Metrik tensör
İn geometrisi , ve daha özel olarak içinde diferansiyel geometri , metrik tensör a, tensör mümkün tanımlamak hale 2 seviyesinde sayısal ürün iki vektörlerinin bir boşluk, her bir noktada ve hangi ölçümü için kullanılan uzunlukları ve açılar . Pisagor teoremini genelleştirir . Bir de verilen koordinat sistemi , metrik tensör bir şekilde temsil edilebilir simetrik bir matris , genellikle belirtildiği çok ve (büyük harf), matris karıştırmamaya, metrik tensör g .
G{\ görüntü stili G}
Aşağıda, Einstein'ın toplama kuralı kullanılmıştır.
Tanım
n sonlu boyutlu bir vektör uzayının metrik tensörü, aşağıdakiler üzerinde tanımlanan 2. sıradaki bir kovaryant tensördür (yani bir çift doğrusal form ) :
E{\ görüntü stili E}E{\ görüntü stili E}
g:E×E→$(sen,v)↦g(sen,v){\ displaystyle {\ start {hizalanmış} g \,: \, & E \ kez E & \ to & \, \, \, \ mathbb {R} \\ & (\ mathbf {u}, \ mathbf {v} ) & \mapsto & \, \, \, g (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) \ end {hizalanmış}}}
g{\ görüntü stili g} dır-dir :
-
simetrik : ;∀sen,v∈E×Eg(v,sen)=g(sen,v){\ displaystyle \ forall \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in E \ çarpı E \ dörtlü g (\ mathbf {v}, \ mathbf {u}) = g (\ mathbf {u}, \ mathbf { v})}
-
dejenere olmayan : ;∀sen∈E,[∀v∈E,g(sen,v)=0]⇒sen=0{\ displaystyle \ forall \ mathbf {u} \ E'de, \ sol [\ forall \ mathbf {v} \ E'de, g (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = 0 \ sağ] \ Sağ Ok \ matematik {u} = 0}
-
pozitif : ( sözde metrikler dışında , aşağıya bakın). Bu tensör ile sağlanan E o zaman bir Öklid uzayıdır .∀sen∈Eg(sen,sen)⩾0{\ displaystyle \ forall \ mathbf {u} \ in E \ dörtlü g (\ mathbf {u}, \ mathbf {u}) \ geqslant 0}
Daha genel olarak, bir diferansiyel manifoldun metrik tensörü, manifoldun her noktasında, bu noktada manifolda teğet olan uzay üzerindeki bir metrik tensörün referans noktasıdır. Bu manifolda bir metrik tensör atamak, onu bir Riemann manifoldu (veya bir pseudo-metrik durumunda bir pseudo-Riemann manifoldu ) yapar.
Biz belirtmek skaler ürünü iki vektörlerin ve i = uygulama 1, ..., n, aşağıdaki gibi:
senbeneben{\ displaystyle u ^ {i} \ matematik {e} _ {i}}vjej{\ displaystyle v ^ {j} \ matematik {e} _ {j}}
g(sen,v)=g(senbeneben,vjej)=senbenvjg(eben,ej)=senbenvjgbenj.{\ displaystyle g (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = g (u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}, v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}) = u ^ {i} v ^ {j} g (\ mathbf {e} _ {i}, \ mathbf {e} _ {j}) = u ^ {i} v ^ {j} g_ {ij}.}
Gösterim geleneksel olarak metrik tensörün bileşenleri için kullanılır. Kısıtlı Görelilik'te, ardından Genel'de , metrik tensör g μν kuralıyla gösterilir; burada μ ve ν {0,1,2,3} kümesinin elemanlarıdır.
gbenj{\ displaystyle g_ {ij}}
Olarak iki alan arasında , konjüge mt 'dekine , gösterilen ve adı metrik çift ya da metrik ters (matris olarak bileşenlerini temsil ters metrik bileşenlerini temsil bunun , a,) kontravaryant tensör . Kontravaryant bileşenleri kovaryant bileşenlere dönüştürmeye izin veren kimliğe saygı duyar ve bunun tersi de geçerlidir.
