Poincaré metriği
Gelen matematik ve daha kesin olarak diferansiyel geometri , metrik Poincare nedeniyle Poincaré'nin olduğu metrik tensör bir yüzeyini tanımlayan sabit bir negatif eğim . Hiperbolik geometride veya Riemann yüzeylerinde hesaplamalar için kullanılan doğal metriktir .
İki eşdeğer temsil en çok iki boyutlu hiperbolik geometride kullanılır: Poincaré yarı düzlemi , üst (karmaşık) yarı düzlemi hiperbolik bir metrikle sağlayan bir model ve birim diskte tanımlanan bir model olan Poincaré diski. ( disk ve yarı düzlem, konformal bir dönüşüm ile izometriktir ve izometrileri Mobius dönüşümleri ile verilir ). Dahası, yarı düzlemde üstel fonksiyon tarafından indüklenen hiperbolik bir metrik ile sağlanan kör disk, hiperbolik bir metrik taşıyan basitçe bağlanmamış (bu durumda bir taç) açık bir örnektir.
q=tecrübe(benπτ){\ displaystyle q = \ exp (i \ pi \ tau)}
Riemann yüzeyindeki metrikler
Karmaşık düzlemdeki bir metrik genellikle şu biçimde ifade edilebilir:
ds2=λ2(z,z¯)dzdz¯{\ displaystyle ds ^ {2} = \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}) \, dz \, d {\ overline {z}}}burada λ, z'nin gerçek pozitif bir fonksiyonudur ve . Karmaşık düzlemde (bu metrik için) this eğrisinin uzunluğu şu şekilde verilir:z¯{\ displaystyle {\ overline {z}}}l(γ)=∫γλ(z,z¯)|dz|{\ displaystyle l (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} \ lambda (z, {\ overline {z}}) \, | dz |}
Karmaşık düzlemin bir alt kümesinin alanı (yeterince düzenli) şu şekilde verilir:
Alan (M)=∫Mλ2(z,z¯)ben2dz∧dz¯{\ displaystyle {\ text {Aire}} (M) = \ int _ {M} \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}) \, {\ frac {i} {2}} \ , dz \ wedge d {\ overline {z}}},
burada bir dış ürün (genel olarak şekilde hacmini tanımlayan). Metriğin determinantı eşittir , dolayısıyla karekökü de öyledir . Metrik tarafından belirlenen temel alan ve bu nedenle
∧{\ displaystyle \ kama}λ4{\ displaystyle \ lambda ^ {4}}λ2{\ displaystyle \ lambda ^ {2}}dx∧dy{\ displaystyle dx \ kama dy}
dz∧dz¯=(dx+bendy)∧(dx-bendy)=-2bendx∧dy.{\ displaystyle dz \ wedge d {\ overline {z}} = (dx + i \, dy) \ wedge (dx-i \, dy) = - 2i \, dx \ wedge dy.}Bir fonksiyonun metrik potansiyel olduğu söylenir, eğer
Φ(z,z¯){\ displaystyle \ Phi (z, {\ overline {z}})}
4∂∂z∂∂z¯Φ(z,z¯)=λ2(z,z¯).{\ displaystyle 4 {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi {\ overline {z}}}} \ Phi (z, {\ overline {z}}) = \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}).}Laplace-Beltrami operatörü tarafından verilir:
Δ=4λ2∂∂z∂∂z¯=1λ2(∂2∂x2+∂2∂y2).{\ displaystyle \ Delta = {\ frac {4} {\ lambda ^ {2}}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi {\ üst çizgi {z} }}} = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi x ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi y ^ {2}}} \ sağ).}Gauss eğriliği ölçümünün verilir
K=-Δgünlükλ.{\ displaystyle K = - \ Delta \ log \ lambda. \,}Bu eğrilik, Ricci skaler eğriliğinin yarısıdır .
İzometriler, açıları ve yay uzunluklarını korur. Bir Riemann yüzeyinde, izometriler bir koordinat değişikliğine eşdeğerdir; bu nedenle, Laplace-Beltrami operatörü ve eğriliklerin tümü izometrik değişmezdir. Dolayısıyla, örneğin, S metrik bir Riemann yüzeyi ve T metrik bir Riemann yüzeyi ise , o zaman dönüşüm:
λ2(z,z¯)dzdz¯{\ displaystyle \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}) \, dz \, d {\ overline {z}}}μ2(w,w¯)dwdw¯{\ displaystyle \ mu ^ {2} (w, {\ overline {w}}) \, dw \, d {\ overline {w}}}
f:S→T{\ displaystyle f: S \ ile T \ arası}ile bir izometridir ancak ve ancak uygunsa ve eğer
f=w(z){\ displaystyle f = w (z)}
μ2(w,w¯)∂w∂z∂w¯∂z¯=λ2(z,z¯){\ displaystyle \ mu ^ {2} (w, {\ overline {w}}) \; {\ frac {\ kısmi w} {\ kısmi z}} {\ frac {\ kısmi {\ üst çizgi {w}}} {\ kısmi {\ overline {z}}}} = \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}})}.
