Bode diyagramı

Bode diyagramı temsil eden bir şekilde frekans yanıtı , özellikle bir sistemin, elektronik .

Bell Laboratories'den Hendrik Wade Bode , elektronik bir cihazdaki servo ve geri bildirimin basit grafiksel çalışması için bu diyagramı önerdi . Transfer fonksiyonundan kazanç marjını, faz marjını, sürekli kazancı, bant genişliğini , bozulma reddini ve sistem kararlılığını hızlı bir şekilde görselleştirmeye izin verir .

Tanım

Bir frekans yanıt sisteminin Bode diyagramı iki grafikten oluşur: T(jω) {\ displaystyle T (j \ omega) \}

• kazanç bölgesi (ya da genlik) desibel (dB). Değeri hesaplanır .20günlük10⁡(|T(jω)|) {\ displaystyle 20 \ log _ {10} {(| T (j \ omega) |)} \}
• faz tarafından verilen derecelerdeargüman⁡(T(jω)) {\ displaystyle \ arg {(T (j \ omega))} \}

Darbe ölçekli bir logaritmik ve rad / s (saniye başına radyan) olarak ifade edilir. Logaritmik ölçek, düz bir çizginin bölümlerinden oluşturulduğu için çok okunabilir bir grafiğe izin verir .

Analog sistemlerin asimptotik grafiği

Aşağıdaki gibi yazılan keyfi bir transfer fonksiyonunu ele alalım:

H(p)=αpq∏k=1K(1+2ξkpωk+(pωk)2)∏l=1L(1+pωl)∏m=1M(1+2ξmpωm+(pωm)2)∏değil=1DEĞİL(1+pωdeğil){\ displaystyle H (p) = \ alpha p ^ {q} {\ frac {\ prod _ {k = 1} ^ {K} \ left (1 + 2 \ xi _ {k} {\ frac {p} { \ omega _ {k}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {k}}} \ sağ) ^ {2} \ sağ) \ prod _ {l = 1} ^ {L} \ sol (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {l}}} \ sağ)} {\ prod _ {m = 1} ^ {M} \ left (1 + 2 \ xi _ {m} {\ frac {p} {\ omega _ {m}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {m}}} \ sağ) ^ {2} \ sağ) \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {n}}} \ sağ)}}}

veya α∈R ; q∈Z ; ωk,ωl,ωm,ωdeğil∈R∗ ; ξk,ξm∈R {\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \; \ q \ in \ mathbb {Z} \; \ \ omega _ {k}, \ omega _ {l}, \ omega _ {m}, \ omega _ {n} \ in \ mathbb {R} ^ {*} \; \ \ xi _ {k}, \ xi _ {m} \ in \ mathbb {R} \}

Bir transfer işlevi birkaç şekilde yazılabilse de, yukarıda açıklandığı gibi yazılmalıdır:

• birinci ve ikinci derecenin temel polinomlarının sabit terimleri geçerli olmalıdır . Bunu yapmak için sabiti kullanın .1{\ displaystyle 1}α{\ displaystyle \ alpha}
• Birinci ve ikinci derecenin temel polinomlarındaki terimler pay içinde olmalıdır. ( aşağıdaki Yüksek Geçiş işlevinin yeniden yazılmasına bakın)p{\ displaystyle p}

Modülü bu Not şeklinden dolayı temel terimlerin modüllerinin toplamına eşit logaritma . Aynısı, bu sefer argüman işlevi nedeniyle aşama için de geçerli. Bu nedenle, başlangıçta temel terimlerin Bode diyagramlarıyla ilgileneceğiz. H(p) {\ displaystyle H (p) \}

Birinci dereceden sistemler

Düşük geçiş

• Tanım

Ya transfer işlevi:

H(p)=11+pω0 {\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}}}} \}

Darbe , kesme darbesi olarak adlandırılır . ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}

• Asimptotik arsa

Bu nedenle ve . ω≪ω0, H(jω)≈1 {\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ yaklaşık 1 \}|HdB(jω)|=0 {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}argüman⁡(H(jω))=0∘ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ circ} \}