E{\ görüntü stili E}E{\ görüntü stili E}gbenj{\ displaystyle g ^ {ij}}E{\ görüntü stili E}gμνgνρ=δρμ{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \, g _ {\ nu \ rho} \, = \, \ delta _ {\ rho} ^ {\ mu} \,}
sözde metrik
Her zaman pozitif olmadığında, sözde metrikten bahsedebiliriz (bu, örneğin Minkowski uzayının Lorentzian metriği ( Minkowski metriği olarak da adlandırılır ) durumudur ). Bu çerçevede, (ki bunu daha sonra belirteceğiz ) sözde-norm karesini temsil eder .
g(x,x){\ görüntü stili g (x, x)}g(x,x){\ görüntü stili g (x, x)}η(x,x){\ displaystyle \ eta (x, x) \,}
Minkowski (veya Lorentz) metriği
Bu ifade Minkowskian mesafe iki nokta arasında ve aşağıdaki şekilde tanımlanır:
s{\ görüntü stili s}P1{\ görüntü stili P_ {1}}P2{\ görüntü stili P_ {2}}
s2=η(P1P2→,P1P2→)=ημν(x2μ-x1μ)(x2ν-x1ν){\ displaystyle s ^ {2} = \ eta {\ bigl (} {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {2}}}, {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {2}}} {\ bigr)} = \ eta _ {\ mu \ nu} (x_ {2} ^ {\ mu} -x_ {1} ^ {\ mu}) (x_ {2} ^ {\ nu} -x_ {1} ^ {\ nu })}
skaler ürünün matrisi olarak:
(ημν)=(-1000010000100001){\ displaystyle (\ eta _ {\ mu \ nu}) = {\ başlangıç {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ bitiş {pmatrix}}}
ve iki sonsuz komşu nokta arasındaki kare Minkowskian mesafe :
ds2{\ displaystyle \ matematik {d} s ^ {2}}
ds2=ημνdxμdxν{\ displaystyle \ matrm {d} s ^ {2} \, = \, \ eta _ {\ mu \ nu} \, \ matrm {d} x ^ {\ mu} \, \ matrm {d} x ^ { \ nu}}
Böyle bir uzayın vektörü için aşağıdaki tanımlara sahibiz:
x{\ görüntü stili x}
{η(x,x)>0⟺xuzaya yöneliktir.η(x,x)=0⟺xizotropiktir.η(x,x)<0⟺xzaman odaklıdır.{\ displaystyle {\ start {cases} \ eta (x, x)> 0 & \ iff & x \, {\ text {uzayda yönlendirilir.}} \\\ eta (x, x) = 0 & \ iff & x \, {\ text {izotropiktir.}} \\\ eta (x, x) <0 & \ iff & x \, {\ text {zaman yönelimlidir.}} \\\ end {durumlar}}}
Aşağıdaki denklem ile tarif edilen bu, uzay-zaman bir eğri , bir parametredir, bir teğet vektörü olarak kabul . Bu vektörün sözde-norm karesinin işareti, seçiminden bağımsızdır ve aşağıdaki tanımlara sahibiz (bkz. özel görelilik ):
(x0(τ),x1(τ),x2(τ),x3(τ)){\ görüntü stili (x ^ {0} (\ tau), x ^ {1} (\ tau), x ^ {2} (\ tau), x ^ {3} (\ tau))}τ{\ görüntü stili \ tau}dxμ/dτ{\ displaystyle \ matematik {d} x ^ {\ mu} / \ matematik {d} \ tau}τ{\ görüntü stili \ tau}
{η(dxμdτ,dxμdτ)>0⟺eğrixμ(τ)bir tür boşluktur.η(dxμdτ,dxμdτ)=0⟺eğrixμ(τ)hafif tiptedir.η(dxμdτ,dxμdτ)<0⟺eğrixμ(τ)bir tür hava durumudur.{\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} \ eta ({\ frac {\ matematik {d} x ^ {\ mu}} {\ matematik {d} \ tau}}, {\ frac {\ matematik {d} x ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}})> 0 & \ iff & {\ text {eğri}} \, x ^ {\ mu} (\ tau) \, {\ text {gibidir boşluk.}} \\\ eta ({\ frac {\ matematik {d} x ^ {\ mu}} {\ matematik {d} \ tau}}, {\ frac {\ matematik {d} x ^ {\ mu }} {\ matematik {d} \ tau}}) = 0 & \ iff & {\ metin {eğri}} \, x ^ {\ mu} (\ tau) \, {\ metin {ışık gibidir.} } \\\ eta ({\ frac {\ matrm {d} x ^ {\ mu}} {\ matrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ matrm {d} x ^ {\ mu}} { \ matrm {d} \ tau}}) <0 & \ iff & {\ text {Eğri}} \, x ^ {\ mu} (\ tau) \, {\ text {zaman gibidir.}} \ end {durumlar}}}
doğrusal koordinatlar
Gelen koordinat sistemine herhangi bir baz vektör uzayında , metrik tensör ilgili olarak temsil edilir bileşenler , bu baz. Bu bileşenler, bir taban değişikliği sırasında girdileri kovaryant bir şekilde dönüştürülen simetrik bir matris şeklini alır :
(de→,b→,vs→){\ görüntü stili ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}E{\ görüntü stili E}E{\ görüntü stili E} G{\ görüntü stili G}
G=(de→.de→de→.b→de→.vs→b→.de→b→.b→b→.vs→vs→.de→vs→.b→vs→.vs→){\ displaystyle G = {\ start {pmatrix} \, {\ vec {a}}. {\ vec {a}} &&& {\ vec {a}}. {\ vec {b}} &&& {\ vec {a }} {\ vec {c}} \, \, \\\, {\ vec {b}} {\ vec {a}} &&& {\ vec {b}} {\ vec {b}} &&& {\ vec {b}}. {\ vec {c}} \, \, \\\, {\ vec {c}}. {\ vec {a}} &&& {\ vec {c}}. {\ vec {c}}. {b}} &&& {\ vec {c}} {\ vec {c}} \, \, \ end {pmatrix}}}
burada dot ürünü anlamına gelir, ve .
