Yarıçap (geometri)

İn geometrisi , bir yarıçap a daire ya da küre , herhangi bir segment kendi bağlantı herhangi bir hat merkezi onun için çevresi . Ek olarak, bir daire ya da küre yarıçapıdır uzunluğu , bu bölümlerinin her birinin. Yarıçap, çapın yarısıdır . Bilim ve mühendislikte, eğrilik yarıçapı terimi genellikle yarıçap ile eşanlamlı olarak kullanılır.

Daha genel olarak - içinde geometrisi , mühendislik , grafik teorisi (bir örneğin, bir nesnenin bir yarıçap - ve diğer bağlamlarda bir dizi silindir , bir çokgen , bir grafik ya da mekanik parçası) mesafe merkezden veya simetri eksenine en en dış yüzey noktaları. Bu durumda, yarıçap, çapın yarısından farklı olabilir (nesnenin iki noktası arasındaki en büyük mesafe anlamında).

Ayrıca, aşağıdaki elips için göreceğimiz gibi birkaç spesifik tanıma da sahip olabilir.

Bir dairenin yarıçapı

Bir dairenin yarıçapı ile çevresi arasındaki ilişki . $R$ $L$ ${\ displaystyle R = {\ frac {L} {2 \ pi}}}$

Üç noktadan geçen bir çemberin yarıçapını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz (bakınız Yazılı açı teoremi , yarım daire içinde Yazılı açı ve karşısındaki şekil): $R$ $ABC$

${\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}}}$ , açının uzunluğu ve ölçüsü nerede . $-de$ $M.Ö$ $\alfa$ $\ widehat {BAC}$

Üç nokta kendi koordinatlarıyla verildiyse , ve , biz de şu formülü kullanabilirsiniz (bkz sinüs Kanunu ve bir üçgenin Alan ): $(x_1, y_1)$ $(x_2, y_2)$ $(x_3, y_3)$

${\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {\ sol (\ sol (x_ {2} -x_ {1} \ sağ) ^ {2} + \ sol (y_ {2} -y_ {1} \ sağ) ^ {2} \ sağ) \ left (\ left (x_ {2} -x_ {3} \ sağ) ^ {2} + \ left (y_ {2} -y_ {3} \ sağ) ^ {2} \ sağ) \ left (\ left (x_ {3} -x_ {1} \ sağ) ^ {2} + \ left (y_ {3} -y_ {1} \ sağ) ^ {2} \ sağ)}} { 2 \ left | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} \ sağ |}}}$ .

Elips ışınları

Bir elips için birkaç yarıçap kavramı tanımlanabilir , bu kavramlar yine daire durumunda klasik yarıçapınkini verir.

Elipsin yarı-büyük ekseni , elips veya ana daireyle çevrili dairenin yarıçapı olarak ve yarı küçük eksen, yazılı dairenin veya ikincil dairenin yarıçapı olarak yorumlanır. Bu iki ışının ortalama aritmetiği olan "ortalama yarıçap" olarak tanımlanabilir . $-de$ ${\ displaystyle R_ {1} = (a + b) / 2}$

Alan yarıçapı , alanı (alanı) elipsinkine eşit olan bir dairenin yarıçapıdır.

Elipsin iki yarım ekseninin çarpımının kareköküne eşittir:

{\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}}

e

elipsin eksantrikliği nerede

Bu nedenle, yarım eksenlerin geometrik ortalamasıdır .

Elipsin bir diğer dikkat çekici yarıçapı, elipsi sabit hızda geçen bir noktanın bu elipsin odağına olan ortalama mesafesidir . Tanımı gereği eşit olan bu yarıçap, yarı büyük eksenin değerine sadeleştirilmiştir . ${\ displaystyle R_ {3} = {{\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {(a (\ cos te) ^ {2} + b ^ {2} \ sin ^ {2} t}} \, {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}} \ over {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}}}}$ ${\ displaystyle R_ {3} = a}$

Elipsin merkezine sabit hızda ortalama mesafe : basit bir değer vermez. ${\ displaystyle R_ {4} = {{\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} t + b ^ {2} \ sin ^ {2 } t}} \, {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}} \ over { \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d } t}}}}$

Elipsin merkezinden ortalama uzaklık , eksantrik anomalinin hızı t sabiti: eşittir, elipsin uzunluğu nerede . Bu nedenle, elipsinkine eşit uzunluktaki bir dairenin yarıçapıdır . ${\ displaystyle R_ {5} = {1 \ over {2 \ pi}} {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} t + b ^ {2} \ sin ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle L \ {2 \ pi}}$ $L$
Bir de elips içinin iki nokta arasındaki mesafenin standart sapmasını düşünebiliriz : basitleştirilmiş hangi demek ki , kuadratik ortalama yarım eksenlerinin. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ iint (M_ {1} M_ {2}) ^ {2} dM_ {1} dM_ {2}} {\ iint dM_ {1} dM_ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ { 2 \ pi} ((ar_ {1} \ cos t_ {1} -br_ {2} \ cos t_ {2}) ^ {2} + (ar_ {1} \ cos t_ {1} -br_ {2} \ cos t_ {2}) ^ {2}) r_ {1} r_ {2} dr_ {1} dr_ {2} dt_ {1} dt_ {2}} {\ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r_ {1} r_ {2} dr_ {1} dr_ {2} dt_ {1 } dt_ {2}}}}}$ ${\ displaystyle R_ {6} = {\ sqrt {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {2}}}}$

