Bir noktadan çizgiye olan mesafe
Gelen Öklid geometrisi , bir çizgiye, bir noktadan itibaren mesafe, bu noktada ve hat üzerinde bir geçerli nokta arasındaki en kısa mesafedir. Pisagor bize doğrulayacak bu hat (bir noktadan mesafe d onun ile ilgili A ayıran mesafeye) tekabül dik izdüşüm bir saat hattı (açık d ). Böylece yazabiliriz:
d(AT,(d))=d(AT,ATh){\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = d (\ mathrm {A}, \ mathrm {A} _ {h})}
Planda
Düzlem bir birimdik koordinat sistemine sahipse, ( d ) doğrusu ax + by + c = 0 denklemine sahipse ve A noktasında koordinatlar ( x A ; y A ) varsa, A ve ( d ) arasındaki mesafe formülle verilir
d(AT,(d))=ATATh=|-dexAT+byAT+vs|-de2+b2{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = \ mathrm {AA} _ {h} = {\ frac {| ax_ {A} + by_ {A} + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}Aslında, M ( x , y ), ( d ) çizgisinin herhangi bir noktasıysa ve normal vektörü ( a ; b ) bileşenlerinin ( d ) çizgisine gösterirsek , o zaman vektörlerin skaler çarpımının mutlak değeri ve iki ifade ile verilir:
değil→{\ displaystyle {\ vec {n}}}ATM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}}}değil→{\ displaystyle {\ vec {n}}}
|ATM→⋅değil→|=|-de(x-xAT)+b(y-yAT)|=|-dexAT+byAT+vs|{\ displaystyle | {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} \ cdot {\ vec {n}} | = | a (x-x _ {\ mathrm {A}}) + b (y-y _ {\ mathrm {A} }) | = | ax _ {\ mathrm {A}} + yazan _ {\ mathrm {A}} + c |}( ax + by = - c çünkü M (d) noktasıdır)
|ATM→⋅değil→|=ATATh×||değil→||=ATATh×-de2+b2{\ displaystyle | {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} \ cdot {\ vec {n}} | = \ mathrm {AA} _ {h} \ times || {\ vec {n}} || = \ matematik {AA} _ {h} \ times {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.
Özellikle :
- Doğru denklemi varsa y = mx + p sonra ;d(AT,(d))=|yAT-mxAT-p|1+m2{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = {\ frac {| y _ {\ mathrm {A}} -mx _ {\ mathrm {A}} -p |} {\ sqrt {1 + m ^ {2}}}}}
- Eğer çizgi x = a denklemine sahipse, o zamand(AT,(d))=|xAT--de|{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = | x _ {\ mathrm {A}} -a |}
- çizgi normal denklemiyle verilmişse : o zaman (nerede, tabii ki ve ). Bir noktadan bir doğruya olan mesafe, oldukça basit bir şekilde, bu polinomun A noktasının koordinatları için mutlak değeridir.Bir noktanın, koordinatları denklemi doğrularsa (d) doğruya ait olduğunu söylemek, onun mesafesini iddia etmek anlamına gelir. (d) sıfırdır.xçünküθ+ygünahθ-p=0{\ displaystyle x \ cos \ theta + y \ sin \ theta -p = 0}d(AT,(d))=|xATçünküθ+yATgünahθ-p|{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = \ sol \ vert x_ {A} \ cos \ theta + y_ {A} \ sin \ theta -p \ sağ \ vert}çünküθ=-de-de2+b2{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}günahθ=b-de2+b2{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}
Not: Cebirsel mesafeyi (id. İşareti ile sayılırsa) ele alırsak, polinom (with ) noktanın ötesinde, altında veya dikkate alınan sağda olmasına bağlı olarak pozitif, negatif veya sıfır değerleri alabilir. Bu cebirsel mesafenin işareti, düzlemi üç bölgeye, iki yarım düzleme ve bir doğruya böler, bir noktanın daireyi üç bölgeye bölen bir daireye göre gücüne biraz benzer (dairenin içi, çember ve dairenin dışı).
P(x;y)=çünküθx+günahθy-p{\ displaystyle P (x; y) = \ cos \ theta \, x + \ sin \ theta \, yp}p>0{\ displaystyle p> 0}
Boşlukta
Eğer boşluk bir ortonormal koordinat sistemine sahipse, ( d ) doğrusu B noktasından geçerse ve yönlendirme vektörü varsa , A noktası ile ( d ) doğrusu arasındaki mesafe formülle verilir.
sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
d(AT,(d))=‖BAT→∧sen→‖‖sen→‖{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = {\ frac {\ sol \ | {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ kama {\ vec {u}} \ sağ \ |} { \ | {\ vec {u}} \ |}}}burada bir çapraz ürün vektörlerinin ve ve burada bir norm vektörü .