de→.b→{\ displaystyle {\ vec {a}}. {\ vec {b}}}de→{\ görüntü stili {\ vec {a}}}b→{\ görüntü stili {\ vec {b}}}
Eğer biri başka bir taban biliyorsa, fakat ortonormal olan (söz konusu skaler ürüne kıyasla, yani metrik tensör ile ilişkili olana kıyasla), o zaman tabanın vektörlerini bu taban ortonormaline göre ifade ederek , bunları hesaplamak kolay olacaktır. nokta ürünleri.
(de→,b→,vs→){\ görüntü stili ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}
Eğrisel koordinatlar durumu
Eğrisel bir koordinat sistemi söz konusu olduğunda (boyutun ℳ diferansiyel manifoldu üzerinde ), orada global bir içsel taban tanımlayamayız, çünkü yerel (iç) tabanın vektörleri , ℳ'nin mevcut noktası (koordinatların ) değiştiğinde değişir. sonra bir tensör alanı olur . (Sözde “yerel bazların alanı” Holonomik baz , baz koordinatlar (in) veya düz koordinat sistemi , biz referanslar sonsuz vektörler kullanılır), bu nedenle bir “sonsuz skalar ürün” olarak görülebilir. Daha sonra aşağıdaki yazıyı benimseriz: (burada sonsuz küçük yayın uzunluğunu belirtir).
m{\ görüntü stili m}eben{\ displaystyle \ matematik {e} _ {i}}xben{\ görüntü stili x ^ {i}}g{\ görüntü stili g} g{\ görüntü stili g}ds2=gbenjdxbendxj{\ displaystyle \ matematik {d} s ^ {2} = g_ {ij} \ matematik {d} x ^ {i} \ matematik {d} x ^ {j}}ds{\ displaystyle \ matematik {d} s}
Dış verilerden hesaplama
Eğer ℳ bir Öklid uzayına (boyutunun ) daldırılırsa , bu Öklid uzayındaki nokta çarpım ℳ üzerinde bir nokta çarpım oluşturacaktır. Arama alanı meydana getirilen bu husus skalar çarpımın ilgili ℳ ile (kaynaklı) metrik tensörü. Olsun (bu nedenle ℳ için bir dışsal baz) bu Öklid alan bir ortonormal. Ortonormal bir temelde, metrik tensörün bileşenlerinin (bkz. Kronecker delta ) olduğuna dikkat edin . Bize diyelim , jakobiyen matris bazında ℳ mevcut noktasının koordinatları ifade (dolayısıyla bu koordinatlar dışsal olan) göre aynı noktada kavisli koordinatları (çeşitli ℳ içsel). Sütunları bir nokta çevresinde hesaplanan ℳ bu noktaya çevresinde koordinat hatları (kavisli) bir doğrusal ortalamasını temin bunlar bazında bileşenleri vermek için, olan vektörlerin teğet koordinat hatlarına ve yerel bir temel teşkil eden olarak , söz konusu kavisli koordinatları ile birlikte. O zaman metrik tensörün bileşenlerini (yerel tabanda) elde etmek için yerel taban vektörlerinin olası skaler ürünlerini hesaplamak yeterlidir . Bu hesaplama tutarındadır olarak . Metrik tensörün bileşenlerini yerel tabanda temsil eden ve dikkate alınacak olan bu matrisin kendi devrik olduğunu, yani simetrik bir matris olduğunu belirtelim . Bunun bir kare matris (m × m) olduğuna dikkat edin , oysa ki bir matris olan (n × m) genel olarak değildir (çünkü manifoldun ℳ boyutu genel olarak, içinde bulunduğu Öklid uzayından daha küçüktür). batırılır).
