Transfer işlevi

Gelen sinyal işleme , bir transfer fonksiyonu girişi ve bir çıkışı arasındaki ilişkinin bir matematiksel modeldir doğrusal sistem en sık, değişmez . Bu içinde, iletişim teoride özellikle kullanılan otomasyon ve bu disiplin (çağırıyoruz tüm mühendislik bilimlerinde elektronik , mekanik , mekatronik , vb ). Yukarıdaki giriş ve çıkış sinyalleri birkaç bileşene sahip olabilir, bu durumda genellikle (bir zorunluluk olmaksızın) transfer fonksiyonunun bir transfer matrisi olduğu belirtilir . Öte yandan, bu sinyaller yalnızca zamana (bu en klasik durumdur) veya uzay değişkenlerine veya her ikisine de bağlı olabilir: bu çok boyutlu sistemler için geçerlidir ); bazı yazarlar, kısmi diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemleri bu şekilde modellemektedir. Görüntü işleme alanında , giriş ve çıkış sinyalleri, çoğunlukla ayrık değişkenler olarak kabul edilen ve daha sonra indekslenmiş aileler (veya diziler) olan uzay değişkenlerinin işlevleridir. Bir sistemin transfer işlevi, örneğin daha sonra genel olarak frekans alanında bir regülatör tasarlamak için frekans analizi gerçekleştirmeyi mümkün kılar (bkz. Otomatik makale ). Doğrusal bir sistemin girişi mutlaka bir komut değişkeni değildir ve çıkışı her zaman davranışını yönetmek isteyen bir değişken değildir; örneğin, renkli bir gürültü , giriş için beyaz bir gürültüye sahip olan ve transfer fonksiyonu, doğrudan ve ters nedensel spektral çarpanlara ayırma yöntemi ile belirlenen doğrusal bir sistemin çıktısı olarak modellenebilir .

Transfer işlevi kavramı

Bir sistemin $u$ girdisi ve $y$ çıktısı arasında yukarıda çağrılan ilişki , çekirdeği sistemin dürtü yanıtı olan bir evrişim operatörüdür . Kararlı veya marjinal olarak kararlı bir sistem haricinde, bu temperlenmiş bir dağılım (sürekli değişkenler durumunda) veya yavaş büyüyen bir dizi (ayrık değişkenler durumunda) değildir ve bu nedenle hiçbir Fourier dönüşümü kabul etmez. Bu nedenle , değişkenlerin sürekli veya ayrık olmasına bağlı olarak Laplace dönüşümünü veya Z dönüşümünü dikkate almak gerekir . Sistemin transfer fonksiyonu olarak adlandırılan bu dönüşümdür . Bu, başlangıç (veya sınır) koşullarını hesaba katmadığı için sistemi yalnızca kısmen temsil eder. Daha doğrusu, bu başlangıç koşullarının (veya sınırlarda) sıfır olduğunu varsayarak elde edilir. Bu, bilgi kaybına neden olur, bu da transfer fonksiyonunun sadece sistemin kontrol edilebilir ve gözlemlenebilir kısmını temsil ettiği anlamına gelir. Yine de, bu sistemin özelliklerinin analizi için çok önemlidir ve tarihsel olarak ilk ortaya çıkan bu temsildir (bkz . Otomatik kontrolün tarihi ). Transfer fonksiyonlarının biçimciliğinin sunduğu olanakları ve sınırlarını anlamak önemlidir.

Transfer fonksiyonu kavramı uzun zamandır sadece değişmez doğrusal sistemler için tanımlanmıştır . Bu fikrin değişken katsayılara sahip lineer sistemler durumunda genişletilip genişletilemeyeceği sorusu doğal olarak ortaya çıktı. Ancak son zamanlarda, cebirsel bir yöntemle, bu uzantıya somut pratik sonuçlarla ulaşıldı.

Tek değişkenli bir sistemin transfer fonksiyonu

Sürekli zaman sistemleri durumu

Tanım

Bir denklem sistemi düşünün:

D \ sol (\ kısmi \ sağ) y = N \ sol (\ kısmi \ sağ) u

burada $u$ ve $y$ sırasıyla girdi ve çıktıdır ve burada $D (\partial)$ ve $N (\partial)$ $\partial = 'de$ gerçek katsayıları olan polinomlardır. $d / d t$ sırasıyla $n$ ve $m$ derece . Bu polinomların kümesi bir Ökliddir ve bu nedenle temel halka olarak gösterilir . ${\ displaystyle \ mathbb {R} [\ kısmi]}$

Polinom $D (\partial) '$ nin sıfır olmadığı varsayılır. $U$ ve $y'nin$ sırasıyla ve ile gösterilen Laplace dönüşümlerini kabul eden “pozitif destekli genelleştirilmiş fonksiyonlar” olduğunu varsayalım . ${\ displaystyle {\ hat {u}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ hat {y}} (p)}$

Varsayalım ki başlangıç şartları $y (0 - ...,) y , n -1 (0 - ), U (0 - ...,) u m -1 (0 - )$ olan sıfır . Yukarıdaki diferansiyel denklem anlamına gelmektedir, Laplace dönüşümü , . ${\ displaystyle D (p) {\ şapka {y}} (p) = N (p) {\ şapka {u}} (p)}$

Bu nedenle: ${\ displaystyle {\ hat {y}} (p) = G (p) {\ hat {u}} (p)}$

burada $G, ( p )$ olan rasyonel fraksiyon $N ( p ) / D ( p )$ . Bu rasyonel fraksiyon, sistemin transfer fonksiyonu olarak adlandırılır .