Burada, dönüşümün uyum sağlamasını istemek, aşağıdakileri gerektirir:
w(z,z¯)=w(z),{\ displaystyle w (z, {\ overline {z}}) = w (z),}demek ki,
∂∂z¯w(z)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi {\ üst çizgi {z}}}} w (z) = 0.}
Poincaré düzleminde metrik ve temel alan
Metrik Poincare tensör içinde Poincare yarı düzlem, üst yarı düzlem pozitif hayali parçanın komplekslere karşılık gelen verilir
H{\ displaystyle \ mathbb {H}}
ds2=dx2+dy2y2=dzdz¯y2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}} = {\ frac {dz \, d {\ overline {z}}} {y ^ {2}}}}ayarlayarak
Bu metrik tensör, SL (2, R ) eylemi altında değişmezdir . Başka bir deyişle, not etmek
dz=dx+bendy.{\ displaystyle dz = dx + i \, dy.}
z′=x′+beny′=-dez+bvsz+d{\ displaystyle z '= x' + iy '= {\ frac {az + b} {cz + d}}}ile çıkıyor ki
-ded-bvs=1{\ displaystyle ad-bc = 1}
x′=-devs(x2+y2)+x(-ded+bvs)+bd|vsz+d|2{\ displaystyle x '= {\ frac {ac (x ^ {2} + y ^ {2}) + x (reklam + bc) + bd} {| cz + d | ^ {2}}}}ve
y′=y|vsz+d|2.{\ displaystyle y '= {\ frac {y} {| cz + d | ^ {2}}}.}Sonsuz küçük öğeler şu şekilde dönüştürülür:
dz′=dz(vsz+d)2{\ displaystyle dz '= {\ frac {dz} {(cz + d) ^ {2}}}}ve bu yüzden
dz′dz¯′=dzdz¯|vsz+d|4{\ displaystyle dz'd {\ overline {z}} '= {\ frac {dz \, d {\ overline {z}}} {| cz + d | ^ {4}}}}SL (2, R ) grubunun etkisi altında metrik tensörün değişmezliğini gösterir . Değişmez alan elemanı ile verilir
dμ=dxdyy2.{\ displaystyle d \ mu = {\ frac {dx \, dy} {y ^ {2}}}.}Metrik
ρ(z1,z2)=2tanh-1|z1-z2||z1-z2¯|{\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = 2 \ tanh ^ {- 1} {\ frac {| z_ {1} -z_ {2} |} {| z_ {1} - {\ üst üste {z_ {2}}} |}}}
ρ(z1,z2)=günlük|z1-z2¯|+|z1-z2||z1-z2¯|-|z1-z2|{\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = \ log {\ frac {| z_ {1} - {\ overline {z_ {2}}} | + | z_ {1} -z_ {2 } |} {| z_ {1} - {\ overline {z_ {2}}} | - | z_ {1} -z_ {2} |}}}
için . Bir başka ilginç metrik biçimi, çapraz oranı içerir . Verilen dört nokta , , ve ilgili Riemann küre (sonsuz bir noktaya eklenir kompleks düzlem), bu nokta enine oranı ile tanımlanır
z1,z2∈H{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {H}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z2{\ displaystyle z_ {2}}z3{\ displaystyle z_ {3}}z4{\ displaystyle z_ {4}} VS^=VS∪∞{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ infty}
(z1,z2;z3,z4)=(z1-z2)(z3-z4)(z2-z3)(z4-z1).{\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {1} -z_ {2}) (z_ {3} -z_ {4} )} {(z_ {2} -z_ {3}) (z_ {4} -z_ {1})}}.}Metrik daha sonra yazılabilir
ρ(z1,z2)=ln(z1,z2×;z2,z1×).{\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = \ ln (z_ {1}, z_ {2} ^ {\ times}; z_ {2}, z_ {1} ^ {\ zamanlar}) .}Burada, ve içinde (gerçek ekseni üzerinde) uçları, jeodezik bağlanması ve böylece sayılı arasında yer almaktadır ve .
z1×{\ displaystyle z_ {1} ^ {\ kere}}z2×{\ displaystyle z_ {2} ^ {\ kere}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z2{\ displaystyle z_ {2}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z1×{\ displaystyle z_ {1} ^ {\ kere}}z2{\ displaystyle z_ {2}}
Jeodezik Bu metriğin çevrelerin yay yarım daire, bu eksen üzerinde merkezlenmiş demek olan gerçek sayılar eksenine dik olan ve yarı hatları bu eksene dik.