değil≥m{\ displaystyle n \ geq m}B(e″1,e″2,...,e″değil){\ displaystyle B \, (\ mathbf {e ''} _ {1}, \ mathbf {e ''} _ {2}, ..., \ mathbf {e ''} _ {n})}gbenj=δbenj{\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij}}J{\ görüntü stili J}B{\ görüntü stili B}J{\ görüntü stili J}M{\ görüntü stili M}M{\ görüntü stili M}B{\ görüntü stili B}M{\ görüntü stili M}(e1,e2,...,em){\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, ..., \ mathbf {e} _ {m})}M{\ görüntü stili M}m2{\ görüntü stili m ^ {2}}M{\ görüntü stili M}JTJ{\ görüntü stili J ^ {\ matematik {T}} J}M{\ görüntü stili M}G{\ görüntü stili G}J{\ görüntü stili J}
G(M)=JT(M)J(M){\ displaystyle G (M) = J ^ {\ matematik {T}} (M) \, J (M)}
veya dizin gösteriminde:
gbenj(M)=Jbenk(M)Jjk(M){\ displaystyle g_ {ij} (M) = J_ {i} ^ {k} (M) \, J_ {j} ^ {k} (M)}
İpuçlarının yükselişi ve düşüşü
Metrik tensör, vektörlerin, diferansiyel formların veya tensörlerin bileşenlerinin indekslerini yükseltmeyi veya düşürmeyi mümkün kılar. Vektörün durumunu alın . Bu vektör, metrik tensör aracılığıyla, bir vektörle gerçeği ilişkilendiren ikili uzayın doğrusal biçimini , öğesini tanımlamayı mümkün kılar . İki vektörün ve metrik tensörün bileşenlerinin bir fonksiyonu olarak bu gerçeklik şu şekilde ifade edilir:
x=xαeα{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {\ alpha} \ matbf {e _ {\ alpha}}}g(x,.){\ displaystyle g (\ mathbf {x},.)}y{\ görüntü stili \ matematik {y}}g(x,y){\ displaystyle g (\ mathbf {x}, \ mathbf {y})}
g(x,y)=xαgαβyβ{\ displaystyle g (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = x ^ {\ alpha} g _ {\ alpha \ beta} y ^ {\ beta}}İkili tabanda bu, doğrusal formun bileşenlere sahip olduğu anlamına gelir . Başka bir deyişle, bir vektörün bileşenlerinden , metrik tensör aracılığıyla “ endeksleri düşürerek ” ilgili lineer formun bileşenlerine geçilir , vektör kovector'a dönüştürülür .
eβ=(eβ)⋆{\ displaystyle \ mathbf {e ^ {\ beta}} = (\ mathbf {e _ {\ beta}}) ^ {\ yıldız}}g(x,.){\ displaystyle g (\ mathbf {x},.)}xβ=xαgαβ{\ displaystyle x _ {\ beta} = x ^ {\ alpha} g _ {\ alpha \ beta}}xαeα{\ displaystyle x ^ {\ alpha} \ mathbf {e _ {\ alpha}}} xβeβ{\ displaystyle x _ {\ beta} \ matematik {e ^ {\ beta}}}
Kendimize bir doğrusal biçim vermektedir Tersine, biz “tarafından ve ortaya çıktığı vektör sulandırmak endeks yukarı gidiyor ” , bileşen: tensör olmak ters metrik tensör arasında .
φβeβ{\ displaystyle \ varphi _ {\ beta} \ mathbf {e ^ {\ beta}}}xα=gαβφβ{\ displaystyle \, \, x ^ {\ alpha} = g ^ {\ alpha \ beta} \ varphi _ {\ beta}}gαβ{\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}g{\ görüntü stili g}
kimliğimiz var .
gμνgνρ=δρμ{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \, g _ {\ nu \ rho} \, = \, \ delta _ {\ rho} ^ {\ mu} \,}
Mesafeler ve açılar
Bir eğri segment uzunluğu parametreli noktadan başlayarak, en ve noktasına gelmeden de tanımlanır:
t{\ görüntü stili t}de{\ görüntü stili a}t1{\ görüntü stili t_ {1}}b{\ görüntü stili b}t2{\ görüntü stili t_ {2}}
L=∫debds2=∫debgbenjdxbendxj=∫t1t2gbenjdxbendtdxjdtdt{\ displaystyle L \, = \, \ int _ {a} ^ {b} \, {\ sqrt {{\ matematik {d} s ^ {2}} \,}} \, = \, \ int _ { a} ^ {b} \, {\ sqrt {g_ {ij} \, \ matematik {d} x ^ {i} \, \ matematik {d} x ^ {j} \,}} \, = \, \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \, {\ sqrt {g_ {ij} \, {\ frac {\ matematik {d} x ^ {i}} {\ matematik {d} t} } \, {\ frac {\ matematik {d} x ^ {j}} {\ matematik {d} t}} \,}} \, \, {\ matematik {d} t}}
yerel koordinat sisteminde bu eğriyi açıklayan denklem nerede ?