Kontrol edilemeyen direkler

Bu rasyonel fraksiyonu içeren muhakeme, indirgenemez temsili üzerinde yapılmalıdır. $N ' ( p ) / D ' ( p )$ burada $N ' ( p ) = N ( p ) / P ( p )$ , $D ' ( p ) = D ( p ) / P ( p )$ , $P ( p )$ bir gcd $N ( p )$ ve $D ( p ) anlamına gelir$ .

Dikkate alınan sistem her zaman gözlemlenebilir ve kontrol edilebilir (ya da stabilize edilebilir), ancak ve ancak $P ( p )$ halkanın bir birimi ise , yani sıfır olmayan bir gerçek ( yani Hurwitz'in bir polinomu ). Polinom kompleks düzlemde kökleri $P$ $($ $s$ $)$ olan kontrol edilemeyen kutuplu sistemin ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

Transfer fonksiyonunun derecesi

Rasyonel kesir derecesi $G = DEĞİL / D$ şu şekilde tanımlanır: $d ° ( G ) = d ° ( N ) - d ° ( D )$ . Bize ait Öklid bölme yapalım $N (\partial)$ ile $D (\partial)$ . Bu fikir, $N (\partial) = D (\partial) S (\partial) + R (\partial)$ $S (\partial)$ bölüm ve bir $R (\partial)$ geri kalanı, bu şekilde $d ° ( R ) < d ° ( D )$ . $Z = y - Q (\partial) u$ ayarlayarak , tekrar izin verin

{\ displaystyle y = z + Q (\ kısmi) u}

elde ederiz

{\ displaystyle D (\ kısmi) z = R (\ kısmi) u}

Diyelim ki $U$ orijinde bir süreksizlik sergileyen bir parçalı sürekli bir fonksiyondur. O halde $z$ sürekli bir fonksiyondur. İçin $y$ , üç olgu mümkündür:

$Q (\partial) = 0$ , $d ° ( G ) <0'a$ eşdeğerdir. Rasyonel $G$ fraksiyonunun kesinlikle uygun olduğu söylenir. Bu durumda, $R (\partial) = N (\partial)$ . O zaman $y = z$ .
$d ° ( Q ) = 0$ , $d ° ( G ) = 0'a$ eşdeğerdir. Rasyonel $G$ fraksiyonunun çift taraflı olduğu söylenir . O halde $y$ , $u ile$ aynı süreksizlikleri sunan bir fonksiyondur. Bir kesinlikle temiz veya iki temiz transfer fonksiyonu olduğu söylenir temiz .
$d ° ( Q )> 0$ , $d ° ( G )> 0'a$ eşdeğerdir. Rasyonel $G$ fraksiyonunun uygunsuz olduğu söyleniyor. Bu durumda, $y$ matematiksel düzeydetekil bir dağılımdır (yani, Dirac dağılımının ve muhtemelen türevlerininbir fonksiyonu olarak ifade edildiği için fonksiyon olmayan bir dağılım ).

Süreksiz bir giriş sistemi yok edeceğinden, durum (3) pratikte asla gerçekleşmez. Durum (2) istisnai: "ataletsiz" bir sisteme karşılık gelir. Yine de bir regülatör, iki-spesifik bir transfer fonksiyonuna sahip olabilir (en basit durum, orantılı bir regülatörinkidir).

Takip eden durumda (1) veya (2) durumunda olduğumuzu varsayıyoruz.

İletim kutupları ve sıfırları - Kararlılık

Direkleri (sırasıyla. Sıfırları ) iletim sistemi (sırasıyla. Sıfır) kutupları denir transfer fonksiyonu ve $G ( p )$ , yani kökler $D ' ( p )$ (sırasıyla. $N ( p )$ ).

Sistem, ancak ve ancak iletim kutuplarının tümü sol yarı düzleme aitse (geleneksel olarak hayali eksen hariç tutulursa) EBSB stabildir . Polinom ancak ve ancak katlanarak stabildir $D (\partial)$ olan Hurwitz . Yukarıdakilerden, sistem ancak ve ancak EBSB kararlı ve stabilize edilebilirse üstel olarak kararlıdır . (Bunun yalnızca dikkate alınan sistemin gözlemlenebilir olması ve bu nedenle tek olası gizli modlarının kontrol edilemeyen kutupları olması nedeniyle doğru olduğu yeterince vurgulanamaz .)

Kutupları ve aktarım sıfırlarının tümü sol yarı düzleme aitse sistemin minimum faza sahip olduğu söylenir .

Frekans tepkisi

Yukarıda ele alınan sistemin frekans yanıtı işlevdir . Bu tamamlayıcısına tanımlanır olarak burada sanal eksen üzerinde yer alan iletim kutup kümesini (boş) 'dir. Analitik genişletme prensibi , frekans yanıtının transfer fonksiyonunu tamamen belirlediğini gösterir. ${\ displaystyle \ omega \ mapsto G ({\ rm {i}} \ omega)}$ $\ mathcal {P}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathcal {P}$

Sistemin giriş nabız arasında, sinüzoidal olduğunu varsayalım: frekans yanıtının yorumlanması aşağıdaki gibidir $w$ (bu darbe setine ait olmayan , yukarıda). Bu matematiksel düzlemde, bu giriş sinyalini yazmak, uygundur $u$ karmaşık formda , . Sonra hemen çıktının (karmaşık biçimde) $y$ $($ $t$ $) =$ $G$ $(i$ $ω$ $)$ $u$ $($ $t$ $) olduğunu gösteririz$ . Somut olarak, asıl giriş ve çıkış (kelimenin her anlamıyla) elbette yukarıdaki karmaşık giriş ve çıkışın gerçek kısmıdır. $\ mathcal {P}$ ${\ displaystyle t \ A {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega t}} ile eşleşir$ ${\ mathbb {R}} içinde t \$

Hayali eksen transfer fonksiyonunun yakınsama bandına aitse ( dürtü yanıtının iki taraflı Laplace dönüşümü olarak), frekans yanıtı, dürtü yanıtının Fourier dönüşümünden başkası değildir. Bu nedenle, dikkate alınan sistemlerin her zaman kararlı olduğu bazı mühendislik bilimlerinde, transfer işlevi bu Fourier dönüşümü olarak tanımlanır. Bu, biraz kafa karışıklığına yol açmadan dilin kötüye kullanılmasıdır.

