Rüzgarların varlığında uçuş dinamikleri

Sert rüzgar varlığında uçuş dinamikleri bir davranış çalışmadır uçak bir farklıdır bir hava akımı mevcudiyetinde laminer akış , bir demek olan türbülanslı akış yatay sert rüzgar ve / veya neden olduğu dikey rüzgar kesme . . Bu türbülans, Federal Havacılık İdaresi (FAA) tarafından tamamen niteliksel bir temelde tanımlanır ve belirli koşullarda bir uçakla ilişkili riskleri tahmin edemez. Uluslararası Sivil Havacılık Örgütü (ICAO) tarafından verilen daha nicel bir tanım , m 2 / s 3 olarak ifade edilen girdap enerjisinin difüzyon hızı olarak ifade edilir . Bununla birlikte, bu son tanım, uçağın kütlesini ve hızını hesaba katmazken, bir planör, ağır uçaklardan daha düşük seviyeli türbülansa çok daha duyarlı olacaktır. Bu nedenle, daha kesin bir formülasyon sunmak önemlidir.

Literatürde, bir planörün yatay veya dikey rüzgarların varlığında reaksiyonunun basitleştirilmiş formülasyonuna Schmidt, Asselin ve belki de birkaç başka yazar dışında pek yaklaşılmamıştır. Ancak, bu genel kanının aksine fırtına bulutları havacılık en ciddi (haklı) tehlikesi oldukça zararsız görünebilir küçük bulutlar yük faktörleri neden planörü parçalanır olabilir 16 de 20  G Larry Edgar 25 Nisan 1955 tarihinde uğradığı olarak.

Buna ek olarak, bir ön bora 70  km / saat uçan bir kanat uygulanan 70  km / saat alt dalga tabaka (oluşabilir 4 G. This bir yük faktörü neden olur rotorlar dağ ilişkili dalgalar ). Şiddetli fırtına bulutlarında da durum aynı olabilir. Güçlü termal yükselmeler bile , planörler için gerçek bir tehlike olmayan, ancak diğer kullanıcı kategorilerini rahatsız edebilen önemli yük faktörleri oluşturabilir.

Yük faktörlerinin hızlı tahmini

Türbülans ve girdap (girdap)

Let v olmak dediğimiz, hız alanı vorticity'i bir noktaya şu miktar için:

η→=∇→∧v→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = {\ vec {\ nabla}} \ kama {\ vec {v}}}

Bu miktar, havanın girdap hareketini tanımlar. Bu nedenle, girdap ne kadar büyükse, aşağıda açıklandığı gibi hissedilen türbülansın yoğunluğu o kadar büyük olur.

Uçak hızının bir fonksiyonu olarak türbülans şiddeti

Kısacası, bir planör pilotu tarafından kullanılabilen herhangi bir klima üreten yükseltme, motorlu bir uçak pilotu tarafından türbülans olarak adlandırılacaktır, çünkü bu uçak bu yukarı kalkışlardan yararlanamaz (veya kullanmayacaktır). Dahası, uçak ne kadar hızlı uçarsa, aşağıda tahmin edilen önemli yük faktörlerine o kadar fazla maruz kalacaktır. Let olurdu dikey hız bir havanın yükselmesi arasındaki mesafe W ve dikey hız bir aşağı yönlü akışlı -w ve izin u olmak uçağın hızı. Ortalama ivme olan bu uçaklar irade yaşadığı:

-de=2wsend{\ displaystyle a = {2wu \ d üzeri}}

W = 5 m / s , u = 125 m / s (10.000 fit'e kadar maksimum izin verilen hız  ) ve d = 100 m (asansör ile iniş arasındaki ortalama mesafe ) olan oldukça güçlü bir termal kaldırma olduğunu düşünüyoruz . Daha sonra yerçekiminin ivmesinden (10 m / s 2 ) daha büyük olan a = 12,5 m / s 2 elde ederiz . Bu uçağın yolcusu veya pilotu bu türbülansı şiddetli olarak nitelendirecektir . Ancak, uçan bir planör pilotu 20 m / sn bir ivme yaşayacaktır 2 m / s 2 ve hafif olarak bu türbülansı hak kazanacaktır. Ek olarak, bu pilot bu yükselen sütunu doğru bir şekilde ortalayacak ve kendisini asansörün laminer çekirdeğinde bulacak ve artık herhangi bir türbülansa maruz kalmayacak.    

Geçici olaylar

Heaviside işlevi

Bir kanat hala havada düşen bir hız olan ve dikkate hala havada uçan ve en hangi bir anda nüfuz t = 0 , düşey hızı bir yükselme de ağırlık bir . Yükselen sütuna girmeden önce kanadın yörüngesinin stabilize edildiği varsayılmaktadır. Yani kanat yükselen sütuna girdiğinde dikey hızı aşağıdaki gibidir: w∞{\ displaystyle w _ {\ infty}}

w(t)=w-de-w∞-w-dee-tτ{\ displaystyle w (t) = w_ {a} -w _ {\ infty} -w_ {a} e ^ {- {t \ fazla \ tau}}}

ile τ=mπρSV{\ displaystyle \ tau = {m \ üzerinde \ pi \ rho SV}}

• m , planörün kütlesidir.
• ρ , havanın yoğunluğudur.
• S kanat alanıdır
• V , hava hızıdır.

Dikey ivme aşağıdaki gibidir:

w˙(t)=w-deτe-tτ{\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = {w_ {a} \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Öyleyse, τ'yi değiştirirsek:

w˙(t)=πρSVw-deme-tτ{\ displaystyle {\ nokta {w}} (t) = {\ pi \ rho SVw_ {a} \ m'den fazla} e ^ {- {t \ üzerinde \ tau}}}

Çalkalama t = 0'da maksimumdur .

Formül fiziksel olarak makul. Kanat alanı ne kadar büyükse veya yatay veya dikey hız ne kadar büyükse, sallanma o kadar büyük olur. Kütle artarsa, sallanma daha az olacaktır ( okyanus gemisi etkisi ).

Büyüklük derecelerini elde etmek için sayısal bir örnek ele alıyoruz.

Biz 15 bir kanat alanı dikkate  m 2 , bir yoğunluğa 1.22  kg / 3 ve 300 toplam kanat kütlesi  kg ve bir hava hızı 20  m / s . Karakteristik zaman bu nedenle:

τ=300π×1,22×15×20=1π×1,22=0,26{\ displaystyle \ tau = {300 \ over \ pi \ times 1 {,} 22 \ times 15 \ times 20} = {1 \ over \ pi \ times 1 {,} 22} = 0 {,} 26} ikinci.

5  m / s'lik bir kaldırma olduğunu düşünüyoruz . Dikey ivme m / s 2 olacaktır . Bu koşullar altında yük faktörü (2 + 1) G olacaktır. 50.26≈20{\ displaystyle {5 \ 0.26'dan fazla} \ yaklaşık 20}

Bu formül, havanın 50  m / s'ye ulaşabildiği süper hücresel kümülonimbus bulutunda uçağın neden 20.000 fitte patlayabildiğini açıklıyor .

Yukarıdaki formül 21 G'lik bir yük faktörü verecektir.

Dikey hızın hesaplanması

Alfa belirli bir zamandaki hücum açısı olsun. Asansör şu şekilde verilir:

L=12VSLρSV2{\ displaystyle L = {1 \ 2'den fazla} C_ {L} \ rho SV ^ {2}}

• C L , kaldırma katsayısıdır.
• rho, havanın yoğunluğudur.
• S kanat alanıdır
• V , hava hızıdır.