Bu nedenle ve . ω≫ω0, H(jω)≈-jω0ω {\ displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ yaklaşık -j {\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \}|HdB(jω)|=-20günlük10⁡(ω)+20günlük10⁡(ω0) {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -20 \ log _ {10} (\ omega) +20 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}argüman⁡(H(jω))=-90∘ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 90 ^ {\ circ} \}

Logaritmik bir referansta, -20 dB / on yıllık veya hatta -6 dB / oktavlık bir eğimle sonuçlanır . Ayrıca -1 eğiminden de bahsediyoruz. Modülün asimptotik Bode diyagramı bu nedenle iki doğrusal bölüme iner. |HdB(jω)| {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}

• Gerçek parça

içerisinde , ya da  eğri kesme noktasının altında 3 dB geçer. ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}H(jω0)=11+j{\ displaystyle H (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {1 + j}}}|Hdb(jω0)|=-20günlük10⁡(2)=-10günlük10⁡(2){\ displaystyle | H_ {db} (j \ omega _ {0}) | = -20 \ log _ {10} ({\ sqrt {2}}) = - 10 \ log _ {10} (2)}

Yüksek geçiş

Ya transfer işlevi:

H(p)=11+ω0p=pω01+pω0{\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ omega _ {0}} {p}}}} = {\ frac {\ frac {p} {\ omega _ {0 }}} {1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}}}}}

Grafik, modülün dB cinsinden zıttı ve düşük geçiş fazı alınarak elde edilir.

İkinci dereceden sistemler

Düşük geçiş

• Tanım

Düşük geçişli tipte ikinci dereceden bir sistem, şu tipte bir transfer fonksiyonu ile karakterize edilir:

H(p)=H01+2ξpω0+(pω0)2 {\ displaystyle H (p) = {\ frac {H_ {0}} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ sol ({\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ sağ) ^ {2}}} \}

H0{\ displaystyle H_ {0}}statik kazançtır. Titreşime uygun titreşim denir ve sönümlemedir. ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}ξ {\ displaystyle \ xi \}

• Asimptotik arsa ve Gerçek eğri

Bu bölümde statik kazanç 1'e eşittir. Asimptotik düzen, sönümlemenin değerine bağlıdır. Üç durum vardır: H0{\ displaystyle H_ {0}}

• ξ >1{\ displaystyle \ xi \> 1}

Transfer fonksiyonunun kutupları gerçek (ve stabilite için negatif), ve sistem iki transfer fonksiyonları bir ürünü ayrılır 1 st  ordre.Soit ve transfer fonksiyonunun gerçek kutup: p1{\ displaystyle p_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}

H(p)=11+2ξpω0+(pω0)2=1(1-pp1)(1-pp2){\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ sol ({\ frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ sağ) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {p} {p_ {1}}} \ sağ) \ left (1 - {\ frac {p} {p_ {2}}} \ sağ)}}}

• ξ =1{\ displaystyle \ xi \ = 1}

Kutuplar gerçek, negatif ve eşittir (çift kutuplu). Eğer transfer fonksiyonunun bir çift kutup elde ederiz: p0{\ displaystyle p_ {0}}

H(p)=11+2ξpω0+(pω0)2=1(1+pω0)2{\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ sol ({\ frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ sağ) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ sağ) ^ {2}}} }

Bu nedenle ve . ω≪ω0 H(jω)≈1 {\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0} \ H (j \ omega) \ yaklaşık 1 \}|HdB(jω)|=0 {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}argüman⁡(H(jω))=0∘ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ circ} \}

Bu nedenle ve . ω≫ω0 |H(jω)|≈(ω0ω)2 {\ displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0} \ | H (j \ omega) | \ yaklaşık \ sol ({\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \ sağ) ^ {2} \}|HdB(jω)|=-40günlük10⁡(ω)+40günlük10⁡(ω0) {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -40 \ log _ {10} (\ omega) +40 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}argüman⁡(H(jω))=-180∘×sbengdeğile(ω0ξ)⁡ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {işaret (\ omega _ {0} \ xi)} \}