Ayrık zaman sistemleri durumu

Tanım

Ayrık zaman sistemleri söz konusu olduğunda, biçimcilik yukarıda geliştirilene çok benzer, bazı farklılıklar vardır.

Sistem denkleminde, türev operatörü $\partial$ , ilerleme operatörü ile değiştirilir . Sinyaller artık devam filmleri. ${\ displaystyle q: x (k) \ x'e eşler (k + 1)}$
Yazarak bu $D ( q ) = q , n + bir 1 q , n - 1 + ... + bir n$ ve $N ( q ) = b 0 q m + b 1 q m - 1 + ... + b m$ , l Sistemin denklemi bu nedenle şu şekilde açıklanabilir:

{\ displaystyle y (k + n) + a_ {1} y (k + n-1) + ... + a_ {n} y (k) = b_ {0} u (k + m) + b_ {1 } u (k + m-1) + ... + b_ {m} u (k)}

(3) Başlangıç koşulları artık $y (0), ..., y ( n - 1), u (0), ..., u ( m - 1) şeklindedir$ . Bunları varsayarak sıfır ve simgelenmiş tarafından $U ( z )$ ve $Y ( Z )$ tek taraflı Z dönüşümler dizilerin $u$ ve $y$ , sırasıyla, elde ederiz (bkz Z dönüşümü özelliklerini )

{\ displaystyle Y (z) = G (z) U (z)}

burada $G, ( Z )$ olan transfer fonksiyonu $N ( z ) / D ( z )$ .

Nedensellik

Sistem, ancak ve ancak transfer işlevi kesinlikle uygun bir rasyonel kesir ise (yani $d$ $° ($ $G$ $) <0$ ) kesin olarak nedenseldir . Bu, belirli bir $k$ anındaki çıktının (şimdiki an olarak kabul edilir) ne girişin geleceğinden ne de sonuncusunun $k$ anındaki değerinden etkilenmediği anlamına gelir .

Sistem, ancak ve ancak transfer işlevi uygunsa nedenseldir . Bu, herhangi bir zamanda çıkışın, girişin geleceğinden etkilenmediği anlamına gelir.

Son olarak, sistem ancak ve ancak transfer işlevi uygun değilse nedensel değildir . Belirli bir zamandaki çıkış, daha sonra girişin geleceğinden etkilenir. Geçmiş, şimdiki zaman, gelecek olağan anlamlara sahipken bu elbette imkansızdır. Bununla birlikte, örneğin, gecikmeli zamanlı sinyal işlemeyi nedensel olmayan dijital filtreler kullanarak elde etmek mümkündür .

istikrar

$G ( z ) '$ nin ayrık bir zaman sistemi EBSB kararlıdır , ancak ve ancak iletim kutupları, yani $G ( z )$ kutuplarının tümü daire birimi içinde yer alırsa .

Laplace değişkeni arasındaki ilişki olduğunu biliyoruz $p$ ve değişken $z$ ve Z dönüşümü (bakınız olan Laplace dönüşümü ) $z = e Pt$ $, T$ örnekleme dönemdir. Yani biz var $| z | <1$ (resp. $| Z | = 1$ ) if ve only if (resp. ). Burada ayrık zamanlı sistemler için belirtilen kararlılık koşulu, bu nedenle, sürekli zamanlı sistemler için yukarıda belirtilenler bilindiğinde şaşırtıcı olmamalıdır. ${\ displaystyle \ Re (p) <0}$ ${\ displaystyle \ Re (p) = 0}$

Frekans tepkisi

Ayarlayarak $p = I co$ Laplace değişkeni arasındaki ilişki içinde $p$ ve değişken $z$ elde ederiz $z e = ı ωT e = ı θ$ ile $θ = ωT$ . Transfer fonksiyonu ile bir ayrık sisteminin frekans yanıtı, açıklıyor $G ( z )$ , fonksiyonudur . Tüm için tanımlandığı Bu fonksiyon, $İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin$ bu şekilde $, e$ $i$ $θ$ bir kutup değildir $G$ $($ $z$ $)$ , süresi ile periyodik $2n$ , ve benzeri gibi , varyasyonları $İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin$ aralığı ile sınırlı olabilir $[0, tt [$ . Değişken, normalleştirilmiş kalp atışı olarak adlandırılır . Sistemin girişi sinüzoidal, normalleştirilmiş darbe $θ ise$ (burada $e$ $i$ $θ$ , $G$ $($ $z$ $) '$ nin bir kutbu değildir ), yani (karmaşık biçimde) $u$ $($ $k$ $) =$ $A$ $e$ $i$ $kθ ise$ , çıktı ( karmaşık biçimde) $y$ $($ $k$ $) = G (e$ $ben$ $θ$ $)$ $u$ $($ $k$ $)$ . ${\ displaystyle \ theta \ mapsto G ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta})}$ ${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- i \ theta} = {\ overline {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta}}}}$ $\ theta$

Ayrıklaştırılmış bir sistemin transfer işlevi

Olarak otomatik modda , vakaların büyük bir çoğunluğunda, ayrı bir zaman sistem $S d$ bir örnekleme süresi en, ayrıklaştırma sonuçları $T$ sürekli bir zaman sistemi, $S c$ bir transfer fonksiyonu ile $G ( s )$ . $S$ $c$ sisteminin çıktısı $y$ , $T$ periyodunda örneklenir ve bu, örneklenmiş sinyal $y$ $*$ $=$ $y ϖ$ $T ile$ sonuçlanır, burada $ϖ$ $T$ " Dirac tarağı " dır .