Bir elipsoidin ışınları

Yarı eksen elipsoidi için birkaç yarıçap kavramı tanımlayabiliriz . ${\ displaystyle a \ geqslant b \ geqslant c}$

Ortalama yarıçap

" Ortalama yarıçap ", 3 yarım eksenin aritmetik ortalamasına eşittir:

{\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {a + b + c} {3}}}

Hacimsel yarıçap

Hacim çapı , bir yarıçapı olan hayali küre hacim olarak elipsoit edilene eşit olur.

Yarım eksenlerin geometrik ortalamasına eşittir:

{\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt [{3}] {abc}}}

Kulak ışını

Bu nedenle , otantik yarıçap , dikkate alınan elipsoidin alanına eşit olan hayali bir alan küresinin (yüzey) yarıçapıdır . $S$ ${\ displaystyle R_ {3} = {\ sqrt {S / 4 \ pi}}}$

Örneğin, uzatılmış bir dönme elipsoidi durumunda (bir elipsin ana ekseni etrafında dönmesi) ${\ displaystyle R_ {3} = {\ sqrt {{\ frac {b ^ {2}} {2}} + {\ frac {ab} {2}} {\ frac {\ arcsin e} {e}}} }}$

Bir çokgenin yarıçapı

Normal bir çokgenin yarıçapı, bu çokgenin merkezini köşelerinden birine bağlayan bir parçadır. Bu nedenle uzunluğu, bu çokgenle sınırlanan dairenin yarıçapıdır .

C ve n kenarları olan bir çokgenin yarıçapı bu nedenle eşittir

${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c ^ {2}} {2-2 \ cos (2 \ pi / n)}}} = {\ frac {c} {2 \ sin (\ pi / n)} }}$

veya yine, h , özlü sözün uzunluğuna bağlı olarak

${\ displaystyle {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}}$ .

Toprak ışınları

Veri

Ray	Kilometre cinsinden değer	Yorum Yap
maksimum	6 384.4	Chimborazo'nun tepesinde
en az	6 352, 8
ekvator	6 378.8	referans elipsoidin yarı büyük ekseni
kutup	6 356.8	referans elipsoidin yarı küçük ekseni
yol	6.371.009
otoriter	6.371.007 2
volumetrik	6 371.000 8

Tarihi

Dünya'nın astronomide yarıçapının ilk ölçümü Eratosthenes tarafından tasarlandı . Hesaplaması şu şekildedir: Güneş o kadar uzaktadır ki, ışınları Dünya'nın herhangi bir noktasına paralel olarak gelir . Syene'de yaz gündönümü gününde ışınların dikey olarak bir kuyuya düştüğünü okudu . Bu, Güneş'in zirveden geçtiği anlamına gelir , yani gölge yoktur. Daha kuzeyde, aynı anda, ışınlar ölçtüğü sıfır olmayan bir açıyla İskenderiye'ye ulaşır . Ölçülen açı bir dairenin ellide biridir. Bu, Dünya'nın çevresinin Syene-İskenderiye mesafesinden elli kat daha büyük olduğu anlamına gelir. Syene'den ayrılan deve kervanlarının İskenderiye'ye ulaşmalarının elli gün sürdüğünü ve günde yüz stadyumu kapladığını da okumuştu . Nil Vadisi'ndeki iki kasaba arasındaki mesafenin 5.000 stadyum olduğunu hesapladı. Stadyum 158 m'ye eşdeğerdir .

Farklı enlemlere sahip iki noktada bulunan, yüksekliği bilinen bu nesnelerin oluşturduğu gölgeyi ölçerek, meridyenin uzunluğu, yani dünyanın çevresi için 250.000 stadyum değerini bulur . Bu ölçüm% 2 içinde doğrudur. Karasal yarıçapı ondan çıkardı.

kullanım

Karasal yarıçap, bir yıldızın günlük paralaksının hesaplanması gibi birçok astronomik hesaplamada kullanılır :

Günlük paralaks: iki gözlemci, Dünya'nın iki A ve B noktasına mümkün olduğu kadar uzağa yerleştirilir ve gözlemlenen yıldızı çevreleyen yıldızların konfigürasyonuna dikkat edin. Böylece açıları hesaplayabilir ve ardından TP mesafesini elde etmeyi mümkün kılacak paralaksı çıkarabilirler.

{\ displaystyle {\ widehat {ABP}}}

{\ displaystyle {\ widehat {BAP}}}

Ayrıca görün

İlgili makale

Öklid Unsurları

Kaynakça

Michel Morin ve Alain Roy, Geometri 4: çemberdeki ilişkiler , Mont-Royal (Quebec), Modulo, 1995 ( OCLC 32548158 )

Örneğin, bir gövde devrim silindirin yüksekliği h ve yarıçapı r bir olan çapı için eşit h ise , h> 2 R , ve bu durumda . ${\ displaystyle r \ neq h / 2}$