Logaritmik bir kıyaslamada, -40 dB / on yıllık veya hatta -12 dB / oktavlık bir eğimle sonuçlanır . Ayrıca -2 eğiminden de bahsediyoruz. Modülün asimptotik Bode diyagramı bu nedenle iki doğrusal bölüme iner. |HdB(jω)| {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}

• ξ <1{\ displaystyle \ xi \ <1}

Asimptotik diyagram, önceki durumdakiyle aynıdır. Transfer fonksiyonunun kutupları, negatif gerçek kısım ile karmaşık ve eşleniktir. Zaman , sistem sergiler rezonans. Aktarım işlevi modülünün maksimumu daha sonra girilir . Maksimuma karşılık gelen darbe bu nedenle her zaman daha azdır . ξ<22 {\ displaystyle \ xi <{\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \}|H(jω)|m-dex=12ξ1-ξ2 {\ displaystyle | H (j \ omega) | _ {max} = {\ frac {1} {2 \ xi {\ sqrt {1- \ xi ^ {2}}}}} \}ωR=ω01-2ξ2 {\ displaystyle \ omega _ {R} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1-2 \ xi ^ {2}}} \}ωR{\ displaystyle \ omega _ {R}}ω0{\ displaystyle \ omega _ {0}}

Yüksek geçiş H(p)=(pω0)21+2ξpω0+(pω0)2 {\ displaystyle H (p) = {\ frac {({\ frac {p} {\ omega _ {0}}}) ^ {2}} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ sol ({\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ sağ) ^ {2}}} \}

Grafik, modülün dB cinsinden zıttı ve düşük geçiş fazı alınarak elde edilir.

Genel duruma geri dön

Yukarıda belirttiğimiz gibi, transfer fonksiyonu diyagramını elde etmek için temel terimlerin tüm Bode diyagramlarını ekleyebiliriz . H(p) {\ displaystyle H (p) \}

Bununla birlikte, bu transfer işlevi karmaşık olduğunda, darbe arttıkça her terimin katkılarını hesaba katmak daha kolaydır . ω {\ displaystyle \ omega \}

Başlangıçta, modülün asimptotunun bir eğim çizgisi q (q * 20 dB / Decade) olduğu ve fazın sabit olduğu zaman . Daha sonra, bir darbeyle her karşılaşıldığında, grafik aşağıdaki prosedüre göre değiştirilir: ω→0 {\ displaystyle \ omega \ rightarrow 0 \}q×90∘ {\ displaystyle q \ times 90 ^ {\ circ} \}

• Çünkü modülün eğimine (+40 dB / on yıl) ve faza +2 ekliyoruz .ω=ωk {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {k} \}180∘×sbengdeğile(ωkξk)⁡ {\ displaystyle 180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {işaret (\ omega _ {k} \ xi _ {k})} \}
• Çünkü modülün eğimine (+20 dB / on yıl) ve faza +1 ekliyoruz .ω=ωl {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {l} \}90∘×sbengdeğile(ωl)⁡ {\ displaystyle 90 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {işaret (\ omega _ {l})} \}
• Çünkü modülün eğimine (-40 dB / on yıl) ve faza -2 ekliyoruz .ω=ωm {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {m} \}-180∘×sbengdeğile(ωmξm)⁡ {\ displaystyle -180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {işaret (\ omega _ {m} \ xi _ {m})} \}
• Çünkü modülün eğimine (-20 dB / on yıl) ve faza -1 ekleriz .ω=ωdeğil {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {n} \}-90∘×sbengdeğile(ωdeğil)⁡ {\ displaystyle -90 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {işaret (\ omega _ {n})} \}

Dijital sistemlerin çizimi

Titreşim aralığının sınırlandırılması

Bu sefer ayrık bir sistemin transfer fonksiyonuna sahibiz . G(z)=Z{g(değil)} {\ displaystyle G (z) = {\ mathcal {Z}} \ {g (n) \} \}

Bode diyagramını elde etmek için, fonksiyonu birim çember üzerinde değerlendirmeliyiz.