{\ displaystyle \ varpi _ {T} (t) = \ toplam _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta (t-kT)}

Yalnızca matematiksel bir temsil olan bu $y *$ sinyali , aslında bilgi için yalnızca örnekleme anlarındaki $y'nin$ değerlerini içerir , çünkü

{\ displaystyle y ^ {\ ast} \ sol (t \ sağ) = \ toplamı _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y (kT) \ delta (t-kT)}

Ayarlayarak $y d ( k ) = y ( kT )$ , ayrık sinyal $y D$ (bir sekans olan) sistem çıkışı olan $G d$ biz karakterize aradığı. Bu ayrık bilgi ayrı bir kontrol sinyali üretmek üzere, örneğin, bir bilgisayar tarafından işlenir $u d$ . Bu sinyal $u d$ bir enterpolasyon geçmesi gereken sistem üzerinde hareket eden bir sürekli zaman sinyaline dönüştürülmesi için $S c$ . Gerçek zamanlı çalışan döngülü bir sistem elde etmek için, bu interpolasyon Shannon enterpolasyonundan farklı olarak nedensel olmalıdır ( Shannon-Nyquist teoremi ile ). Bu nedenle , her örnekleme periyodunda ayrık sinyali $u d$ bloke ederek ilerliyoruz . En basit engelleyici , sıfır dereceden olandır. Örneklenmiş bloke edilmiş sinyal (sıfır dereceli bloke edici ile) şu şekilde tanımlanır:

{\ displaystyle u_ {b0} (t) = u_ {d} (k), t \ in [kT, (k + 1) T [}

Bu nedenle, bu sinyal $u b , 0$ (sürekli zaman gerçekten de, ancak diğer yandan da adım olduğu için zaman kesintili bir fonksiyonu olan bir hızda geçer) sistemi girer $S c$ .

$U d$ ve $y d$ arasındaki ilişki doğrusal ve durağandır. Bu nedenle , sıfır dereceli engelleyiciyi hesaba katan, $G$ $d$ $($ $z$ $)$ ile gösterilen $z'de$ bir transfer fonksiyonunu kabul eder . Tarafından verildiğini kolayca gösteririz

{\ displaystyle G_ {d} (z) = (1-z ^ {- 1}) {\ mathcal {Z}} \ sol [{\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ sol \ {{\ frac {G (p)} {p}} \ sağ \} \ sağ]}

Laplace dönüşümü ve Z dönüşümü sırasıyla burada ve gösterir . $\ mathcal {L}$ ${\ mathcal {Z}}$

Transfer matrisi

Tanım

Takip eden gelişmeler, sürekli zaman sistemleri için gerçekleştirilir. Açıkça kesikli zaman sistemlerine aktarılırlar. $M$ girişleri $u 1 , ..., u m$ ve $q$ çıkışları $y 1 , ..., y q$ olan sürekli zamanlı çok değişkenli bir sistemi düşünün . Let $u$ (sırasıyla. $Y$ ) oluşan sütun $u j$ (sırasıyla. $Y, I$ ) ve (sırasıyla. ) Tek taraflı Laplace transformu $u$ (sırasıyla. $Y$ ). Sıfır başlangıç koşuluyla , bir ilişki vardır ${\ displaystyle {\ hat {u}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ hat {y}} (p)}$

{\ displaystyle {\ hat {y}} (p) = G (p) {\ hat {u}} (p)}

burada $G, ( p )$ rasyonel fraksiyonların bir matris ve daha kesin olarak bir elemandır burada rasyonel fraksiyonların alanı belirtir $p$ gerçek katsayıları, halkanın fraksiyonları yani alanıyla en polinomlar $p$ . Bu matris $G$ $($ $p$ $)$ , sistemin transfer matrisidir . ${\ displaystyle \ mathbb {R} (p) ^ {q \ kere m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (p)}$ ${\ mathbb {R}} \ sol [p \ sağ]$

Bu transfer matris olduğu söylenir temiz (sırasıyla. Kesin temiz ) tüm unsurlar ise, ve uygun olmayan , aksi takdirde.