Yarım düzlemin diske doğru uygulanması
Üst yarı düzlem, Möbius dönüşümü yoluyla birim disk ile uyumlu bir eşleşme içindedir.
w=ebenϕz-z0z-z0¯{\ displaystyle w = e ^ {i \ phi} {\ frac {z-z_ {0}} {z - {\ overline {z_ {0}}}}}}burada w , yarım düzlemin z noktasına karşılık gelen birim diskin noktasıdır . Sabit z 0 , diskin merkezine gönderilecek olan yarım düzlemin herhangi bir noktası olabilir. Gerçek eksen imge için birim çembere sahiptir (nokta 1 haricinde, noktanın sonsuzdaki görüntüsü). Gerçek sabit , diskin dönüşüne karşılık gelir.
ℑz=0{\ displaystyle \ Im z = 0}|w|=1.{\ displaystyle | w | = 1.}ϕ{\ displaystyle \ phi}
Kanonik uygulama
w=benz+1z+ben{\ displaystyle w = {\ frac {iz + 1} {z + i}}}( Cayley Dönüşümü makalesine bakın ) i'yi orijine (diskin merkezi) ve 0'ı -i noktasına gönderir .
Poincaré diskindeki metrik ve temel alan
Metrik tensör Poincaré içinde diski Poincaré disk ünitesine açık verilir tarafından
U={z=x+beny:|z|=x2+y2<1}{\ displaystyle U = \ {z = x + iy: | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} <1 \}}
ds2=4dx2+dy2(1-(x2+y2))2=4dzdz¯(1-|z|2)2.{\ displaystyle ds ^ {2} = 4 {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2}}} = 4 {\ frac {dz \, d {\ overline {z}}} {(1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}.}Alan öğesi şu şekilde verilir:
dμ=4dxdy(1-(x2+y2))2=4dxdy(1-|z|2)2,{\ displaystyle d \ mu = {\ frac {4dx \, dy} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2}}} = {\ frac {4dx \, dy} {(1- | z | ^ {2}) ^ {2}}},}ve iki nokta arasındaki mesafe tarafından
z1,z2∈U{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ U}
ρ(z1,z2)=2tanh-1|z1-z21-z1z2¯|{\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = 2 \ tanh ^ {- 1} \ sol | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1-z_ {1} { \ overline {z_ {2}}}}} \ sağ |}.
Jeodezikler, diskin birim daire sınırına ortogonal (uçlarında) dairelerin yaylarıdır.
Künt disk
Yarım düzlemde tanımlanan önemli bir uygulama, yarı düzlemi üstel fonksiyon aracılığıyla
kör disk üzerine uygulayan uygulamadır.H{\ displaystyle \ mathbb {H}}{z:0<|z|<1}{\ displaystyle \ {z: 0 <| z | <1 \}}
q=tecrübe(benπτ){\ displaystyle q = \ exp (i \ pi \ tau)}.
Teorisinde eliptik fonksiyonları ve modüler fonksiyon, değişken q, olan adı (en) ve dönemler yarı oranı τ.
Yarım düzlemin Poincaré metriği, q diskinde bir metrik oluşturur
ds2=4|q|2(günlük|q|2)2dqdq¯{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4} {| q | ^ {2} (\ log | q | ^ {2}) ^ {2}}} dq \, d {\ overline {q} }},
kimin potansiyeli
Φ(q,q¯)=4günlükgünlük|q|-2{\ displaystyle \ Phi (q, {\ üst çizgi {q}}) = 4 \ log \ log | q | ^ {- 2}}.
Schwarz lemma
Poincaré metriği, harmonik fonksiyonlar üzerine bir sözleşme uygulamasıdır . Bu sonuç, Lemma Schwarz'ın Schwarz-Alhfors-Pick teoremi (in) olarak adlandırılan bir genellemesidir .
Referanslar
Kaynakça
-
(en) Hershel M. Farkas ve Irwin Kra (en) , Riemann Yüzeyleri (1980), Springer-Verlag, New York. ( ISBN 0-387-90465-4 ) .
-
(tr) Jurgen Jost, Kompakt Riemann Yüzeyleri (2002), Springer-Verlag, New York. ( ISBN 3-540-43299-X ) (Bkz. Bölüm 2.3) .
-
(en) Svetlana Katok , Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ( ISBN 0-226-42583-5 ) (Basit ve okunabilir bir giriş.)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">