Kaldırma katsayısı:

VSL=2πα{\ displaystyle C_ {L} = 2 \ pi \ alpha}

Asansör daha sonra şu hale gelir:

L=παρSV2{\ displaystyle L = \ pi \ alpha \ rho SV ^ {2}}

Kanadın düşme hızı w 0 olsun . Şimdi yükselen hava kütlesindeki dikey hızı belirlemeye çalışıyoruz. Let , W paraşütün ağırlığı ve m kütlesini. Dikey ivme şu şekilde verilir:

mdwdt=L-W{\ displaystyle m {dw \ dt üzerinden} = LW}

Ya w , hava kütlesinin dikey hızıdır. Hava kütlesine göre göreceli dikey hız w r :

wr=w-de-w{\ displaystyle w_ {r} = w_ {a} -w}

Şimdi saldırı açısını w r'nin bir fonksiyonu olarak tahmin etmeye çalışıyoruz . Bakiye, biz vardır: L = W . Böylece sahibiz :

πα0ρSV2=W{\ displaystyle \ pi \ alpha _ {0} \ rho SV ^ {2} = W}

Α i geliş açısı olsun . Saldırı açısı:

α=αben+wrV{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {i} + {w_ {r} \ over V}}

Diferansiyel denklemi değiştiririz ve şunu elde ederiz:

mdwdt=π(αben+wrV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} = \ pi \ left (\ alpha _ {i} + {w_ {r} \ V} üzerinde \ sağ) \ rho SV ^ {2} -W}

Unutmayın:, bu nedenle: wr=w-de-w{\ displaystyle w_ {r} = w_ {a} -w}

mdwdt=π(αben+w-de-wV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ dt üzerinde} = \ pi \ sol (\ alpha _ {i} + {w_ {a} -w \ V} \ sağ üzerinde) \ rho SV ^ {2} -W}

Bu nedenle,

mdwdt+πρSV2Vw=π(αben+w-deV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} + {\ pi \ rho SV ^ {2} \ over V} w = \ pi \ left (\ alpha _ {i} + {w_ {a} \ over V} \ sağ ) \ rho SV ^ {2} -W}

Bu nedenle,

mdwdt+(πρSV)w=π(αben+w-deV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ dt üzerinde} + (\ pi \ rho SV) w = \ pi \ sol (\ alpha _ {i} + {w_ {a} \ V} \ sağ üzerinde) \ rho SV ^ {2 } -W}

Bu nedenle,

mdwdt+(πρSV)w=(παbenρSV2-W)+πw-deρSV{\ displaystyle m {dw \ dt üzerinde} + (\ pi \ rho SV) w = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Bu diferansiyel denklemin genel çözümü şudur:

w(t)=Ke-πρSVmt{\ displaystyle w (t) = Ke ^ {- {\ pi \ rho SV \ m üzerinde} t}}

Karakteristik zaman şu şekilde tanımlanır:

τ=mπρSV{\ displaystyle \ tau = {m \ üzerinde \ pi \ rho SV}}

Büyüklük derecelerini elde etmek için sayısal bir örnek ele alıyoruz.

Biz 15 bir kanat alanı dikkate  m 2 , bir yoğunluğa 1.22  kg / 3 ve 300 toplam kanat kütlesi  kg ve bir hava hızı 20  m / s . Karakteristik zaman bu nedenle:

τ=300π×1,22×15×20=1π×1,22=0.26{\ displaystyle \ tau = {300 \ over \ pi \ times 1 {,} 22 \ times 15 \ times 20} = {1 \ over \ pi \ times 1 {,} 22} = 0 {.} 26} ikinci.

Böylece 1 saniyeden daha kısa bir süre içinde, planör sakin havada dengesine ulaşacaktır.

Şimdi diferansiyel denklemi çözüyoruz. Genel çözüm şöyle yazılmıştır:

w(t)=Ke-tτ{\ displaystyle w (t) = Ke ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}

K (t) sabitini değiştiririz ve değiştiririz.

dwdt=K˙(t)e-tτ-K(t)1τe-tτ{\ displaystyle {dw \ over dt} = {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} - K (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ fazla \ tau}}}

Bu nedenle çözüyoruz:

mK˙(t)e-tτ-mK(t)1τe-tτ+πρSVKe-tτ=(παbenρSV2-W)+πw-deρSV{\ displaystyle m {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ fazla \ tau}} - mK (t) {1 \ \ tau} e ^ {- {t \ üzeri \ tau}} + \ pi \ rho SVKe ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Bu nedenle,

mK˙(t)e-tτ-mK(t)1τe-tτ+mK(t)1τe-tτ=(παbenρSV2-W)+πw-deρSV{\ displaystyle m {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ fazla \ tau}} - mK (t) {1 \ \ tau} e ^ {- {t \ üzeri \ tau}} + mK (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a } \ rho SV}

Bir basitleştirme var ve bu nedenle:

mK˙(t)e-tτ=(παbenρSV2-W)+πw-deρSV{\ displaystyle m {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ fazla \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Önce w a = 0 olan basitleştirilmiş durumu ele alıyoruz .

W = mg olduğu hatırlanır . Bu nedenle şunları elde ederiz:

mK˙(t)e-tτ=mαbenτV-mg{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg}

Bu nedenle,

K˙(t)e-tτ=αbenVτ-g{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g}

Bu nedenle,

K˙(t)=(αbenVτ-g)etτ{\ displaystyle {\ nokta {K}} (t) = \ sol ({\ alpha _ {i} V \ \ tau üzerinden -g \ sağ) e ^ {t \ üzerinde \ tau}}

Dolayısıyla ilkel şu hale gelir:

K(t)=τ(αbenVτ-g)etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ tau \ sol ({\ alfa _ {i} V \ \ tau üzerinden -g \ sağ) e ^ {t \ \ tau üzerinden} + Cte}

Biz ikame ediyoruz ve bu nedenle:

w(t)=[τ(αbenVτ-g)etτ+VSte]e-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol [\ tau \ sol ({\ alfa _ {i} V \ üzerinde \ tau} -g \ sağ) e ^ {t \ üzerinde \ tau} + Cte \ sağ] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Bu nedenle,

w(t)=(αbenV-gτ)+VSte e-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ sağ) + Cte \ e ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}

Biz de farz t = 0 , elimizdeki w = w 0 . Böylece t = 0'da elde ederiz ,

w0=(αbenV-gτ)+VSte e0{\ displaystyle w_ {0} = \ sol (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ sağ) + Cte \ e ^ {0}}

Bu nedenle,

VSte=w0-(αbenV-gτ){\ displaystyle Cte ​​= w_ {0} - \ sol (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ sağ)}

En sonunda:

w(t)=(αbenV-gτ)+[w0-(αbenV-gτ)]e-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol (\ alfa _ {i} Vg \ tau \ sağ) + \ sol [w_ {0} - \ sol (\ alfa _ {i} Vg \ tau \ sağ) \ sağ] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Aşağıdakilerle tanımlanan asimptotik hız olsun : w∞{\ displaystyle w _ {\ infty}}

w∞=αbenV-gτ{\ displaystyle w _ {\ infty} = \ alpha _ {i} Vg \ tau}

Sonra elde ederiz:

w(t)=w∞+(w0-w∞)e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + (w_ {0} -w _ {\ infty}) e ^ {- {t \ fazla \ tau}}}

Geliş açısı aşağıdaki gibidir:

αben=w∞V+dτV{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {w \ infty \ over V} + {d \ tau \ over V}}

Bunu varsayıyoruz ve V = 20. Sonra şunu elde ederiz: w∞=-0.5{\ displaystyle w _ {\ infty} = - 0,5}

αben=-0.520+10×0.2620{\ displaystyle \ alpha _ {i} = - {0.5 \ 20'den fazla} + {10 \ kere 0.26 \ 20'den fazla}}

Bu nedenle ilk yaklaşımımız var:

αben≈gτV=0.13{\ displaystyle \ alpha _ {i} \ yaklaşık {g \ tau \ V üzerinden} = 0,13}

Yani tahmini geliş açısı (derece cinsinden):

αben=0.13×180π=7.5{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {0.13 \ times 180 \ over \ pi} = 7.5} derece. Kulağa çok mantıklı geliyor.  

Genel dava

Önceki modeli, bir merdiven fonksiyonunu dikkate almak yerine, t = 0'da kanadın kuvveti "rastgele" olan bir asansöre girdiğini düşündüğümüzde genişletiyoruz .

