürse , vektör kısıtlamaları değerlidir ${\ vec {n}} (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z})$

{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {\ vec {n}} = {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \; {\ vec {n}} = {\ begin {pmatrix } \ sigma _ {x} n_ {x} \\\ sigma _ {y} n_ {y} \\\ sigma _ {z} n_ {z} \ end {pmatrix}}}

bileşenler olarak sahip olmak:

normal gerilme bileşenidir vektör göre : ; $\ sigma$ ${\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {\ vec {n}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {\ vec {n}} = {\ vec {n}} \ cdot {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \; {\ vec {n}} = \ sigma _ {x} n_ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ { z} n_ {z} ^ {2}}$
teğetsel bileşen Pisagor teoremi ile elde edilir : ya . $\ tau$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {\ mathrm {T}}} ({\ vec {n}}) \ | ^ {2} = \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}$ $\ sigma _ {x} ^ {2} n_ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ {z} ^ {2} n_ { z} ^ {2} = \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}$

Vektörün bir birim vektör olduğu gerçeğini eklersek, üç bilinmeyenin n x 2 , n y 2 ve n z 2 olduğunu düşüneceğimiz üç denklemli bir sistemimiz var : ${\ vec {n}}$

\ left \ {{\ begin {align} n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ & 1 \\\ sigma _ {x} n_ { x} ^ {2} + \ sigma _ {y} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ {z} n_ {z} ^ {2} = \ & \ sigma \\\ sigma _ {x} ^ {2} n_ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ {z} ^ {2} n_ {z} ^ {2} = \ & \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \\\ uç {hizalı}} \ sağ.

determinantının değeri ( Vandermonde matrisi ):

{\ begin {vmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ sigma _ {x} & \ sigma _ {y} & \ sigma _ {z} \\\ sigma _ {x} ^ {2} & \ sigma _ { y} ^ {2} & \ sigma _ {z} ^ {2} \\\ end {vmatrix}} = (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {z}) (\ sigma _ {z} - \ sigma _ {x})

Bu sistemin çözünürlüğü ( Cramer kuralı ) şunları verir:

{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {hizalı} n_ {x} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma - \ sigma _ {y}) (\ sigma - \ sigma _ {z})} {(\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {z})}} \\ n_ {y} ^ {2 } = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma - \ sigma _ {z}) (\ sigma - \ sigma _ {x})} {(\ sigma _ {y} - \ sigma _ {z}) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x})}} \\ n_ {z} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma - \ sigma _ {x}) (\ sigma - \ sigma _ {y})} {(\ sigma _ {z} - \ sigma _ {x}) (\ sigma _ {z} - \ sigma _ {y})} } \\\ uç {hizalı}} \ sağ.}

Hadi poz verelim:

C x = (σ y + σ z ) / 2, R x = (σ y - σ z ) / 2;
C y = (σ x + σ z ) / 2, R y = (σ x - σ z ) / 2;
C z = (σ x + σ y ) / 2, R z = (σ x - σ y ) / 2.

Sistem daha sonra şuna eşdeğerdir:

{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {hizalı} n_ {x} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma -C_ {x}) ^ {2} -R_ {x} ^ {2}} {(\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {z})}} \\ n_ {y} ^ {2 } = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma -C_ {y}) ^ {2} -R_ {y} ^ {2}} {(\ sigma _ {y} - \ sigma _ {z}) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x})}} \\ n_ {z} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma -C_ {z}) ^ {2} -R_ {z} ^ {2}} {(\ sigma _ {z} - \ sigma _ {x}) (\ sigma _ {z} - \ sigma _ {y})} } \\\ uç {hizalı}} \ sağ.}

Paydaların işaretlerini (ikinci denkleminki negatif, diğer ikisi pozitif) ve denklemlerin üyelerinin pozitif veya sıfır kare olduğu gerçeğini hesaba katarak, üç eşitsizliği çıkarıyoruz:

\ left \ {{\ begin {align} \ tau ^ {2} + (\ sigma - {\ mathrm {C}} _ ​​{x}) ^ {2} \ geqslant \ & {\ mathrm {R}} _ {x} ^ {2} \\\ tau ^ {2} + (\ sigma - {\ mathrm {C}} _ ​​{y}) ^ {2} \ leqslant \ & {\ mathrm {R}} _ {y} ^ {2} \\\ tau ^ {2} + (\ sigma - {\ mathrm {C}} _ ​​{z}) ^ {2} \ geqslant \ & {\ mathrm {R}} _ {z} ^ {2} \\\ uç {hizalı}} \ sağa.