(x1(t),...,xdeğil(t)){\ görüntü stili (x ^ {1} (t), ..., x ^ {n} (t))}
Aynı noktada iki vektör ve teğet arasındaki açı şu şekilde tanımlanır:
θ{\ görüntü stili \ teta} sen{\ ekran stili u}v{\ görüntü stili v}
çünküθ=gbenjsenbenvj|gbenjsenbensenj||gbenjvbenvj|{\ displaystyle \ cos \ teta \, = \, {\ frac {g_ {ij} \, u ^ {i} \, v ^ {j}} {\, \, {\ sqrt {\, \ sol | \ , g_ {ij} \, u ^ {i} \, u ^ {j} \, \ sağ | \, \, \ sol | \, g_ {ij} \, v ^ {i} \, v ^ {j } \, \ sağ | \,}} \, \,}}}
Metrik tensörün bilgisi, bu tensörün tanımlandığı uzayın jeodeziklerinin belirlenmesini de mümkün kılar .
Temel değişiklik
Bir temel değişikliği sırasında, metrik tensörün bileşenleri kovaryant bir şekilde dönüşür , yani:
gkben′=M kbenM benj gbenj{\ displaystyle g '_ {kl} = M _ {\ k} ^ {i} M _ {\ l} ^ {j} \ g_ {ij}}
burada bir geçidin matris bir bileşeni bildiği bir bazın bir bileşeni arar olan bir taban kısmına doğru metriğin aynı metriğin.
M{\ görüntü stili M}gbenj{\ displaystyle g_ {ij}}gbenj′{\ displaystyle g '_ {ij}}
Veya matris notasyonunda:
G′=MTGM {\ displaystyle G '= M ^ {T} GM ~}
Kısmi türevli çift sözleşmeli ürün
İki kat taahhütlü ürün metrik tensörü ve bir yükseltilmiş ürünün faktörü ve diğer faktörlere indekslerinin endeksleri indirilir kısmi türev değişiklikler işareti:
gbenjgbenj,k=-gbenjgbenj,k{\ displaystyle g ^ {ij} g_ {ij, k} = - g_ {ij} g ^ {ij, k}}.
gösteri
Matris , metrik tensör matrisinin tersidir :
gbenj{\ displaystyle g ^ {ij}} gbenj{\ displaystyle g_ {ij}}
gbenjgjk=δkben{\ displaystyle g ^ {ij} \, g_ {jk} = \ delta _ {k} ^ {i}}.
alarak buluruz
k=ben{\ görüntü stili k = ben}
gbenjgjben=δbenben=değil{\ displaystyle g ^ {ij} \, g_ {ji} = \ delta _ {i} ^ {i} = n}düşünülen alanın boyutu nerede .
değil{\ görüntü stili n}Endekse göre üyeden üyeye türeterek ,
k{\ görüntü stili k}
∂kdeğil=0=∂k(gbenjgjben)=(∂kgbenj)gjben+gbenj∂kgjben{\ displaystyle \ kısmi _ {k} \, n = 0 = \ kısmi _ {k} \, (g ^ {ij} \, g_ {ji}) = (\ kısmi _ {k} \, g ^ {ij }) \, g_ {ji} + g ^ {ij} \, \ kısmi _ {k} \, g_ {ji}},
bu nedenle
gbenj∂kgjben=-gjben∂kgbenj{\ displaystyle g ^ {ij} \, \ kısmi _ {k} \, g_ {ji} = - \, g_ {ji} \, \ kısmi _ {k} \, g ^ {ij}}.
Metrik tensör simetrik olduğundan, bu şuna eşdeğerdir:
gbenj∂kgbenj=-gbenj∂kgbenj{\ displaystyle g ^ {ij} \, \ kısmi _ {k} \, g_ {ij} = - \, g_ {ij} \, \ kısmi _ {k} \, g ^ {ij}},
istenen sonuç budur.
-
gbenj,k{\ displaystyle g_ {ij, k}}bir tensör değildir (hangisi olmasaydı işareti olurdu ) +{\ görüntü stili +} .