Smith-MacMillan formu

Let $δ ( s ) \neq 0 olması$ matrisinin tüm elemanlarının en az ortak paydası . Matris $, N$ $($ $p$ $) =$ $δ$ $($ $s$ $)$ $G$ $($ $s$ $)$ , bu nedenle aittir ve bu halka yana esastır, değişmez bir faktör teoremi gösterir matrisler var olduğunu $P$ $($ $s$ $)$ ve $S$ $($ $p$ $)$ üzerine sabit olan, , öyle ki $Σ ($ $p$ $) =$ $p$ $($ $p$ $)$ $N-$ $($ $p$ $)$ $s$ $-1$ $($ $s$ $)$ olan Smith formu arasında $N$ $($ $p$ $)$ . Bu matris $Σ ($ $p$ $)$ formundadır ${\ displaystyle G (p) \ in \ mathbb {R} (p) ^ {q \ kere m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p] ^ {q \ times m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ alpha _ {1} (p) & 0 && \\ 0 & \ ddots && \\ && \ alpha _ {r} (p) & \\ &&& 0 \\\ end { pmatrix}}}

burada sıralamasıdır üzerinde (dolayısıyla bir $G$ $($ $s$ $)$ üzerinde ), ve burada $($ $α$ $ı$ $($ $p$ $))$ $1 \leq$ $i$ $\leq$ $r$ sıfır olmayan elemanları tatmin bölünebilme ilişkisi . Bu elemanlar $a$ $i$ $($ $s$ $)$ olan değişmez faktörler arasında $N$ $($ $p$ $)$ ve benzersiz bir birimi ile çarpma (yani tersinir elemanları) içine tespit edilir (makalesine bakın faktörü teoremi değişmezleri ). Böylece sahibiz $r$ ${\ displaystyle N (p)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (p)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ $\ alpha _ {1} \ orta \ alpha _ {2} \ orta \ noktalar \ orta \ alpha _ {r}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

{\ displaystyle G (p) = P ^ {- 1} (p) {\ mathcal {M}} (p) S (p)}

veya

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ frac {1} {\ delta (p)}} \ Sigma (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {\ delta ( p)}} \ Delta (p) & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

Nihayet sahibiz

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {n_ {1} (p)} {d_ {1} (p)}} & 0 && \\ 0 & \ noktalar && \ \ && {\ frac {n_ {r} (p)} {d_ {r} (p)}} & \\ &&& 0 \\\ end {pmatrix}}}

rasyonel kesirler nerede $n ben ( p ) / d ben ( p )$ indirgenemez. Bölünebilirlik ilişkilerimiz var ve . Elemanlar $, n$ $ı$ ve $d$ $i$ için $1 \leq$ $i$ $\leq$ $r$ Bu koşulları karşılayan benzersiz belirlenir $G$ $($ $s$ $) kadar$ birimleri tarafından çarpımına , rasyonel fraksiyonların nedenle matris olup kanonik ve adı Smith-MacMillan formu arasında $G$ $($ $p$ $)$ . $G$ $($ $p$ $) '$ nin uygun bir transfer matrisi olduğu gerçeğinin (ya da kesinlikle uygun), rasyonel kesirlerin olduğu anlamına gelmediği unutulmamalıdır. $n _ {{1}} \ orta n _ {{2}} \ orta \ noktalar \ orta n _ {{r}}$ $d _ {{r}} \ orta d _ {{r-1}} \ orta \ noktalar \ orta d _ {{1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p)}$ $n ben ( p ) / d ben ( p )$ olmak.

İletim kutupları ve sıfırları

İletim direkleri aktarım matrisi olan sistemin (sırasıyla. Sıfırları) $G ( p )$ kökleri olan polinomları $d$ $i$ $($ $s$ $)$ (sırasıyla. $, N$ $ı$ $($ $p$ $)$ ), yukarıdaki. Eğer $p$ $0$ düzenin bir köküdür $ν$ $i$ bir $d$ $i$ $($ $s$ $)$ için $1'in \leq$ $i$ $\leq$ $p,$ biz kutup görmesini sağlar $p$ $0$ yapısal göstergeler için olan ${$ $ν$ $1$ $, ...,$ $ν$ $p,$ $}$ . Bu tanım gerekli değişiklikler yapılarak sıfırlar için geçerlidir . $\ mathbb {C}$

Örneğin transfer matrisini düşünün

{\ displaystyle G (p) = {\ başlar {pmatrix} {\ frac {1} {(p + 1) ^ {2}}} ve {\ frac {1} {(p + 1) (p + 2) }} \\ {\ frac {1} {(p + 1) (p + 2)}} & {\ frac {p + 3} {(p + 2) ^ {2}}} \ end {pmatrix}} }

Yukarıdaki notasyonlarla $δ ( p ) = ( p +1) 2 ( p +2) 2$ ve

{\ displaystyle N (p) = {\ başlar {pmatrix} (p + 2) ^ {2} ve (p + 1) (p + 2) \\ (p + 1) (p + 2) ve (p + 1) ^ {2} (p + 3) \ end {pmatrix}}}

Değişmez faktör teoreminde kullanılan satırlar ve sütunlar üzerindeki temel işlemler, $N ( p )$ için Smith formunun elde edilmesini sağlar.

{\ displaystyle \ Sigma (p) = {\ başlar {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (p + 1) ^ {2} (p + 2) ^ {3} \ end {pmatrix}}}

ve $G ( p ) '$ nin Smith-MacMillan formu bu nedenle

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {(p + 1) ^ {2} (p + 2) ^ {2}}} ve 0 \ \ 0 & p + 2 \ end {pmatrix}}}

Dolayısıyla, iletim kutupları -1 ve -2'dir ve her ikisi de tek yapısal indekse sahiptir. Tek iletim sıfırı, tek yapısal indeksi 1 olan -2'dir. Bu örnekte, aynı karmaşık sayının (bu durumda, -2) hem bir iletim kutbu hem de bir iletim sıfırı olabilir ki bu, tek değişkenli sistemler durumunda açıkça imkansızdır.

Yorumlama

Let $G ( s )$ (sırasıyla. $G ( z )$ ) bir sürekli-zaman (sırasıyla. Ayrık zaman) sistemi ve bu taşıma matrisi uygun olduğunu varsayalım transfer matris. Bu durumda, dikkate alınan sistem, ancak ve ancak iletim kutuplarının tümü sol yarı düzlemde yer alıyorsa (örneğin birim çemberin içinde) EBSB kararlıdır .