BAT→∧sen→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge {\ vec {u}}}BAT→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}}}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}‖sen→‖{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ |}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
Aslında, ( d ) ' nin noktasını C ile gösterirsek, o zaman ABC üçgeninin alanı iki ifade ile verilir.
BVS→=sen→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {BC}}} = {\ vec {u}}}
ATATBVS=12‖BAT→∧BVS→‖{\ displaystyle \ mathrm {A} _ {\ mathrm {ABC}} = {\ frac {1} {2}} \ left \ | {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {BC}}} \ sağ \ |}
ATATBVS=12BVS×ATATh{\ displaystyle \ mathrm {A} _ {\ mathrm {ABC}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {BC} \ times \ mathrm {AA} _ {h}}.
Bu mesafe, A noktasını ( d ) çizgisini içeren bir düzlemden ayıran herhangi bir mesafeden daha büyük veya eşittir . ( D ) doğrusu iki dikey düzlemin kesişimi olarak tanımlanmışsa ve A noktasından bu iki düzleme olan mesafeleri d₁ ve d₂ ile gösterirsek , elimizde:
d(AT,(d))=d12+d22{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = {\ sqrt {{d_ {1}} ^ {2} + {d_ {2}} ^ {2}}}}.
N boyutunda
Uzay bir birimdik koordinat sistemine sahipse, ( d ) doğrusu B noktasından geçerse ve yön vektörü varsa . Herhangi bir nokta böyle yazılabilir
sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}M∈(d){\ displaystyle M \ (d)}
M=B+tsen→{\ displaystyle M = B + t {\ vec {u}}}Noktası arasındaki mesafe , A ve hat ( d ) mesafesi hesaplanmasıyla olmaktadır AM ile M noktası ( d ) en yakın A . Bu, t bulmak anlamına gelir
t=BAT→.sen→‖sen→‖2{\ displaystyle t = {\ frac {{\ overrightarrow {BA}}. {\ vec {u}}} {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}}}}burada bir nokta ürün vektörlerinin ve . Böylece sahibiz
BAT→.sen→{\ displaystyle {\ overrightarrow {BA}}. {\ vec {u}}}BAT→{\ displaystyle {\ overrightarrow {BA}}}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
d(AT,(d))=‖AT-B-tsen→‖=‖BAT→-BAT→.sen→‖sen→‖2sen→‖{\ displaystyle d (A, (d)) = \ | ABt {\ vec {u}} \ | = \ left \ | {\ overrightarrow {BA}} - {\ frac {{\ overrightarrow {BA}}. { \ vec {u}}} {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}}} {\ vec {u}} \ sağ \ |}Gösteri:
Kimin küçültüldüğünü bulmak aşağıdadır . Küçültme aynıdır (kare fonksiyonu pozitif tarafta kesinlikle artmaktadır).
M{\ displaystyle M}ATM{\ displaystyle AM}ATM2{\ displaystyle AM ^ {2}}
ATM2=(ATB→+tsen→).(ATB→+tsen→){\ displaystyle AM ^ {2} = ({\ overrightarrow {AB}} + t {\ vec {u}}). ({\ overrightarrow {AB}} + t {\ vec {u}})}Biz arıyoruz bu minimumu bulmak için.
dATM2dt=0{\ displaystyle {\ frac {BARAJ ^ {2}} {dt}} = 0}
dATM2dt=2sen→.(ATB→+tsen→)=0{\ displaystyle {\ frac {DAM ^ {2}} {dt}} = 2 {\ vec {u}}. ({\ overrightarrow {AB}} + t {\ vec {u}}) = 0}
2sen→.ATB→+2tsen→.sen→=2sen→.ATB→+2t‖sen→‖2=0{\ displaystyle 2 {\ vec {u}}. {\ overrightarrow {AB}} + 2t {\ vec {u}}. {\ vec {u}} = 2 {\ vec {u}}. {\ overrightarrow { AB}} + 2t \ | {\ vec {u}} \ | ^ {2} = 0}
t=BAT→.sen→‖sen→‖2{\ displaystyle t = {\ frac {{\ overrightarrow {BA}}. {\ vec {u}}} {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}}}}
Ayrıca görün
Notlar ve referanslar
-
Not: Bu çizgiye göre başlangıç noktası ile aynı yarı düzlemde değilse noktanın çizginin "ötesinde" olduğu söylenir.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">