Düzlemine (o, τ) 'de, denklemlerin çözümleri temsil t alınmak 2 + (σ - Cı- ı ) 2 = R' ı 2 merkez C çevreler, i ve yarıçapı R ı . Bu nedenle, tüm olası yönelimler için değerler kümesi (σ, τ) , üç daire ile sınırlanmış bir yüzeydir. ${\ vec {n}}$

Bu figüre "Mohr'un üç çemberi" deniyor, çünkü hem üç Mohr çemberi olduğu için, hem de adaşı Georg Mohr tarafından diğerleri arasında incelenen bir biçim olan arbelos'a benziyor .

Dairelerin her biri, (σ y , σ z ), (σ x , σ z ) ve (σ x , σ y ) , iki eksenli kısıtlar bağlamına yerleştirilseydik sahip olacağımız dairedir . Σ bilerek tricircle çizmek için x , σ y ve σ z , bu nedenle önceki durumlarda bakın.

Tüm dairelerin ikiye ikişer teğet olduğunu ve en büyük çemberin R y yarıçaplı çember olduğunu , dolayısıyla ( x , z ) düzlemine karşılık geldiğini fark ederiz . Bu nedenle maksimum kesilme

τ max = R y = (σ x - σ z ) / 2.

Genelleme

Üç eksenli gerilim durumu aslında genel durumdur: hiçbir bileşeni sıfır olmayan bir gerilim tensörü varsa

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {x} & \ tau _ {{xy}} & \ tau _ {{xz}} \\ & \ sigma _ {y} & \ tau _ {{yz}} \\ && \ sigma _ {z} \ end {pmatrix}}

tensörün formda olduğu bir ortonormal koordinat sistemi, ana koordinat sistemi olduğunu biliyoruz.

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {{{\ mathrm {I}}}} & 0 & 0 \\ & \ sigma _ {{{\ mathrm {II}}}} & 0 \\ && \ sigma _ {{{\ mathrm {III}}}} \ end {pmatrix}}

bu da bizi önceki duruma geri getiriyor.

Üç eksenli gerilim durumu, karmaşık bir yüklemeden kaynaklanabileceği gibi, oldukça basit bir şekilde parçanın şeklinden de gelebilir. Örneğin, bir Charpy testi için kullanılan çentikli bir numune , yalnızca bükülmeye maruz kaldığında çentik tabanında üç eksenli bir gerilim durumu sergiler.

Dejenere durum

Σ II = σ III durumu düşünün . Sahibiz :

C I = σ II , R I = 0;
C II = C III = (σ I + σ II ) / 2;
R II = R III = (σ I - σ II ) / 2.

Daire I'in bir noktaya indirgendiğini ve II ve III çemberlerinin karıştırıldığını görüyoruz. Bu nedenle, çift eksenli durumla aynı olan tek bir dairemiz var.

Üç temel sınırlama eşitse, bu daire bir noktaya indirgenir.

Diğer Mohr çevreleri

Benzer şekilde, şunları da çizebiliriz:

deformasyonların bir Mohr dairesi;
plaka teorisi bağlamında , bir Mohr moment çemberi.

Mohr deformasyon çemberi

Deformasyonların Mohr dairesini (ε ii , ε ij ) i ≠ j diyagramını çizerek veya sapmayı γ ij dik açıda kullanmayı tercih edersek (ε ii , ½γ ij ) i ≠ j diyagramını çizerek elde ederiz. .

Dairenin yatay ekseni ε, ana yönleri temsil eder. Dikey eksen, ½γ, maksimum kayma açısı yönlerini temsil eder.

Bu Mohr dairesi, bir gerinim ölçer rozeti ile verilen sonuçları analiz etmek için ekstansometride çok kullanışlıdır .

Mohr Moment Çemberi

İki eşit olarak dağıtılmış doğrusal momentten geçen dikdörtgen ince bir plaka düşünün: X eksenine paralel kenarı boyunca M x ve y eksenine paralel kenarı boyunca M y . Bu doğrusal momentler birim için newton (N · m / m) değerine sahiptir. Bunlar bükülme momentleridir ( bükülme yaratırlar ).

Bir düzlem boyunca z ekseni etrafında bir α açısı yapan bir kesim yaparsak, bu yüzün, yüzü eğen bir bükülme momentine ve onu eğen bir burulma momentine maruz kaldığını görürüz . Levhanın bu kısmının dengesini yazarak, kesme yüzüne uygulanan momentin , burulmayı (kesit düzlemde döner) ve teğet moment oluşturan bir vektör normal moment m nn olarak ayrıştırılabileceğini görüyoruz. eğilmeyi oluşturan m nt vektörü (plaka eğri). Kendimizi normal ve teğet streslere benzer bir durumda buluyoruz.

Böylece bir diyagram ( m nn , m nt ) çizebiliriz ve bir daire elde ederiz. Bu dairenin m n ekseni ile kesişimleri ana bölümleri, yani torkun sıfır olduğu bölümleri verir.