Şimdi bunu düşünüyoruz w-de=w-de(t){\ displaystyle w_ {a} = w_ {a} (t)}

Bu geçiş fonksiyonu tanımlayan h (t) bu şekilde , H (t) = 0 , t <0 ve için t Sonra sahip ≥ 0: h(t)=e-tτ{\ displaystyle h (t) = e ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}

w(t)=1τ(w-de∗h)(t){\ Displaystyle w (t) = {1 \ fazla \ tau} (w_ {a} * h) (t)}

burada * evrişim çarpımıdır .

Çözeltinin bir evrişim ürünü olarak ifadesi gelenekseldir. Vrabie'nin çalışmalarına danışabiliriz.

Bununla birlikte, açılır kutuda açık bir gösterim sağlanır.

Bir evrişim çarpımı içeren formülün gösterilmesi

Bunu hatırla:

mK˙(t)e-tτ=(παbenρSV2-W)+πw-de(t)ρSV{\ displaystyle m {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ fazla \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} (t) \ rho SV}

V hızı , dikey akımların olmadığı durumlarda kanadın hiçbir dış kuvvete sahip olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle,

παbenρSV2-W=0{\ displaystyle \ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W = 0}

Bu nedenle,

K˙(t)=1metτπw-de(t)ρSV{\ displaystyle {\ nokta {K}} (t) = {1 \ m'den fazla} e ^ {t \ fazla \ tau} \ pi w_ {a} (t) \ rho SV}

Değiştiriyoruz ve bu nedenle:

K˙(t)=1τw-de(t)etτ{\ displaystyle {\ nokta {K}} (t) = {1 \ fazla \ tau} w_ {a} (t) e ^ {t \ fazla \ tau}}

İlkel olanı hesaplıyoruz ve bu nedenle:

K(t)=1τ∫0tw-de(t′)et′τdt′+VSte{\ displaystyle K (t) = {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {t} w_ {a} (t ') e ^ {t' \ over \ tau} dt '+ Cte}

Bunu hatırla Öyleyse, w(t)=K(t)e-tτ{\ Displaystyle w (t) = K (t) e ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}

w(t)=1τ∫0tw-de(t′)et′τdt′e-tτ+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {t} w_ {a} (t ') e ^ {t' \ over \ tau} dt'e ^ {- { t \ over \ tau}} + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Ve bu yüzden,

w(t)=VSte e-tτ+1τ∫0tw-de(t′)e-t-t′τdt′{\ displaystyle w (t) = Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}} + {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {t} w_ {a} (t ') e ^ {- {tt '\ over \ tau}} dt'}

Bu bir evrişim ürünüdür .

En t = 0, elimizdeki (t = 0) = 0 w . Bu nedenle,

0=VStee-0τ+1τ∫00w-de(t′)e-t-t′τdt′{\ displaystyle 0 = Ctee ^ {- {0 \ over \ tau}} + {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {0} w_ {a} (t ') e ^ {- {tt' \ tau üzerinden}} dt '}

Bu nedenle,

VSte=0{\ displaystyle Cte ​​= 0}

T <0 için w a = 0 olduğunu varsayabiliriz ve bu nedenle,

w(t)=1τ∫-∞0w-de(t′)e-t-t′τdt′{\ displaystyle w (t) = {1 \ over \ tau} \ int _ {- \ infty} ^ {0} w_ {a} (t ') e ^ {- {tt' \ over \ tau}} dt ' }

Benzer şekilde, t <0 ve t ≥ 0 için h (t) = 0 fonksiyonunu tanımlarız . Bu nedenle, h(t)=e-tτ{\ displaystyle h (t) = e ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}

w(t)=1τ(w-de∗h)(t){\ Displaystyle w (t) = {1 \ fazla \ tau} (w_ {a} * h) (t)}  

Doğrusal geçiş

Önceki modeli, bir merdiven fonksiyonunu düşünmek yerine, t = 0'da kanadın kuvveti zamanla doğrusal olarak artan bir asansöre girdiğini düşündüğümüzde genişletiyoruz.

Şimdi bunu düşünüyoruz w-de=γt{\ displaystyle w_ {a} = \ gamma t}

Planörün dikey hızı aşağıdaki gibidir:

w(t)=(w∞+γ(t-τ))+γτe-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol (w _ {\ infty} + \ gama (t- \ tau) \ sağ) + \ gama \ tau e ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}

Dikey ivme aşağıdaki gibidir:

w˙(t)=γ(1-e-tτ){\ displaystyle {\ nokta {w}} (t) = \ gama \ sol (1-e ^ {- {t \ fazla \ tau}} \ sağ)}

Dikey pislik aşağıdaki gibidir:

w¨(t)=γτe-tτ{\ displaystyle {\ ddot {w}} (t) = {\ gamma \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Planörün 20 m / s hızla uçtuğu ve asansörün 70 m yarıçapına sahip olduğu varsayılmaktadır. Sonra bunu görüyoruz . Daha sonra basitleştirilmiş formülü elde ederiz: t≫τ{\ displaystyle t \ gg \ tau}

w(t)≈w∞+γt+γτe-∞=w∞+γt{\ displaystyle w (t) \ yaklaşık w _ {\ infty} + \ gamma t + \ gamma \ tau e ^ {- \ infty} = w _ {\ infty} + \ gamma t}

Bu form, bir kanadın bir asansöre girdiğinde, dikey hızının, iyi bir doğrulukla, kaldırma hızı eksi düşme hızı olduğunu göstermektedir.

Planörün V hızında uçtuğunu ve geçiş bölgesinin genişliğinin d olduğunu varsayın . Daha sonra elimizde:

γ=w-deVd{\ displaystyle \ gamma = {w_ {a} V \ bölü d}}

D = 10 metre ve w a = 5 m / s olduğunu varsayıyoruz . Daha sonra elimizde:

γ=5×2010=10{\ displaystyle \ gamma = {5 \ times 20 \ over 10} = 10} m / s 2

Yük faktörü hala 2 G'dir. Bu, çok güçlü dikey akımların bir uçağı tahrip edebileceğini doğrular.

Dikey hızın hesaplanması

Bunu hatırla:

mK˙(t)e-tτ=(παbenρSV2-W)+πw-deρSV{\ displaystyle m {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ fazla \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Bu nedenle,

mK˙(t)e-tτ=(παbenρSV2-W)+πγρSt{\ displaystyle m {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ fazla \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi \ gama \ rho St}

W = mg olduğu hatırlanır . Bu nedenle şunları elde ederiz:

mK˙(t)e-tτ=mαbenτV-mg+γπρSt{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg + \ gamma \ pi \ rho St}

Bu nedenle,

mK˙(t)e-tτ=mαbenτV-mg+mγtτ{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg + m \ gamma {t \ fazla \ tau}}

Bu nedenle,

K˙(t)e-tτ=αbenτV-g+γtτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + \ gamma {t \ over \ tau}}

Bu nedenle,

K˙(t)=(αbenτV-g+γtτ)etτ{\ displaystyle {\ nokta {K}} (t) = \ sol ({\ alfa _ {i} \ \ tau üzerinden V-g + \ gamma {t \ \ tau} \ sağdan) e ^ {t \ fazla \ tau}}

Bu nedenle,

K˙(t)=(αbenVτ-g+γtτ)etτ{\ displaystyle {\ nokta {K}} (t) = \ sol ({\ alpha _ {i} V \ \ tau} -g + \ gamma {t \ \ tau} \ sağdan) e ^ {t \ fazla \ tau}}

Aşağıdaki ilkeli hesaplıyoruz:

L(t)=∫γtτetτdτ{\ displaystyle L (t) = \ int \ gama {t \ \ tau} e ^ {t \ \ tau} d \ tau üzerinde}

Parçalara göre entegre ediyoruz:

L(t)=γtττetτ-γ∫1ττetτdτ{\ displaystyle L (t) = \ gamma {t \ over \ tau} \ tau e ^ {t \ over \ tau} - \ gamma \ int {1 \ over \ tau} \ tau e ^ {t \ over \ tau } d \ tau}

Bu nedenle,

L(t)=γ(t-τ)etτ{\ displaystyle L (t) = \ gama (t- \ tau) e ^ {t \ \ tau üzerinde}}

Biz ikame ediyoruz ve bu nedenle:

w(t)=[τ(αbenVτ-g)+γ(t-τ)+VSte]e-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol [\ tau \ sol ({\ alfa _ {i} V \ fazla \ tau} -g \ sağ) + \ gama (t- \ tau) + Cte \ sağ] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Bu nedenle,

w(t)=[αbenV-gτ+γ(t-τ)]+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ sol [\ alfa _ {i} Vg \ tau + \ gama (t- \ tau) \ sağ] + Cte \ e ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}

Biz de farz t = 0 , elimizdeki w = w 0 . Böylece t = 0'da elde ederiz ,

w0=(αbenV-gτ-γτ)+VSte e0{\ displaystyle w_ {0} = \ sol (\ alpha _ {i} Vg \ tau - \ gamma \ tau \ sağ) + Cte \ e ^ {0}}

Bu nedenle,

VSte=w0-(αbenV-gτ-γτ){\ displaystyle Cte ​​= w_ {0} - \ sol (\ alpha _ {i} Vg \ tau - \ gamma \ tau \ sağ)}

En sonunda:

w(t)=(αbenV-(g+γ)τ+γτ)+[w0-(παbenV-(g+γ)τ)]e-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol (\ alfa _ {i} V- (g + \ gama) \ tau + \ gama \ tau \ sağ) + \ sol [w_ {0} - \ sol (\ pi \ alfa _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau \ right) \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Şimdi varsayalım (asansöre girerken kanadın stabilize olduğunu). w0=w∞{\ displaystyle w_ {0} = w _ {\ infty}}

Bunu hatırla:

w∞=αbenV-gτ{\ displaystyle w _ {\ infty} = \ alpha _ {i} Vg \ tau}

Bu nedenle,

w(t)=(αbenV-(g+γ)τ+γt)+[αbenV-gτ-(αbenV-(g+γ)τ)]e-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol (\ alfa _ {i} V- (g + \ gama) \ tau + \ gamma t \ sağ) + \ sol [\ alfa _ {i} Vg \ tau - \ sol (\ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau \ right) \ sağ] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Bu nedenle bir basitleştirme var:

w(t)=(αbenV-(g+γ)τ+γt)+[-(-γ)τ)]e-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol (\ alfa _ {i} V- (g + \ gama) \ tau + \ gamma t \ sağ) + \ sol [- \ sol (- \ gama) \ tau \ sağ ) \ sağ] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Sonra elde ederiz:

w(t)=(αbenV-gτ+γ(t-τ))+γτe-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol (\ alfa _ {i} Vg \ tau + \ gama (t- \ tau) \ sağ) + \ gama \ tau e ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}

Bu nedenle,

w(t)=(w∞+γ(t-τ))+γτe-tτ{\ Displaystyle w (t) = \ sol (w _ {\ infty} + \ gama (t- \ tau) \ sağ) + \ gama \ tau e ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}  

Kosinüs şeklindeki geçiş

Bir kanat termal asansörde (veya bir rotorda uçtuğunda , dikey hızın sinüzoidal bir şekle sahip olduğunu varsayabiliriz. Bir termiğin yarıçapı 70 metre iken, bir rotor daha yapıya sahiptir.) Aşağıda tartışıldığı gibi kompleks .

Önceki modeli, bir merdiven fonksiyonunu dikkate almak yerine, t = 0'da kanadın kuvveti aşağıdaki gibi artan bir asansöre girdiğini düşündüğümüzde genişletiyoruz:

w-de(x)=12wg[1-çünkü⁡(πxd)]{\ displaystyle w_ {a} (x) = {1 \ 2'den fazla} w_ {g} \ sol [1- \ cos \ sol ({\ pi x \ d} \ sağdan) \ sağdan]}

Biz tanımlıyoruz

κ=πVd{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ d üzeri}}

Dikey hız aşağıdaki gibidir:

w(t)=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(çünkü⁡(κt)+κτgünah⁡(κt))+wg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ 2'den fazla} - {w_ {g} \ 2'den (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ sağ) + {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ sağ) e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Dikey ivme aşağıdaki gibidir:

w˙(t)=-wg2(1+κ2τ2)(-κgünah⁡(κt)+κτκçünkü⁡(κt))-1τwg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle {\ nokta {w}} (t) = - {w_ {g} \ 2'den fazla (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ sol (- \ kappa \ sin (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ kappa \ cos (\ kappa t) \ right) - {1 \ over \ tau} {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ { 2} \ tau ^ {2}} - 1 \ sağ) e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Bu nedenle,

w˙(t)=-wgκ2(1+κ2τ2)(-günah⁡(κt)+κτçünkü⁡(κt))-1τwg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle {\ nokta {w}} (t) = - {w_ {g} \ kappa \ 2'den fazla (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ sol (- \ sin (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ cos (\ kappa t) \ sağ) - {1 \ over \ tau} {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ sağ) e ^ {- {t \ over \ tau}}}Termal asansörde uçuş

Planörün 20 m / s hızla uçtuğu ve asansörün 70 m yarıçapına sahip olduğu varsayılmaktadır. Sonra bunu görüyoruz . Daha sonra basitleştirilmiş formülü elde ederiz: t≫τ{\ displaystyle t \ gg \ tau}

w(t)≈w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(çünkü⁡(κt)+κτgünah⁡(κt)){\ displaystyle w (t) \ yaklaşık w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}) } \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ sağ)}

Aynı şekilde biz de var . Bu nedenle ek bir basitleştirmeye sahibiz: κτ≪1{\ displaystyle \ kappa \ tau \ ll 1}

w(t)≈w∞+wg2(1-çünkü⁡(κt)){\ Displaystyle w (t) \ yaklaşık w _ {\ infty} + {w_ {g} \ 2'den fazla} (1- \ cos (\ kappa t))}

Kanadın hızı bu nedenle yaklaşık olarak asansörün profilini takip eder.

İvme daha sonra şu hale gelir:

w˙(t)≈wgκ2günah⁡(κt){\ displaystyle {\ nokta {w}} (t) \ yaklaşık {w_ {g} \ kappa \ 2'den fazla} \ sin (\ kappa t)}

İvme bu nedenle maksimum olacak ve değer olacak κt=π/2{\ displaystyle \ kappa t = \ pi / 2}

-deM=wgκ2{\ displaystyle a_ {M} = {w_ {g} \ kappa \ 2'den fazla}}

Sahibiz :

κ=πVd=π×2070=0.9{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ d üzeri} = {\ pi \ times 20 \ 70 üzeri} = 0,9}

İvme şu şekilde olacaktır:

-deM=5×0.92=2.25{\ displaystyle a_ {M} = {5 \ times 0.9 \ over 2} = 2.25}

Yük faktörü önemli ölçüde küçülür. Bununla birlikte, V hızı yüksekse (nakliye uçağı) ve w g da yüksekse, uçağın kırılma riski devam eder.

