Peano eğrisi

Gelen matematik , Peano eğrisi arasında bulunan ilk örneğidir bir doldurma eğri bir demek ki, düzlem eğrisi parametreli bir tarafından sürekli bir fonksiyon ile ilgili birim aralıkta [0, 1] ve örten kare [0, 1] x [0 , 1]; başka bir deyişle, eğri karenin her noktasından geçer: "boşluğu doldurur".

Özellikle, Peano eğrisi bir fraktaldır : tek bir çizgiden oluşmasına rağmen, 2 boyutundadır .

Bu eğri, onu keşfeden Giuseppe Peano'nun onuruna adlandırılmıştır .

Tarihi

1890 tarihli bir makalede Giuseppe Peano , birim karenin yüzeyinin tüm noktalarından geçen kendisiyle kesişen bir eğriyi anlatır. Gerçek birim aralığından düzlemin birim karesine bir surjeksiyon inşa ederek , 1877'de karenin sürekliliğin gücüne , yani aynı kardinalin gücüne sahip olduğunu tespit eden Georg Cantor'un bir sonucunu göstermektedir . Aralık. Yenilik, Peano tarafından oluşturulan surjeksiyonun sürekliliğidir: parametreleştirilmiş bir eğri olarak yorumlanabilir .

Anahtar, hiçbir yerde ayırt edilemeyen bir eğri geliştirmektir. O zamana kadar karşılaşılan tüm eğriler parçalara göre farklılaştırılabilirdi (her aralıkta sürekli bir türevleri vardı). 1872'de Karl Weierstrass , her noktada sürekli olan ancak hiçbir noktada ayırt edilemeyen bir işlevi iyi tanımlamıştı . Ancak bu eğrilerin hiçbiri birim kareyi dolduramaz. Hem hiçbir yerde ayırt edilemeyen hem de düzlemi dolduran Peano eğrisi, bu nedenle güçlü bir şekilde mantıksızdı.

Peano, herhangi bir gerçek sayı için bir taban üç genişletmenin varlığını kullanır . {0,1,2} değerlerle dizilerinin setinde, dizinin arasında bir ilişki oluşturur ve çift dizilerinin aşağıdaki gibi: $T = (a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $(X, Y) = ((b_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}, (c_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N} ^ { *}}})$

$b_ {n} = a _ {{2n-1}} {\ text {veya}} 2-a _ {{2n-1}}$ sırayla da değerde terimlerin bir toplamıdır bağlı olarak : olup tek ya da çift (genel olarak, boş bir miktar , bu nedenle, bu nedenle daha sıfırdır ) $(yıl)$ $\ toplam _ {{1 \ leq k \ leq n-1}} a _ {{2k}}$ $\ toplam _ {{1 \ leq k \ leq 0}} a _ {{2k}}$ $b_ {1} = a_ {1}$
$c_ {n} = a _ {{2n}} {\ text {veya}} 2-a _ {{2n}}$ sırayla tek sıranın terimlerin bir toplamıdır bağlı olarak : tek veya çift olup. $(yıl)$ $\ toplam _ {{k = 1}} ^ {{n}} a _ {{2k-1}}$

Her devamla, devamı bir gelişme olan gerçekliği 3 üssünde ilişkilendirir.

{\ displaystyle t = 0, a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} \ cdots = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} a_ {k} 3 ^ {- k}, \ qquad x = 0, b_ {1} b_ {2} \ cdots b_ {n} \ cdots = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} b_ {k} 3 ^ {- k}, \ qquad y = 0, c_ {1} c_ {2} \ cdots c_ {n} \ cdots = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} c_ {k} 3 ^ {- k}.}

Bu o Şekil yazışmalar gerçek için, t , reals çift ilişkilendirir ( x , y ) olduğu iyi tanımlanmış (yani, eğer T vardır , iki açılımlar gibi bir baz 3'te $1 / 3$ = 0.1000… = 0.0222…, bu durumda karşılık gelen iki çift ( x , y ) özdeştir) ve [0.1] × [0.1] 'deki bu [0.1] haritasının sürekli, örtük olduğunu, ancak enjekte edici olmadığını (bir çift ( x , y ) 2 veya 4 t değerine karşılık gelir, eğer x veya y veya her ikisi de iki genişleme içeriyorsa).

Peano'nun makalesi bir örnek içermiyor. Bir gözlem kesikler dizilerin , ve sıralaması 2 de, koordinat noktalarının ardışık yapı (0,0), (0,1 / 3), (0,2 / 3), (1 yol açacak / 3,2 / 3), (1 / 3,1 / 3), (1 / 3,0), (2 / 3,0), (2 / 3,1 / 3), (2 / 3,2 / 3) düz parçalarla birleştirilen, yandaki şeklin 1. adımına benzer bir eğri verir. 4. aşamada kesilen diziler için, koordinat noktasından (0,0) başlayıp koordinat noktasında (8 / 9,8 / 9) biten, karşıt yineleme 2'ye benzer bir eğri çizeriz. $t$ $x$ $y$

Dolgu eğrilerinin (düzlem veya uzay) pek çok başka örneği bu model üzerine inşa edildi, örneğin Hilbert eğrisi ; bazılarının Lebesgue eğrisi gibi Peano'nunkinden daha da iyi özellikleri vardır ki bu da hemen hemen her yerde türetilebilir.

Özellikleri

Kesişmeyen eğriler olarak sunulan bu yaklaşımların aksine, Peano eğrisi kendiliğinden kesişir ve bu nedenle enjekte edici olmayan bir işleve karşılık gelir (örneğin ). Bir sürekli bijection a segmenti bir kare halinde de mümkün değildir, aslında böyle bir haritası olur homeomorfizma ancak kare bir noktanın tamamlayıcı her bir bağlı olan karşılıklı görüntü genelde iki parça ayrık oluşturulabilir olur ise,. ${\ displaystyle (x; y) ({\ frac {1} {9}}) = (x; y) ({\ frac {5} {9}}) = ({\ frac {1} {3}} ; {\ frac {1} {3}})}$
Peano eğrisi 1/2-Hölderian'dır . Bu "1/2" optimaldir, yani [0, 1] 2'deki [0, 1] Hölderian yüzeyinin Hölder sabiti her zaman 1 / 2'den küçük veya eşittir: cf. " A -Höldérien boyutu ve fonksiyonları ".

Referanslar

G. Peano , " Bütün bir düzlemsel alanı dolduran bir eğri üzerinde ", Math. Ann. , cilt. 36,1890, s. 157-160 ( çevrimiçi okuyun ).
Benoît Mandelbrot'a göre ("Cantor ve Peano canavarlarından doğanın fraktal geometrisine", Penser les mathematiques , Séminaire de Jean Dieudonné, Maurice Loi ve René Thom, 1982'de [ çevrimiçi okuyun ] , s. 238/4) özel, Peano'nun yaklaşımlarının kesişmesini yasaklar.
Daha genel olarak, bir kompakttan ayrı bir alana herhangi bir sürekli eşleştirme, bir homeomorfizmdir.

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Kaynakça

(tr) Hans Sagan, Space-Filling Curves , Berlin / New York, Springer-Verlag,1994, 193 s. ( ISBN 0-387-94265-3 )
(tr) Benoît Mandelbrot, Doğanın Fraktal Geometrisi , Freeman,1982, 468 s. ( ISBN 978-0-7167-1186-5 ) , "Peano Canavarı Eğrilerinden Yararlanma"

Dış bağlantılar

Mathcurve.com'da Peano eğrisi
(tr) Java uygulamaları üzerinde kesme-düğüm :