İletim sıfırlarının daha kolay yorumlanması için, $m = q = r$ olduğunu varsayacağız (her zaman azaltabileceğimiz bir durum). O zaman karmaşık sayı $λ$ , ancak ve ancak, sıfır başlangıç koşullarında, formun sıfır olmayan bir $u$ girişi (resp. ) Ve lineer kombinasyon gibi sıfır olmayan bir lineer form varsa, bir iletim sıfırdır . aynı şekilde boştur. ${\ displaystyle t \ mapsto A {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}$ $k \ mapsto A \ lambda ^ {{k}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {m}}$ ${\ displaystyle B ^ {\ prime} \ in \ mathbb {C} ^ {1 \ times q}}$ ${\ displaystyle \ langle B ^ {\ prime}, y \ rangle}$

Sonsuz boyutlu sistemlerin transfer fonksiyonları

Sonsuz boyutlu sistemler

Sonsuz boyut sistemi kavramı ancak bir olumsuzlama ile tanımlanabilir: bu, sonlu boyutta olmayan bir sistem sorunudur. Bu sistemlerin çeşitliliği bu nedenle çok fazladır. Burada söz konusu olan "boyut" durum uzayının boyutudur ve sonsuz olması, transfer fonksiyonunun irrasyonel olması gerçeğiyle sonuçlanır. Burada ayrıntılı olma şüphesi yoktur ve aşağıdaki kısa sunum, sürekli zamanlı ve uygun gecikmelerle (dağıtılmış veya dağıtılmamış) doğrusal sistemler durumuyla sınırlıdır.

Cebirsel formülasyonlar

Dağıtılmayan gecikmeler

Önce formun bir sistemini düşünelim

{\ displaystyle \ toplamı _ {0 \ leq i \ leq n, 0 \ leq j \ leq m} a_ {ij} y ^ {(i)} (tj \ tau) = \ toplamı _ {0 \ leq i \ leq p, 0 \ leq j \ leq q} b_ {ij} u ^ {(i)} (tj \ tau)}

burada $a ij$ ve $b ij$ gerçek katsayılardır ( $a ij'nin$ tümü sıfır değildir) ve burada $τ > 0$ gecikmedir. Sorarak

{\ displaystyle a (s, z) = \ toplam _ {0 \ leq i \ leq n, 0 \ leq j \ leq m} a_ {ij} s ^ {i} z ^ {j}}

{\ displaystyle b (s, z) = \ toplam _ {0 \ leq i \ leq p, 0 \ leq j \ leq q} b_ {ij} s ^ {i} z ^ {j}}

sistemin transfer fonksiyonu yazılır $G ( p ) = N ( p ) / D ( p )$ ile $N ( p ) = b ( s , e - τp )$ ve $D ( p ) = bir ( s , e - τp )$ . Dolayısıyla bu transfer fonksiyonu, halkanın izomorfik olduğu halkanın fraksiyonlarının gövdesine aittir . Bu halka, Gauss teoremine göre faktöryeldir (bkz . Polinom halkaları ), bu nedenle $a$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ ve $b$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ bir gcd $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $) 'ye sahiptir$ . Elemanlar $, bir '$ $($ $s$ $,$ $z$ $) =$ $bir$ $($ $s$ $,$ $z$ $) /$ $C$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ ve $b',$ $($ $s$ $,$ $z$ $) =$ $b$ $($ $s$ $,$ $z$ $) /$ $C$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ kendi aralarında, bu nedenle asal içerisinde , ve sahip $G$ $($ $p$ $) =$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p, {\ rm {e}} ^ {- \ tau p}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$ $N ' ( p ) / D ' ( p )$ ile $N ' ( p ) = B' ( s , e - τp )$ ve $D ' ( s ) = bir' ( s , e - τp )$ .

Sistemin iletim kutupları (sırasıyla Sıfırlar) karmaşık $D ' ( p )$ (sırasıyla $N' ( p )$ ) düzleminde sıfırlar olarak tanımlanır .

farz et ki

{\ displaystyle {\ underet {_ {\ sol \ vert p \ sağ \ vert \ rightarrow + \ infty}} {lim}} \ sol \ vert G (p) \ sağ \ vert <\ infty}

Daha sonra, eğer gerçek bir $ε$ $> 0$ varsa , iletim kutuplarının (genel olarak sonsuz sayıda) hepsinin gerçek kısmı $-ε'den$ küçük olacak şekilde sistem kararlı EBSB'dir .

Bu sistem gözlemlenebilir. Halka bir Bezout halkası olmadığından, farklı kontrol edilebilirlik türleri vardır. Son olarak, yukarıdaki analiz çok değişkenli sistemler durumuna genellenemez. Bu nedenle, operatör halkasında bir değişikliğe geçilmesi gerekir, bu da dağıtılmış gecikme sistemlerinin dikkate alınmasına yol açar. ${\ displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$

Dağıtılan gecikmeler

Örneğin, aşağıdakilerle tanımlanan dağıtılmış gecikme operatörünü düşünün : $u \ eşler$