Formüllerin gösterilmesi

Bunu hatırla:

mK˙(t)e-tτ=(παbenρSV2-W)+πw-deρSV{\ displaystyle m {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ fazla \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Bu nedenle,

mK˙(t)e-tτ=(παbenρSV2-W)+π12wg[1-çünkü⁡(πxd)]ρSV{\ displaystyle m {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ fazla \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi { 1 \ over 2} w_ {g} \ left [1- \ cos \ left ({\ pi x \ over d} \ sağ) \ sağ] \ rho SV}

W = mg olduğu hatırlanır . Bu nedenle şunları elde ederiz:

mK˙(t)e-tτ=(παbenρSV2-mg)+π12wg[1-çünkü⁡(πxd)]ρSV{\ displaystyle m {\ nokta {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -mg) + \ pi { 1 \ over 2} w_ {g} \ left [1- \ cos \ left ({\ pi x \ over d} \ sağ) \ sağ] \ rho SV}

Bu nedenle,

mK˙(t)e-tτ=mαbenτV-mg+wg2[1-çünkü⁡(πxd)]mτ{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg + {w_ {g} \ 2} üzerinde \ sol [1- \ cos \ left ({\ pi x \ over d} \ right) \ sağ] {m \ over \ tau}}

Bu nedenle,

K˙(t)e-tτ=αbenτV-g+wg2[1-çünkü⁡(πxd)]1τ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2} \ sol [1- \ cos \ left ({\ pi x \ over d} \ right) \ sağ] {1 \ over \ tau}}

Bu nedenle,

K˙(t)={αbenτV-g+wg2τ[1-çünkü⁡(πxd)]}etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ sol \ {{\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2 \ tau} \ left [1- \ cos \ left ({\ pi x \ over d} \ right) \ sağ] \ sağ \} e ^ {t \ over \ tau}}

Bu nedenle,

K˙(t)=[αbenτV-g+wg2τ-wg2τçünkü⁡(πxd)]etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ sol [{\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2 \ tau} - {w_ {g} \ over 2 \ tau} \ cos \ left ({\ pi x \ over d} \ right) \ sağ] e ^ {t \ over \ tau}}

Aşağıdaki ilkeli hesaplıyoruz:

L(t)=∫çünkü⁡(πxd)etτdτ{\ Displaystyle L (t) = \ int \ çünkü \ sol ({\ pi x \ d} \ sağdan) e ^ {t \ \ tau} d \ tau üzerinde}

X = V t olduğunu hatırlıyoruz .

Bu nedenle,

L(t)=∫çünkü⁡(πVtd)etτdτ{\ displaystyle L (t) = \ int \ çünkü \ sol ({\ pi Vt \ d} \ sağdan) e ^ {t \ \ tau} d \ tau üzerinde}

Parçalara göre entegre ediyoruz:

L(t)=çünkü⁡(πVtd)etττ-πVd∫(-)günah⁡(πVtd)etττdτ{\ Displaystyle L (t) = \ çünkü \ sol ({\ pi Vt \ d} \ sağ üzerinde) e ^ {t \ \ tau} \ tau üzerinde - {\ pi V \ d} \ int (-) \ üzerinde sin \ left ({\ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau d \ tau}

Yeniden başlıyoruz ve bu nedenle:

L(t)=çünkü⁡(πVtd)etττ+πVdgünah⁡(πVtd)etτττ-∫(πVd)2çünkü⁡(πVtd)etτττdτ{\ Displaystyle L (t) = \ çünkü \ sol ({\ pi Vt \ d} \ sağdan) e ^ {t \ fazla \ tau} \ tau + {\ pi V \ d} \ sin \ sol ({ \ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau \ tau - \ int \ left ({\ pi V \ over d} \ right) ^ {2} \ cos \ left ({ \ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau \ tau d \ tau}

Biz tanımlıyoruz κ=πVd{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ d üzeri}}

Sonra elde ederiz:

L(t)=çünkü⁡(κt)etττ+κgünah⁡(κt)etττ2-κ2τ2L(t){\ displaystyle L (t) = \ cos (\ kappa t) e ^ {t \ fazla \ tau} \ tau + \ kappa \ sin (\ kappa t) e ^ {t \ \ tau} \ tau ^ {2 } - \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2} L (t)}

Bu nedenle,

L(t)(1+κ2τ2)=τçünkü⁡(κt)etτ+κτ2günah⁡(κt)etτ{\ displaystyle L (t) (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}) = \ tau \ cos (\ kappa t) e ^ {t \ üzerinde \ tau} + \ kappa \ tau ^ {2 } \ sin (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau}}

Bu nedenle:

K(t)=(αbenτV-g+wg2τ)τetτ-wg2τL(t)+VSte{\ Displaystyle K (t) = \ sol ({\ alfa _ {i} \ \ tau üzerinden V-g + {w_ {g} \ 2 \ tau} \ sağdan) \ tau e ^ {t \ \ tau üzerinde} - {w_ {g} \ 2'den fazla \ tau} L (t) + Cte}

Bu nedenle,

K(t)=(αbenV-gτ+wg2)etτ-wg2τ(1+κ2τ2)(τçünkü⁡(κt)etτ+κτ2günah⁡(κt)etτ)+VSte{\ displaystyle K (t) = \ sol (\ alpha _ {i} Vg \ tau + {w_ {g} \ üzerinde 2} \ sağ) e ^ {t \ fazla \ tau} - {w_ {g} \ bitti 2 \ tau (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ tau \ cos (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} + \ kappa \ tau ^ {2} \ sin (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} \ right) + Cte}

Bu nedenle,

K(t)=[αbenV-gτ+wg2-wg2τ(1+κ2τ2)(τçünkü⁡(κt)+κτ2günah⁡(κt))]etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ sol [\ alpha _ {i} Vg \ tau + {w_ {g} \ 2'den fazla} - {w_ {g} \ 2'den fazla \ tau (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ tau \ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau ^ {2} \ sin (\ kappa t) \ sağ) \ sağ] e ^ {t \ over \ tau } + Cte}

Bir basitleştirme var:

K(t)=[αbenV-gτ+wg2-wg2(1+κ2τ2)(çünkü⁡(κt)+κτgünah⁡(κt))]etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ sol [\ alpha _ {i} Vg \ tau + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) \ sağ] e ^ {t \ over \ tau} + Cte}

Bunu hatırla:

w∞=αbenV-gτ{\ displaystyle w _ {\ infty} = \ alpha _ {i} Vg \ tau}

Bu nedenle,

K(t)=[w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(çünkü⁡(κt)+κτgünah⁡(κt))]etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ sol [w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2 })} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) \ sağ] e ^ {t \ over \ tau} + Cte}

Bunu hatırla: w(t)=K(t)e-tτ{\ Displaystyle w (t) = K (t) e ^ {- {t \ \ tau üzerinde}}}

Bu nedenle,

w(t)=[w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(çünkü⁡(κt)+κτgünah⁡(κt))]etτe-tτ+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ sol [w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2 })} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) \ right] e ^ {t \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau }} + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Bu nedenle,

w(t)=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(çünkü⁡(κt)+κτgünah⁡(κt))+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ 2'den fazla} - {w_ {g} \ 2'den (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ sağ) + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Şimdi sınır koşullarını belirledik. At t = 0 , elimizdeki . Bu nedenle, w(t=0)=w∞{\ displaystyle w (t = 0) = w _ {\ infty}}

w∞=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(çünkü⁡(κ0)+κτgünah⁡(κ0))+VSte e-0τ{\ displaystyle w _ {\ infty} = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2} )} \ left (\ cos (\ kappa 0) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa 0) \ sağ) + Cte \ e ^ {- {0 \ over \ tau}}}

Bu nedenle,

0=wg2-wg2(1+κ2τ2)(çünkü⁡(κ0)+κτgünah⁡(κ0))+VSte{\ displaystyle 0 = {w_ {g} \ 2 üzerinden} - {w_ {g} \ 2 üzerinden (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ sol (\ cos (\ kappa 0) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa 0) \ sağ) + Cte}

Bu nedenle,

VSte=wg2(11+κ2τ2-1){\ displaystyle Cte ​​= {w_ {g} \ 2'den fazla} \ sol ({1 \ 1+ üzerinde \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ sağ)}

Bu nedenle,

w(t)=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(çünkü⁡(κt)+κτgünah⁡(κt))+wg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ 2'den fazla} - {w_ {g} \ 2'den (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ sağ) + {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ sağ) e ^ {- {t \ over \ tau}}}  

Girdaplardan uçuşlar

Tourbillon modeli sert bir katı gibi davranıyor

Bir rotor , son derece basitleştirilmiş bir şekilde, katı bir tambur davranışına sahip basit bir Ox ekseni girdabı olarak modellenebilir .