- Öte yandan, metrik tensörün kovaryant türevi hesaplandığında, bir tensör elde edilir, ancak bu tensör boştur .gbenj;k{\ displaystyle g_ {ij; k}}
Bazı örnekler
örnek 1
Bir de 2 boyutlu Öklid alanı , Kartezyen koordinat sisteminin ortonormal alarak, metrik tensörünün bileşenleri ile verilir:
G=(1001){\ displaystyle G = {\ başlangıç {pmatrix} 1 ve 0 \\ 0 ve 1 \ bitiş {pmatrix}}}
ve bir eğrinin yayının uzunluğu:
L=∫deb(dx1)2+(dx2)2{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {(\ matematik {d} x ^ {1}) ^ {2} + (\ matematik {d} x ^ {2}) ^ { 2}}}}
Örnek 2
Bir Öklid boyut uzayının küresel koordinat sistemi için metrik tensör bileşenlerini hesaplamayı öneriyoruz . Aşağıdaki denklemler bize bu Öklid uzayının bir noktasının koordinatlarını, bu noktanın küresel koordinatlarının bir fonksiyonu olarak ifade edilen bir ortonormal Kartezyen koordinat sistemine göre verir :
3{\ görüntü stili 3 \,}(x,y,z){\ görüntü stili (x, y, z)}(r,θ,ϕ){\ görüntü stili (r, \ teta, \ phi)}
{x=rgünahθçünküϕy=rgünahθgünahϕz=rçünküθ{\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} x = r \ günah \ teta \ cos \ phi \\ y = r \ günah \ teta \ sin \ phi \\ z = r \ cos \ teta \ bitiş {vakalar}}}
Şimdi bu koordinat değişiminin Jacobian matrisini yazabiliriz :
J=(∂(rgünahθçünküϕ)∂r∂(rgünahθçünküϕ)∂θ∂(rgünahθçünküϕ)∂ϕ∂(rgünahθgünahϕ)∂r∂(rgünahθgünahϕ)∂θ∂(rgünahθgünahϕ)∂ϕ∂(rçünküθ)∂r∂(rçünküθ)∂θ∂(rçünküθ)∂ϕ)=(günahθçünküϕrçünküθçünküϕ-rgünahθgünahϕgünahθgünahϕrçünküθgünahϕrgünahθçünküϕçünküθ-rgünahθ0){\ displaystyle \ dörtlü J = {\ başlangıç {pmatrix} {\ frac {\ kısmi (r \ sin \ teta \ cos \ phi)} {\ kısmi r}} & {\ frac {\ kısmi (r \ günah \ teta) \ cos \ phi)} {\ kısmi \ teta}} & {\ frac {\ kısmi (r \ sin \ teta \ cos \ phi)} {\ kısmi \ phi}} \\ {\ frac {\ kısmi (r \ sin \ teta \ sin \ phi)} {\ kısmi r}} & {\ frac {\ kısmi (r \ sin \ teta \ sin \ phi)} {\ kısmi \ teta}} & {\ frac {\ kısmi (r \ sin \ teta \ sin \ phi)} {\ kısmi \ phi}} \\ {\ frac {\ kısmi (r \ cos \ teta)} {\ kısmi r}} & {\ frac {\ kısmi (r \ cos) \ teta)} {\ kısmi \ teta}} & {\ frac {\ kısmi (r \ cos \ teta)} {\ kısmi \ phi}} \ bitiş {pmatrix}} = {\ başlangıç {pmatrix} \ günah \ teta \ cos \ phi & r \ cos \ teta \ cos \ phi & -r \ sin \ teta \ sin \ phi \\\ sin \ teta \ sin \ phi & r \ cos \ teta \ sin \ phi & r \ sin \ teta \ cos \ phi \\\ cos \ teta & -r \ sin \ teta & 0 \ son {pmatrix}}}
Dışsal verilerden §Hesaplama sonuçlarını uygulayarak, küresel koordinat sistemine göre yerel tabandaki metrik tensörün bileşenleri , bu Jacobian matrisinin bu Jacobian matrisinin kendisi tarafından devrilmesinin çarpımı tarafından verilecektir, bu nedenle şunu buluruz: :
(gbenj)=JTJ=(1000r2000r2günah2θ){\ displaystyle (\, g_ {ij} \,) = J ^ {\ mathsf {T}} \, J = {\ başlangıç {pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && r ^ {2} && 0 \ \ 0 && 0 && r ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta \ end {pmatrix}}}
Ayrıntılar
(gbenj)=JTJ=(günahθçünküϕgünahθgünahϕçünküθrçünküθçünküϕrçünküθgünahϕ-rgünahθ-rgünahθgünahϕrgünahθçünküϕ0)(günahθçünküϕrçünküθçünküϕ-rgünahθgünahϕgünahθgünahϕrçünküθgünahϕrgünahθçünküϕçünküθ-rgünahθ0){\ displaystyle (\, g_ {ij} \,) = J ^ {\ mathsf {T}} \, J = {\ start {pmatrix} \ sin \ teta \ cos \ phi && \ sin \ teta \ sin \ phi && \ cos \ teta \\ r \ cos \ teta \ cos \ phi && r \ cos \ teta \ sin \ phi && - r \ sin \ teta \\ - r \ sin \ teta \ sin \ phi && r \ sin \ teta \ cos \ phi && 0 \ bitiş {pmatrix}} {\ başlangıç {pmatrix} \ sin \ teta \ cos \ phi && r \ cos \ teta \ cos \ phi && - r \ sin \ teta \ sin \ phi \\ \ sin \ teta \ sin \ phi && r \ cos \ teta \ sin \ phi && r \ sin \ teta \ cos \ phi \\\ cos \ teta && - r \ sin \ teta && 0 \ son {pmatrix}}}