{\ displaystyle y (t) = \ int _ {t-1} ^ {t} u (\ tau) d \ tau}

Bu transfer fonksiyonu bir unsuru olarak kabul edilebilir olan burada kompleks düzlemde bütün fonksiyonların halkayı belirtir. Bu şekilde tanımlanan halka , dağıtılmış ölçülebilir gecikme sistemlerinin çalışması için çok uygundur. Ana olmasa da, aslında temel bölücülere sahip bir halkadır . Bu nedenle, bu halkadaki bir eleman matrisi bir Smith formunu kabul eder ve bu halkanın fraksiyon gövdesindeki bir element matrisi bir Smith-MacMillan formunu kabul eder. Bu halka üzerinde tanımlanan sistemlerin teorisi, bu nedenle, diferansiyel operatörlerin klasik halkasında tanımlanan sistemlere oldukça benzerdir (cebirsel olarak) . Bununla birlikte, bu sefer kutup sayısı ve iletim sıfırları genellikle sonsuzdur. ${\ displaystyle {\ frac {1 - {\ rm {e}} ^ {- p}} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ mathbb {R} (p) [{\ rm {e}} ^ {p}, {\ rm {e}} ^ {- p}] \ cap {\ mathcal {E}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (p)}$ ${\ mathcal {H}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [\ kısmi]}$

Transfer matrisi $G$ $($ $p$ $) '$ nin $G ij ( p )$ elemanlarının hepsinin öyle olduğunu varsayarsak

\ lim _ {{| p | \ rightarrow \ infty}} | G _ {{ij}} (p) | <\ infty

gerçek bir $ε$ $> 0$ varsa , iletim kutuplarının (genel olarak sonsuz sayıda) hepsinin gerçek kısmı $-ε'dan$ daha düşük olacak şekilde sistem kararlı EBSB'dir .

Değişken katsayılı sistemlerin transfer fonksiyonları

Sürekli zaman sistemleri durumu

Let $k$ bir diferansiyel alanı her zaman türevli (örneğin halka kompleks rasyonel fraksiyonları) ve izin $D$ $=$ $K$ $[$ $\partial$ $]$ ile halka sol polinom içinde $\partial$ katsayılı $K$ . Eğer bir değişkendir, biz göre var Leibniz'in kuralın ve bu doğrudur çünkü ne olursa olsun $f$ biz var $D$ commutation kuralı $a \ mapsto {\ dot {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbb {C} (t)}$ ${\ mathbf {\ kısmi =}} {\ frac {d} {dt}}$ ${\ displaystyle f \ in \ mathbf {D}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ kısmi} (af) = {\ nokta {a}} f + a \ kısmi f}$

{\ mathbf {\ kısmi}} aa \ kısmi = {\ nokta {a}}

Bu kural ile sağlanan $D$ halkası , değişmeyen ve basit bir ana halkadır. Ek olarak, solda ve sağda $F$ fraksiyonlarının bir alanını kabul eden bir Cevher halkasıdır . $F'nin$ her bir elemanı $a$ $-1$ $b$ $=$ $b$ $'$ $a'$ $-1$ biçimini alır, burada $a$ $,$ $a '$ $,$ $b$ $,$ $b'$ $D'ye$ aittir ve $a$ $,$ $a '$ sıfırdan farklıdır.

Cebirsel bir bakış açısından, bir diferansiyel sistem doğrusal katsayısı $K$ , $D$ üzerindeki bir birim bitirme türüdür . Bir sütun $u$ arasında $m$ elemanlarının $U$ $ı$ içinde , eğer sisteme girdi olarak seçilebilir $D$ Modül $[$ $u$ $]$ $D$ tarafından oluşturulan $u$ $ı$ sıralaması içermeyen $m$ bölüm olduğu ve $E$ $/ [$ $u$ $]$ $D$ torsiyon olup. O halde sistemin çıktısını temsil eden elemanlar sütununu gösterelim . $M$ $M$ $y$ $q$ $y _ {{i}}$

Laplace işlevini düşünün :

{\ mathcal {L}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} -

Diyerek yukarıdaki miktarlar bu kanonik görüntüleri içinde formun bir temeli $F$ -vector alanı . Bu nedenle, işaret ederek kanonik görüntü olarak , özel bir matris vardır $G$ $\in$ $F$ $q$ $x$ $m$ şekildedir ${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {i} = 1 _ {\ mathbf {F}} \ otimes u_ {i}}$ ${\ hat {M}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} M$ ${\ hat {M}}$ ${\ hat {y}} _ {{i}}$ $y _ {{i}}$ ${\ hat {M}}$

{\ hat {y}} = G {\ hat {u}}

Bu matris $G$ , değişken katsayılı sistemin transfer matrisidir .

Ayrık zaman sistemleri durumu

Ayrık zamanlı sistemler durumu şu şekilde ele alınabilir: bu sefer , gelişmiş operatörle sağlanan bir fark alanını ele alıyoruz . Let halka sol Laurent polinomları olarak belirsiz $q,$ (bir uzantısı olan önceden operatör komütasyon hakları ile sağlanır) . Bu $D$ halkası , daha önce olduğu gibi, değişmeyen ve basit bir ana halkadır (bu son özellik , temel olan ancak basit olmayan sol polinomların halkasına göre $D'$ nin avantajını sağlar ) ve $F$ , sol ve $F$ fraksiyonlarının bir alanını kabul eder ve sağ. $D$ üzerinden bir modül türüyle tanımlanacak doğrusal bir ayrık zamanlı sistem . Bir önceki paragrafın yapısı, Z'ye dönüştürülen functor sayesinde daha sonra değiştirilmeden tekrarlanabilir : ${\ mathbf {K}}$ ${\ displaystyle \ alpha: x (t) \ mapsto x (t + 1)}$ ${\ mathbf {D}} = {\ mathbf {K}} \ left [q, q ^ {{- 1}}; \ alpha \ sağ]$ $\alfa$ ${\ displaystyle qa = \ alpha (a) q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ mathbf {K} [q; \ alpha]}$