Açısal dönme hızının şu olduğu varsayılmaktadır:

Ω→=Ωben→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = \ Omega {\ vec {i}}}

Girdap şöyle olacaktır:

η→=2Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = 2 {\ vec {\ Omega}}}

Oy ekseni boyunca, dikey hız w değerinde olacaktır:

w=Ωy{\ displaystyle w = \ Omega y}

Şimdi Oy boyunca V hızında uçan bir uçağı ele alıyoruz .

Biz y (t) = V t Elimizdeki, böylece:

w(t)=12y(t)η=Vη2t{\ Displaystyle w (t) = {1 \ 2'den fazla} y (t) \ eta = {V \ eta \ 2'den fazla} t}

Dolayısıyla bu durum, yukarıda işlem gören dikey hızın doğrusal büyümesi durumuna indirgenmiştir .

Vortisitenin hesaplanması

Açısal hızı Ω olan bir katı gibi davranan bir girdabı düşünürsek, doğrusal hız ve silindirik koordinatlar:sen→=Ω→∧r→{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {\ Omega}} \ kama {\ vec {r}}}

Basitleştirmek için, Ω eksenini Ox (yatay rotor) olarak kabul ediyoruz . Daha sonra elimizde:

sen→=Ωben→∧(xben→+yj→+zk→{\ displaystyle {\ vec {u}} = \ Omega {\ vec {i}} \ wedge (x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}} + z {\ vec {k}}}

Bu nedenle,

sen→=Ω(yk→-zj→){\ displaystyle {\ vec {u}} = \ Omega (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}})}

Şimdi girdapları hesaplıyoruz . Sahibiz : η{\ displaystyle \ eta}

η→=∇→∧sen→=(∂∂xben→+∂∂jj→+∂∂zk→)∧Ω(yk→-zj→){\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {u}} = \ sol ({\ kısmi \ üzerinde \ kısmi x} {\ vec {i}} + {\ kısmi \ over \ kısmi j} {\ vec {j}} + {\ kısmi \ kısmi z} {\ vec {k}} \ sağ) \ kama \ Omega (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}})}

Hafif bir basitleştirme var:

η→=Ω(∂∂yj→+∂∂zk→)∧(yk→-zj→){\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ Omega \ sol ({\ kısmi \ üzerinde \ kısmi y} {\ vec {j}} + {\ kısmi \ üzerinde \ kısmi z} {\ vec {k}} \ sağ) \ kama (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}})}

Bu nedenle,

η→=Ω(∂∂yj→∧(yk→-zj→)+∂∂zk→∧(yk→-zj→)){\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ Omega \ sol ({\ kısmi \ üzerinde \ kısmi y} {\ vec {j}} \ kama (y {\ vec {k}} - z {\ vec { j}}) + {\ kısmi \ over \ kısmi z} {\ vec {k}} \ wedge (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}}) \ sağ)}

Bu nedenle,

η→=Ω(∂y∂yj→∧k→-zj→)-∂z∂zk→∧j→)=2Ωben→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ Omega \ sol ({\ kısmi y \ üzeri \ kısmi y} {\ vec {j}} \ kama {\ vec {k}} - z {\ vec {j }}) - {\ kısmi z \ over \ kısmi z} {\ vec {k}} \ wedge {\ vec {j}} \ sağ) = 2 \ Omega {\ vec {i}}}

En sonunda:

η→=2Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = 2 {\ vec {\ Omega}}}

Oy ekseni boyunca, dikey hız w değerinde olacaktır:

w=Ωy{\ displaystyle w = \ Omega y}   Bir rotorda uçuş

Bir rotor neredeyse her zaman bir dağ dalgası sistemine bağlıdır ve türbülanslı alt tabakaya karşılık gelir. Bir rotor, farklı boyutlardaki oyuklardan oluşur. Eğer k girdap dalga sayısı, frekansı ( Fourier dönüşümü gibi, girdapların orantılıdır) için , bu nedenle esas olarak büyük yarıçaplı girdaplar baskın olacak ve. Bununla birlikte, girdaplar tüm boyutlara sahip olabilir ve d = 10 metre boyutunda bir girdap olarak kabul ediyoruz . k-53{\ displaystyle k ^ {- {5 \ 3'ün üzerinde}}}k≥3×10-3{\ displaystyle k \ geq 3 \ times 10 ^ {- 3}}

Sonra elde ederiz:

κ=πVd=π×2010=6.28{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ d üzeri} = {\ pi \ times 20 \ over 10} = 6,28}

Maksimum hızlanma aşağıdaki gibi olacaktır:

-deM≈wgκ2(1+κ2τ2)(1+κτ){\ displaystyle a_ {M} \ yaklaşık {w_ {g} \ kappa \ 2'den fazla (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} (1+ \ kappa \ tau)} Küçük alt rotorlarda dikey ivmenin hesaplanması

Burada biz var: Bunu hatırlıyoruz . κτ=6.28×0.25≈1.5{\ displaystyle \ kappa \ tau = 6,28 \ times 0,25 \ yaklaşık 1,5}κt≪1{\ displaystyle \ kappa t \ ll 1}

Ek olarak, bu nedenle, κτ'nin küçük olduğunu varsayamayız. Yukarıdaki formülü alıyoruz ve ivme şöyle oluyor:

w˙(t)=-wgκ2(1+κ2τ2)(-günah⁡(κt)+κτçünkü⁡(κt)){\ displaystyle {\ nokta {w}} (t) = - {w_ {g} \ kappa \ 2'den fazla (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ sol (- \ sin (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ cos (\ kappa t) \ sağ)}

Bu nedenle,

w˙(t)=wgκ2(1+κ2τ2)(günah⁡(κt)-κτçünkü⁡(κt)){\ displaystyle {\ nokta {w}} (t) = {w_ {g} \ kappa \ 2'den fazla (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ sol (\ sin (\ kappa t ) - \ kappa \ tau \ cos (\ kappa t) \ sağ)}

Sarsıntı sıfır olduğunda ivme maksimumdur . Biz yazarız :

0=w¨(t)=-wgκ2(1+κ2τ2)(-κçünkü⁡(κt)+κτ(-)κgünah⁡(κt)){\ displaystyle 0 = {\ ddot {w}} (t) = - {w_ {g} \ kappa \ 2'den fazla (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ sol (- \ kappa \ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau (-) \ kappa \ sin (\ kappa t) \ sağ)}

Bu nedenle çözüyoruz:

0=çünkü⁡(κt)+κτgünah⁡(κt){\ Displaystyle 0 = \ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t)}

Bu nedenle,

bronzlaşmak⁡(κt)=-1κτ{\ displaystyle \ tan (\ kappa t) = - {1 \ \ kappa \ tau üzerinde}}

Böylece sahibiz :

-deM=wgκ2(1+κ2τ2)günah⁡(κt)(1-(-)κτ){\ displaystyle a_ {M} = {w_ {g} \ kappa \ 2 üzerinden (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ sin (\ kappa t) \ sol (1 - (-) \ kappa \ tau \ sağ)}

Bunu varsayabiliriz ve bu nedenle: günah⁡(κt)≈1{\ displaystyle \ sin (\ kappa t) \ yaklaşık 1}

-deM=wgκ2(1+κ2τ2)(1+κτ){\ displaystyle a_ {M} = {w_ {g} \ kappa \ 2'den fazla (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} (1+ \ kappa \ tau)}  

Sayısal olarak şunu elde ederiz:

-deM=wg×6.282×(1+1.52)×(1+1.5)=wg×2.41{\ displaystyle a_ {M} = w_ {g} \ times {6.28 \ over 2 \ times (1 + 1.5 ^ {2})} \ times (1 + 1.5) = w_ {g} \ times 2.41}

Bu nedenle, 5 m / s'lik bir fırtına, yaklaşık 1.5 G'lik bir hızlanma ve bu nedenle 2.5 G'lik bir yük faktörü oluşturacaktır. Bu tür rüzgarlar meydana gelebilir.