g11=günah2θçünkü2ϕ+günah2θgünah2ϕ+çünkü2θ=günah2θ(çünkü2ϕ+günah2ϕ)+çünkü2θ=günah2θ+çünkü2θ=1g21=rçünküθgünahθçünkü2ϕ+rçünküθgünahθgünah2ϕ-rçünküθgünahθ=rçünküθgünahθ(çünkü2ϕ+günah2ϕ)-rçünküθsbendeğilθ=rçünküθgünahθ-rçünküθgünahθ=0g31=-rgünah2θgünahϕçünküϕ+rçünküϕgünah2θgünahϕ+0=0g12=rgünahθçünküθçünkü2ϕ+rgünahθçünküθgünah2ϕ-rgünahθçünküθ=rgünahθçünküθ(çünkü2ϕ+günah2ϕ)-rgünahθçünküθ=rgünahθçünküθ-rgünahθçünküθ=0g22=r2çünkü2θçünkü2ϕ+r2çünkü2θgünah2ϕ+r2günah2θ=r2çünkü2θ(çünkü2ϕ+günah2ϕ)+r2günah2θ=r2çünkü2θ+r2günah2θ=r2g32=-r2günahθgünahϕçünküθçünküϕ+r2günahθgünahϕçünküθçünküϕ+0=0g13=-rgünah2θçünküϕgünahϕ+rgünah2θgünahϕçünküϕ+0=0g23=-r2günahθgünahϕçünküθçünküϕ+r2günahθgünahϕçünküθçünküϕ+0=0g33=r2günah2θgünah2ϕ+r2günah2θçünkü2ϕ+0=r2günah2θ(günah2ϕ+çünkü2ϕ)=r2günah2θ{\ displaystyle {\ start {aligned} g_ {11} & = \ sin ^ {2} \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi + \ cos ^ {2} \ theta \\ & = \ sin ^ {2} \ theta \, (\ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) + \ cos ^ {2 } \ teta \\ & = \ günah ^ {2} \ teta + \ cos ^ {2} \ teta \\ & = 1 \\ g_ {21} & = r \, \ cos \ teta \, \ günah \ teta \, \ cos ^ {2} \ phi + r \, \ cos \ teta \, \ sin \ teta \, \ günah ^ {2} \ phi -r \ cos \ teta \, \ sin \ teta \\ & = r \, \ cos \ teta \, \ günah \ teta \, (\ cos ^ {2} \ phi + \ günah ^ {2} \ phi) -r \, \ cos \ teta \, günah \ teta \\ & = r \, \ cos \ teta \, \ günah \ teta -r \, \ cos \ teta \, \ günah \ teta \\ & = 0 \\ g_ {31} & = - r \, \ günah ^ {2 } \ teta \, \ sin \ phi \, \ cos \ phi + r \, \ cos \ phi \, \ sin ^ {2} \ teta \, \ sin \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ { 12} & = r \, \ sin \ teta \, \ cos \ teta \, \ cos ^ {2} \ phi + r \, \ sin \ teta \, \ cos \ teta \, \ günah ^ {2} \ phi -r \, \ sin \ teta \, \ cos \ teta \\ & = r \, \ sin \ teta \, \ cos \ teta \, (\ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) -r \, \ sin \ teta \, \ cos \ teta \\ & = r \, \ sin \ teta \, \ cos \ teta -r \, \ sin \ teta \, \ cos \ teta \\ & = 0 \\ g_ {22} & = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ teta \, \ cos ^ {2} \ phi + r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ teta \, \ günah ^ {2} \ phi + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ teta \\ & = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ teta \, (\ cos ^ {2 } \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \\ & = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ teta \\ & = r ^ {2} \\ g_ {32} & = - r ^ {2} \, \ sin \ teta \, \ sin \ phi \ , \ cos \ teta \, \ cos \ phi + r ^ {2} \, \ sin \ teta \, \ sin \ phi \, \ cos \ teta \, \ cos \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ {13} & = - r \, \ sin ^ {2} \ teta \, \ cos \ phi \, \ sin \ phi + r \, \ sin ^ {2} \ teta \, \ sin \ phi \, \ cos \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ {23} & = - r ^ {2} \, \ sin \ teta \, \ sin \ phi \, \ cos \ teta \, \ cos \ phi + r ^ {2} \, \ sin \ teta \, \ sin \ phi \, \ cos \ teta \, \ cos \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ {33} & = r ^ {2} \ , \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi +0 \\ & = r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ teta \, (\ sin ^ {2} \ phi + \ cos ^ {2} \ phi) \\ & = r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ teta \\\ end {hizalanmış}}}
Metrik örnekleri
Öklid düzlemi, kutupsal koordinatlar :(x1,x2)=(r,θ){\ görüntü stili (x ^ {1}, x ^ {2}) = (r, \ teta)}