{\ mathcal {Z}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} -

Notlar ve referanslar

Notlar

Bose 2003
Pommaret 2001 , Zerz 2003
Mitra ve Ekstrom 1978
Le Ballois ve Codron 2006
Bourlès 2010 , §11.1.4.
Dieudonné 1975 , §22.19
Fliess 1994
Bourlès ve Marinescu 2011 , Böl . 11
bak ikili arasındaki ilişki dönüşümü ve dönüşümü tek taraflı ve Laplace dönüşümü .
Bourlès 2010 , Böl . 7.
Bourlès 2010 , §10.3.3
Bourlès 2010 , §2.4.2
MacFarlane ve Karcanias 1976
Bourlès 2010 , §2.4.5
MacFarlane ve Karcanias 1976 , Schrader ve Sain 1989
Curtain ve Zwart 1995
Kamen 1980
Bellman ve Cooke 1963
Mounier 1995 , Rocha ve Willems 1997
Gluesing-Luerssen 2001
Bourlès ve Marinescu 2011 , §4.3.1
Bourlès ve Marinescu 2011 , §2.5.3
Fliess 1990
Fliess 1989
Bourlès ve Marinescu 2011 , § 2.8.3

Referanslar

(en) Richard Bellman ve Kenneth L. Cooke , Diferansiyel-Fark Denklemleri , Academic Press Inc,1963, 462 s. ( ISBN 0-12-084850-3 )
(en) NK Bose , Çok Boyutlu Sistemler Teorisi ve Uygulamaları , Kluwer Academic Publishers,2003, 292 s. ( ISBN 1-4020-1623-9 )
(tr) Henri Bourlès , Doğrusal Sistemler , John Wiley & Sons,2010, 544 s. ( ISBN 978-1-84821-162-9 ve 1-84821-162-7 )
(tr) Henri Bourlès ve Bogdan Marinescu , Doğrusal Zamanla Değişen Sistemler: Cebirsel-Analitik Yaklaşım , Springer,2011, 638 s. ( ISBN 978-3-642-19726-0 ve 3-642-19726-4 , çevrimiçi okuma )
(en) Ruth F. Curtain ve Hans Zwart , Sonsuz Boyutlu Doğrusal Sistemler Teorisine Giriş , Springer,1995, 716 s. ( ISBN 0-387-94475-3 , çevrimiçi okuyun )
Jean Dieudonné , Elements of Analysis , cilt. 6, Paris, Gauthier-Villars,1975, 197 s. ( ISBN 2-87647-216-3 )
Michel Fliess , " Ayrık zamanda ve fark cebirinde otomatik ", Forum Mathematicum ,1989, s. 227-238
(en) Michel Fliess , " Genelleştirilmiş doğrusal sistemlerin bazı temel yapısal özellikleri " , Systems & Control Letters , cilt. 15,1990, s. 391-396
Michel Fliess , " Laplace dönüşümü ve transfer matrislerinin cebirsel bir yorumu ", Lineer Cebir Appl. ,1994, s. 202-203, 429-442
(en) Heide Gluesing-Luerssen , Orantılı Gecikmeli Doğrusal Gecikmeli Diferansiyel Sistemler: Cebirsel Bir Yaklaşım , Berlin / Heidelberg / New York vb., Springer,2001, 188 s. ( ISBN 3-540-42821-6 , çevrimiçi okuyun )
(tr) EW Kamen , " Yığınla Dağıtılmış Ağlar, Gecikmeli Diferansiyel Sistemler ve 2 Boyutlu Sistemler Temsil ve Gerçekleştirme Üzerine Bir Not " , IEEE Trans. Sistem devreleri , cilt. 27,1980, s. 430-432
Sandrine Le Ballois ve Pascal Codron , Otomatik: doğrusal ve sürekli sistemler , Paris, Dunod,2006, 2 nci baskı. , 300 p. ( ISBN 2-10-049732-4 )
(en) AGJ MacFarlane ve N. Karcanias , " Doğrusal çok değişkenli sistemlerin kutupları ve sıfırları: cebirsel, geometrik ve karmaşık değişken teorisinin incelenmesi " , International Journal of Control , cilt. 24, n o 1,1976, s. 33-74
(tr) SK Mitra ve MP Ekstrom (editörler), Two-Dimensional Digital Signal Processing , Dowden, Hutchingon & Ross,1978( ISBN 0-87933-320-0 )
Hugues Mounier , Doğrusal gecikme sistemlerinin yapısal özellikleri: teorik ve pratik yönler: Fen Bilimleri Doktora tezi , Paris Sud Üniversitesi,24 Ekim 1995
(tr) JF Pommaret , Kısmi Diferansiyel Kontrol Teorisi , cilt. 1 ve 2, Kluwer Academic Publishers,2001( ISBN 0-7923-7037-6 )
(en) P. Rocha ve JC Willems , " Gecikmeli Diferansiyel Sistemlerin Davranışsal Kontrol Edilebilirliği " , SIAM J. Control Opt. , cilt. 35, n o 1,1997, s. 254-264
(tr) CB Schrader ve MK Sain , " Sistem sıfırları üzerine araştırma: anket " , International Journal of Control , cilt. 50, n, o , 4,1989, s. 1407-1433
(tr) Eva Zerz , Çok Boyutlu Doğrusal Sistemler Teorisinde Konular , Springer,2003, 174 p. ( ISBN 1-85233-336-7 , çevrimiçi okuyun )

Ayrıca görün