10 m dikey sert rüzgar / s oldukça yaygındır ve yük faktörü, rotorlar formül kullanılarak 16 G. bir yük faktörü ile paraşütlere kırılmış 3.5 G. In geçmiş olacak , yukarıda gusts temaları mertebesinde olurdu, m / s. Pilot bir rotor bulutu içinde uçmuştu. 150/2.41≈60{\ displaystyle 150 / 2.41 \ yaklaşık 60}

Yatay patlamaların etkisi

Ekstrem koşullarda Joachim Kuettner ve Larry Elgar inanılmaz hız sıçramalarıyla karşılaştı; Larry Elgar, planörünü kırdı ve 16 ile 20 G arasında hızlanmalara maruz kalacaktı. Bu nedenle, kanadın parçalanma riskinin ardından yatay hava hızının 20 m / s'den 40 m / s'ye ikiye katlanması gibi görünüyor.

Let V 0 olması bora karşılaşması ve önce hava hızı v bora hızı. Planörün yaşadığı yük faktörü aşağıdaki gibidir:

-de=g(1+v2+2vV0V02){\ displaystyle a = g \ sol (1+ {v ^ {2} + 2vV_ {0} \ V_ {0} ^ {2}} \ sağ üzerinde)}

Planörün dikey ivmesi (pilottan düzeltme yapılmadan):

d2hdt2=g[(V0+v)2-V02]V02çünkü⁡(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {g [(V_ {0} + v) ^ {2} -V_ {0} ^ {2}] \ over V_ {0} ^ {2}} \ cos (\ omega t)}

• h planörün rakımıdır
• ω=2gV0{\ displaystyle \ omega = {{\ sqrt {2}} g \ over V_ {0}}}

Enerjinin korunmasından gösteri

V 0 uçağın hızı olsun . Bir hız patlaması v ile karşılaştığı varsayılmaktadır . Yer hızı yerel olarak sabit olduğundan, hava hızı artacak (veya azalacak) ve V + r olacaktır . Uçağın sabit bir tutum sergilediği varsayılmaktadır. Hücum açısı da sabit olacak ve bu nedenle kaldırma katsayısı sabit olacaktır.

Fırtınayla karşılaşmadan önce asansör:

L=12VSLρSV2{\ displaystyle L = {1 \ 2'den fazla} C_ {L} \ rho SV ^ {2}}

: Hava denge ve bu nedenle de bir L = W .

Ani bir yatay fırtına sonrasında hava hızının V_0 + v olduğu varsayılır .

Rüzgarla karşılaştıktan sonra asansör şu hale gelecektir:

L′=12VSLρSV2{\ displaystyle L '= {1 \ 2'den fazla} C_ {L} \ rho SV ^ {2}}

Dolayısıyla yukarı doğru kuvvet:

F=L′-W{\ displaystyle F = L'-W}

Bu nedenle şunu fark ediyoruz:

F=12VSLρS[V2-V02]{\ displaystyle F = {1 \ over 2} C_ {L} \ rho S [V ^ {2} -V_ {0} ^ {2}]}

Dolayısıyla yukarı doğru ivme:

-de=12mVSLρS(V2-V02){\ displaystyle a = {1 \ 2 milyondan fazla} C_ {L} \ rho S (V ^ {2} -V_ {0} ^ {2})}

Toplam enerji (potansiyel enerji + kinetik enerji) yatay patlama içinde korunur. Bu nedenle,

12V2+gh=VSte{\ displaystyle {1 \ over 2} V ^ {2} + gh = Cte}

Belirlenen E = V 2 /2 . Sonra elde ederiz:

E+gh=VSte{\ displaystyle E + gh = Cte}

Bu denklemi türetiyoruz. Bu nedenle,

dEdt+gdhdt=0{\ displaystyle {dE \ over dt} + g {dh \ over dt} = 0}

İkinci kez kayıyoruz:

d2Edt2+gd2hdt2=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = 0}

Bu ikinci türevinin yerine saat bu nedenle hızlandırma ve için:

d2Edt2+g(12mVSLρS(V2-V02))=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ fazla dt ^ {2}} + g \ sol ({1 \ 2 milyondan fazla} C_ {L} \ rho S (V ^ {2} -V_ {0} ^ {2 }) \ sağ) = 0}

Ve bu yüzden :

d2Edt2+g(12mVSLρS(2E-V02))=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ fazla dt ^ {2}} + g \ sol ({1 \ 2 milyondan fazla} C_ {L} \ rho S (2E-V_ {0} ^ {2}) \ sağ ) = 0}

Sahibiz :

12VSLρSV02=mg{\ displaystyle {1 \ 2'den fazla} C_ {L} \ rho SV_ {0} ^ {2} = mg}

Bu nedenle,

VSL=2mgρSV02{\ displaystyle C_ {L} = {2mg \ over \ rho SV_ {0} ^ {2}}}

Değiştiriyoruz:

d2Edt2+g(12m×2mgρSV02×ρS(2E-V02))=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g \ left ({1 \ 2m'den fazla} \ times {2mg \ over \ rho SV_ {0} ^ {2}} \ times \ rho S (2E-V_ {0} ^ {2}) \ sağ) = 0}

Bu nedenle,

d2Edt2+g2V02(2E-V02)=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + {g ^ {2} \ over V_ {0} ^ {2}} (2E-V_ {0} ^ {2}) = 0 }

Biz tanımlıyoruz:

E′=E-12V02{\ displaystyle E '= E- {1 \ 2} V_ {0} ^ {2}} üzerinde

Sonra elde ederiz:

d2E′dt2+2g2V02E′=0{\ displaystyle {d ^ {2} E '\ over dt ^ {2}} + {2g ^ {2} \ over V_ {0} ^ {2}} E' = 0}

Daha sonra şunları tanımlarız:

ω2=2g2V02{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {2g ^ {2} \ over V_ {0} ^ {2}}}

Bu nedenle,

ω=2gV0{\ displaystyle \ omega = {{\ sqrt {2}} g \ over V_ {0}}}

Bu nedenle çözüyoruz:

d2E′dt2+w2E′=0{\ displaystyle {d ^ {2} E '\ over dt ^ {2}} + w ^ {2} E' = 0}

Dolayısıyla genel çözüm şudur:

E(t)=ATçünkü⁡(ωt)+Bgünah⁡(ωt){\ Displaystyle E (t) = A \ çünkü (\ omega t) + B \ sin (\ omega t)}

At t = 0 , elimizdeki E ' 0 verildi. Bu nedenle,

E′(t=0)=ATçünkü⁡(ω0)+Bgünah⁡(ω0){\ Displaystyle E '(t = 0) = A \ cos (\ omega 0) + B \ sin (\ omega 0)}

Ve bu yüzden,

E′(t)=E0′çünkü⁡(ωt)+Bgünah⁡(ωt){\ displaystyle E '(t) = E' _ {0} \ cos (\ omega t) + B \ sin (\ omega t)}

Böylece sahibiz :

E′˙(t)=-ωE0′günah⁡(ωt)+Bωçünkü⁡(ωt){\ displaystyle {\ nokta {E '}} (t) = - \ omega E' _ {0} \ sin (\ omega t) + B \ omega \ cos (\ omega t)}

En t = 0 , biz ivme sonlu sıfırdır, dikey hızına sahiptir. Bu nedenle,

0=E˙(t=0)=-ωE0′günah⁡(ω0)+Bωçünkü⁡(ω0){\ displaystyle 0 = {\ nokta {E}} (t = 0) = - \ omega E '_ {0} \ sin (\ omega 0) + B \ omega \ cos (\ omega 0)}

Ve böylece, B = 0 . Son olarak, bu nedenle elimizde:

E(t)=E0′çünkü⁡(ωt){\ displaystyle E (t) = E '_ {0} \ cos (\ omega t)}

Bu nedenle,

E¨(t)=-ω2E0′çünkü⁡(ωt){\ displaystyle {\ ddot {E}} (t) = - \ omega ^ {2} E '_ {0} \ cos (\ omega t)}