G=(100r2){\ displaystyle G = {\ başlangıç {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r ^ {2} \ bitiş {pmatrix}}}ds2=dr2+r2dθ2 {\ displaystyle \ matrm {d} s ^ {2} = \ matrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ matrm {d} \ teta ^ {2} ~}
Öklid uzayı, silindirik koordinatlar :(x1,x2,x3)=(r,θ,z){\ görüntü stili (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (r, \ teta, z)}
G=(1000r20001){\ displaystyle G = {\ başlangıç {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}ds2=dr2+r2dθ2+dz2 {\ displaystyle \ matrm {d} s ^ {2} = \ matrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ matrm {d} \ teta ^ {2} + \ matrm {d} z ^ { 2} ~}
Öklid uzayı, küresel koordinatlar :(x1,x2,x3)=(r,θ,ϕ){\ görüntü stili (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (r, \ teta, \ phi)}
G=(1000r2000r2günah2θ){\ displaystyle G = {\ başlangıç {pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && r ^ {2} && 0 \\ 0 && 0 && r ^ {2} \ günah ^ {2} \ theta \ end {pmatrix }}}
ds2=dr2+r2dθ2+r2günah2θdϕ2 {\ displaystyle \ matrm {d} s ^ {2} = \ matrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ matrm {d} \ teta ^ {2} + r ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta \ matematik {d} \ phi ^ {2} ~}
Minkowski uzayı, düz uzay-zaman (özel görelilik ):(x0,x1,x2,x3)=(vst,x,y,z){\ görüntü stili (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, x, y, z)}
G=(-1000010000100001){\ displaystyle G = {\ start {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix }}}ds2=-vs2dt2+dx2+dy2+dz2 {\ displaystyle \ matrm {d} s ^ {2} = - c ^ {2} \ matrm {d} t ^ {2} + \ matrm {d} x ^ {2} + \ matrm {d} y ^ { 2} + \ matematik {d} z ^ {2} ~}
Schwarzschild metriği ( genel göreliliğin özel çözümü ; uzay burada eğridir):(x0,x1,x2,x3)=(vst,r,θ,ϕ){\ görüntü stili (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, r, \ teta, \ phi)}
G=(-(1-2Gmrvs2)0000(1-2Gmrvs2)-10000r20000r2günah2θ){\ displaystyle G = {\ başlangıç {pmatrix} - (1 - {\ frac {2Gm} {rc ^ {2}}}) && 0 && 0 && 0 \\ 0 && (1 - {\ frac {2Gm} { rc ^ {2}} }) ^ {- 1} && 0 && 0 \\ 0 && 0 && r ^ {2} && 0 \\ 0 && 0 && 0 && r ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta \ son {pmatrix}}}ds2=-(1-2Gmrvs2)vs2dt2+(1-2Gmrvs2)-1dr2+r2dθ2+r2günah2θdϕ2{\ displaystyle \ matrm {d} s ^ {2} = - \ sol (1 - {\ frac {2Gm} {rc ^ {2}}} \ sağ) c ^ {2} \ matrm {d} t ^ { 2} + \ sol (1 - {\ frac {2Gm} {rc ^ {2}}} \ sağ) ^ {- 1} \ matrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ matrm {d } \ teta ^ {2} + r ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta \ matematik {d} \ phi ^ {2}}
Notlar ve referanslar
-
Kesin olarak konuşursak, bir diferansiyel manifoldda, bir metrik tensör alanından söz edilmelidir , ancak dilin kötüye kullanılmasıyla, genellikle bir metrik tensörden veya oldukça basit bir metrikten söz edilir .
-
[PDF] Genel görelilik dersi, s. 10-15 , Bernard LINET, Matematik ve Teorik Fizik Laboratuvarı, François Rabelais Üniversitesi, Turlar .
-
İmza alarak (-, +, +, +) . Bazı yazarlar (+, -, -, -) imzasını tercih eder .
-
İmza için buraya (-, +, +, +) . İmza (+, -, -, -) için , uzay - tipi ve zaman-tipi tanımlarının yanı sıra, uzay - yönelimli ve zaman-yönelimli tanımlar değiştirilmelidir .
-
(içinde) Kristallografinin Çevrimiçi Sözlüğü .
-
(içinde) Fizik ve Fizikçiler için Matematik, s. 455-459 , Walter ÇAĞRI
-
Doğrusal koordinatlarda ( bkz. §Doğrusal koordinatlar ve §Eğrisel koordinatlar durumu ), bir Öklid uzayı olan diferansiyel manifoldun bir noktasındaki teğet uzay, bu Öklid uzayının kendisiyle “özdeşleşir”.
Şuna da bakın:
bibliyografya
- Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Tensör kalkülüsüne giriş, Fizik uygulamaları , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">