Başka bir deyişle, ile (simetri ile tam çemberi elde ederiz). z=e2πjν {\ displaystyle z = e ^ {2 \ pi j \ nu} \}ν∈[0;12]{\ displaystyle \ nu \ in \ sol [0; {\ frac {1} {2}} \ sağ]}

Kesikli sistem, sürekli bir sistemin T periyodunda örneklemeden elde edilmişse , o zaman . z=ejωT {\ displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω∈[0;πT]{\ displaystyle \ omega \ in \ sol [0; {\ frac {\ pi} {T}} \ sağ]}

Üstelik ilişkiler ve rasyonel değildir . Sonuç olarak, rotanın incelenmesi karmaşıktır ve bilgisayar kaynakları gerektirir. |G(z)|z=e2πjν {\ displaystyle | G (z) | _ {z = e ^ {2 \ pi j \ nu}} \}-derg(G(z)z=e2πjν)⁡ {\ displaystyle \ operatorname {arg (G (z) _ {z = e ^ {2 \ pi j \ nu}})} \}ν {\ displaystyle \ nu \}

Çift doğrusal dönüşüm

Bununla birlikte, sürekli duruma indirgemeye izin veren bir uygulama var:

z=2T+w2T-w {\ displaystyle z = {\ frac {{\ frac {2} {T}} + w} {{\ frac {2} {T}} - w}} \}

veya karşılıklı fonksiyon w=2Tz-1z+1 {\ displaystyle w = {\ frac {2} {T}} {\ frac {z-1} {z + 1}} \}

Bu, Möbius'un bir

dönüşümüdür .

Bu dönüşüm, hayali eksen kılan sürekli bir alan içinde tekabül birim çembere sahip

ayrık alanı ile arasında : gerçekten de poz göre , daha sonra , bu nedenle modülü 1 'in aynı zamanda yazılı olan konjügatı ile bölünen bir kompleks olan , bu nedenle bağımsız değişken de, bir modulo'nun yarısı  : argüman . w=jΩ {\ displaystyle w = j \ Omega \}z=ejωT {\ displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω=2T-dervst-dedeğil(TΩ2)⁡ {\ displaystyle \ omega = {\ frac {2} {T}} \ operatöradı {arktan \ sol ({\ frac {T \ Omega} {2}} \ sağ)} \}Z=2T+jΩ{\ displaystyle Z = {\ frac {2} {T}} + j \ Omega}z=2T+jΩ2T-jΩ=ZZ∗ {\ displaystyle z = {\ frac {{\ frac {2} {T}} + j \ Omega} {{\ frac {2} {T}} - j \ Omega}} = {\ frac {Z} {Z ^ {*}}} \}z=Z2|Z|2 {\ displaystyle z = {\ frac {Z ^ {2}} {| Z | ^ {2}}} \}Z {\ displaystyle Z \}z {\ displaystyle z \}π {\ displaystyle \ pi \}-derg(Z)≡-dervst-dedeğil(Ω2T)⁡ [π]≡12ωT [π]{\ displaystyle \ operatorname {arg (Z)} \ equiv \ operatorname {arctan \ left ({\ frac {\ Omega} {\ frac {2} {T}}} \ right)} \ [\ pi] \ equiv { \ frac {1} {2}} \ omega T \ [\ pi]}

Şimdi, ne zaman , biz var , bu durumda kendimizi sürekli incelenecek rasyonel bir kesir durumunda buluyoruz. Daha sonra , yakındaki diyagramın değerlerinin bir hatayla lekelendiğini bilerek, klasik bir analog sistemler çalışmasına geri dönebiliriz . ωT≪1{\ displaystyle \ omega T \ ll 1}ω≈Ω {\ displaystyle \ omega \ yaklaşık \ Omega \}ω∈[0;πT]{\ displaystyle \ omega \ in \ sol [0; {\ frac {\ pi} {T}} \ sağ]}ω=πT {\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ pi} {T}} \}

Ayrıca görün

• Sibernetik
• Alçak geçiş filtresi
• Yüksek geçiren filtre
• Siyahın diyagramı
• Nyquist diyagramı

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">