Bunu hatırla:

d2Edt2+gd2hdt2=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = 0}

Dikey ivme bu nedenle:

d2hdt2=1gE¨(t)=-ω2gE0′çünkü⁡(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {1 \ over g} {\ ddot {E}} (t) = - {\ omega ^ {2} \ over g} E ' _ {0} \ cos (\ omega t)}

Bu nedenle,

d2hdt2=2g2gV02E0′çünkü⁡(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {2g ^ {2} \ over gV_ {0} ^ {2}} E '_ {0} \ cos (\ omega t)}

Bu nedenle,

d2hdt2=2gV02E0′çünkü⁡(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {2g \ over V_ {0} ^ {2}} E '_ {0} \ cos (\ omega t)}  

V 0 = 20 m / s olduğunu ve t = 0'da V (t = 0) = 40 m / s olduğunu varsayıyoruz . ( V = 20 m / s olsun)

Bu nedenle ilk ivme şu şekildedir:

-de=gv2+2V0vV02=10×202+2×20×20202=30{\ displaystyle a = g {v ^ {2} + 2V_ {0} v \ over V_ {0} ^ {2}} = 10 \ times {20 ^ {2} +2 \ times 20 \ times 20 \ over 20 ^ {2}} = 30} m / s 2 .

3 G olsun. Yük faktörü bu nedenle (3 + 1) G = 4 G olur ve bu bir kanadın kırılma noktasına yakın olur.

Bu model, Joachim Kuettner'ın çok şiddetli bir rotorla uçarken neden 4 G hızlanmaya maruz kaldığını ve hava hızının çok güçlü bir şekilde arttığını açıklıyor . Joachim Kuettner seçti ve bu muhtemelen, stall'ın altındaki hava hızını düşüren olumsuz bir fırtına nedeniyle. Yarım saat sonra, Larry Edgar planörünü çok benzer koşullarda kırdı. Hayatta kalacağı 16-20 G hızlanmaya maruz kalır. Geçici olarak bilinçsiz olduğu için, olayların kesin sırası belirlenemiyor. Bu olağanüstü hızlanmaların planör kırıldıktan sonra meydana gelmesi muhtemeldir, ancak hiçbir şey bunu doğrulamamıza izin vermez.

Böylece Joachim Kuettner şu raporu yazdı:

"  Kısa 1600 ft / dak yukarı, 1000 ft / dak aşağı okumanın ardından hız, sadece gökyüzünün görünmesine izin veren burun yukarı durumuna rağmen yaklaşık 2 saniye içinde 45 mph'den 90 mph'ye yükseldi. pencerenin dışı. 4,5 G okumada gemi tekrar durdu  »

Fransızca çeviri: "Kısa bir süre için gösterilen varyometre +8 m / s ve ardından -5 m / s. Kanopinin yalnızca gökyüzünün görülebilmesine izin veren son derece burun yukarı duruşuna rağmen, hava hızı 2 saniye içinde 20 m / s'den 40 m / s'ye çıktı. Ne zaman akselerometre 4.5 G belirtilen planör “yine durdu.

Kuettner'ın hikayesi yukarıdaki modeli doğruluyor ve bu nedenle rüzgar 20  m / s'ye ulaştığında koşullar son derece tehlikeli hale geliyor.

Notlar ve referanslar

Notlar

1. Fransız pisliğindeki resmi isim belirsiz olan sarsıntıdır , çünkü bir çıkıntı daha çok Dirac'ın bir "işlevi" gibidir . Bununla birlikte, referansta belirtildiği gibi kolej derslerinde pislik kelimesi kullanılır.
2. Referans, bu modeli ayrıntılı olarak tartışmaktadır.
3. Alt girdaplar herhangi bir küçük boyutta olabilirken, daha büyük girdaplar yaklaşık 600 m çapında olabilir. Bu, Sharman'ın makalesinde tartışılmaktadır.

Referanslar

1. (in) Havacılık Bilgi Kılavuzu , Federal Havacılık İdaresi ,2012, PDF ( çevrimiçi okuyun ) , s.  7-1-48
2. Dinamikler
3. Performans
4. (in) Joachim Kuettner Rolf Hertenstein, "  Dağın neden olduğu rotorların gözlemleri ve ilgili varsayımlar: bir inceleme  " , 10. Dağ Meteorolojisi AMS Konferansı Bildirileri , Amerikan meteoroloji topluluğu,2002, s.  2 ( çevrimiçi okuyun [PDF] )
5. Canavar , s.  141
6. (inç) Joachim Kuettner , "  Dağların rüzgârında rotor akışı  " , GRD araştırma notları , Jeofizik araştırma müdürlüğü USAF , n o  6,Ocak 1959( çevrimiçi okuyun [PDF] )
7. (inç) Bob Spielman, "  Planör kazası  " , Soaring , Soaring Society of America ,Aralık 2015, s.  32-36
8. Dinamikler , s.  295
9. (inç) Howard B. Bluestein, Şiddetli Konvektif Fırtına ve Kasırga Gözlemleri ve Dinamikleri , Springer-Verlag ,2013, 456  s. ( ISBN  978-3-642-05380-1 , DOI  10.1007 / 978-3-642-05381-8 ) , s.  112
10. (in) Ioan Vrabie, Diferansiyel Denklemler: Temel Kavramlara, Sonuçlara ve Uygulamalara Giriş , World Scientific Publishing ,2004, 401  s. ( ISBN  981-238-838-9 , çevrimiçi okuyun ) , s.  257
11. "  Hızlanma ve sarsıntı hızı  " [PDF] ( 2 Şubat 2018'de erişildi )
12. (inç) JG Jones, "  Zaman Aşamalı Dikey ve Yanal Kuvvetlerin Çalışmaları: MULTIAXIS-Eksi-Bir Kosinüs Kuvvet Modelinin Geliştirilmesi  " [PDF] , Federal Havacılık İdaresi ,Ekim 1999(erişim tarihi 10 Şubat 2018 )
13. Dinamikler , s.  297
14. Sylvie Malardel, Meteorolojinin Temelleri, ikinci baskı , Toulouse, Cépaduès,2009, 710  s. ( ISBN  978-2-85428-851-3 ) , s.  634
15. (en) RD Sharman ve diğerleri, "  Atmosferik Türbülansın Otomatikleştirilmiş Durumda Girdap Dağılımı-Yayılma Hızı Raporlarının Tanımı ve Türetilmiş Klimatolojileri  " , Journal of Applied Meteorology and Climatology , cilt.  53,Haziran 2014( DOI  10.1175 / JAMC-D-13-0329.1 , çevrimiçi okuyun [PDF] )
16. (in) Lukas Strauss, "  Dağ dalgalarında ve atmosferik rotorlarda kırılan türbülans Havadaki Doppler radarı ve yerinde ölçümlerden tahmin edilmektedir  " , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , cilt.  141,ekim 2015( DOI  10.1002 / qj.2604 , çevrimiçi okuyun [PDF] )
17. (inç) Richard Scorer, "  Geniş genlikteki dağ dalgaları teorisi  " , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , cilt.  85, n o  364, Nisan 1959, s.  142 ( DOI  10.1002 / qj.49708536406 )
18. Canavar , s.  136
19. Performans , s.  270

Kaynakça

• [Dynamics] (tr) Louis V Schmidt, Uçak Uçuş Dinamiklerine Giriş , AIAA,1998, 397  s. ( ISBN  978-1-56347-226-8 )
• [Performans] (tr) Mario Asselin, Uçak Performansına Giriş , AIAA,Ağustos 1997, 339  s. ( ISBN  978-1-56347-221-3 )
• [Monster] (tr) Robert F Whelan, Canavarı Keşfetmek: Dağ lee dalgaları: havadan asansör , Wind Canyon Books,2000, 170  p. ( ISBN  978-1-891118-32-6 ) , s.  136

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">