Hiperbolik dinamik

Hiperbolik seti çalışmasıdır dinamik sistemlerin Hiperbolik bulunmaktadır. Basit bir örnek tanımlayalım: kendimize köşegen matrisi veriyoruz

(2001/2){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 ve 0 \\ 0 ve 1/2 \ end {pmatrix}}}

düzlemdeki dinamiklerine bakabiliriz. tek sabit nokta. Sıkıştırılmış bir yönümüz, genişleyen bir yönümüz var. Ya onlar: Biz diğer noktalar üç davranışlara sahip olduğunu fark edebilirsiniz eğilimi doğru ya da düz bir çizgi halinde ondan taşıyabilir veya bunlar şeklinde bir yörüngeye sahip hiperbol . Ö{\ displaystyle O}Ö{\ displaystyle O}

Diyelim ki, bir diferansiyel dinamik sistemin, tüm periyodik noktalar bu tür bir davranış sergilediğinde veya daha genel olarak, tüm değişmez kompakt kümeler gösterdiğinde hiperboliklik sergiler . Bu dinamik sistemlerle ilgili önemli sonuç, kararlılık ve ergodik özellikler sergilemeleri ve bu da onları fiziksel sistemleri açıklamak için iyi adaylar haline getirmesidir .

Hiperbolik kümeler

Bir Verilen Riemann manifoldu ve bir uygulama , gelen içinde . Kendimize bir kısmını vermek arasında . O zaman bunun (tekdüze) hiperbolik bir küme olduğunu söyleriz, eğer: M{\ displaystyle M}f{\ displaystyle f}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}Λ{\ displaystyle \ Lambda}M{\ displaystyle M}Λ{\ displaystyle \ Lambda}f{\ displaystyle f}

• Λ{\ displaystyle \ Lambda}olan kompakt  ;
• Λ{\ displaystyle \ Lambda}olduğu -invariant;f{\ displaystyle f}
• TM|Λ{\ displaystyle TM_ {| \ Lambda}}Whitney'in toplamına ayrılıyor  :

TM|Λ=Es⊕Esen{\ displaystyle TM_ {| \ Lambda} = E ^ {s} \ oplus E ^ {u}}

ve herhangi bir nokta ve herhangi bir pozitif tam sayı için sabitler ve üniformalar varsa , VS>0{\ displaystyle C> 0}λ>1{\ displaystyle \ lambda> 1}Λ{\ displaystyle \ Lambda}x{\ displaystyle x}değil{\ displaystyle n}

‖dfEsdeğil(x)‖≤VSλ-değil{\ displaystyle \ | \ mathrm {d} f_ {E ^ {s}} ^ {n} (x) \ | \ leq C \ lambda ^ {- n}} ‖dfEsendeğil(x)‖≥VSλdeğil.{\ displaystyle \ | \ mathrm {d} f_ {E ^ {u}} ^ {n} (x) \ | \ geq C \ lambda ^ {n}.}

Birkaç açıklama yapılmalıdır. Manifold kompaktsa, bu tanım metrik seçiminden bağımsızdır, bu nedenle gerçekten tamamen diferansiyel bir özelliktir .

Girişteki örnek durumunda , kendi başına bir hiperbolik set vardı. Ö{\ displaystyle O}

f{\ displaystyle f}mutlaka bir diffeomorfizm değildir , ancak dinamikleri bir grup eylemi olarak görmemizi sağlayan bu varsayımı sıklıkla yaparız. Erişim Bourbakism akut için benzer bir kavram tanımlamak için bizi itmek olabilir hisselerin ait Lie gruplarına . Akış durumunda , Whitney toplamını şu şekilde değiştirmenin yeterli olduğunu fark etmekle kendimizi sınırlayalım :

TM|Λ=Es⊕Esen⊕⟨X⟩{\ displaystyle TM_ {| \ Lambda} = E ^ {s} \ oplus E ^ {u} \ oplus \ langle X \ rangle}

akışın yönü nerede . X{\ displaystyle X}

Şimdi bunun hiperbolik olduğunu ne zaman söylediğimizi bilmelisiniz . Hiperbolik bir sabit nokta her zaman hiperbolik bir kümedir, ancak tersine, bazı dinamikler çok daha az basit hiperbolik kümeler kabul eder (örneğin Cantors gibi ). Hakim olan terminoloji Smale'inki  : "  Axiom A map (en)  ". Bu nedenle, aşağıdaki durumlarda Smale'in A aksiyomunu karşıladığını söylüyoruz : f{\ displaystyle f} f{\ displaystyle f}

• Olmayan serseri seti  (tr) ait hiperbolik olan (dolayısıyla kompakt)Ω(f){\ displaystyle \ Omega (f)}f{\ displaystyle f}
• Periyodik noktalar şunlardır yoğun içinde f{\ displaystyle f}Ω(f){\ displaystyle \ Omega (f)}

Yapısal kararlılık

Bir harita söylemek a manifoldu bir düzenlilik kendi içinde, (belli bir sınıf için bir varsa) yapısal olarak kararlı açık topolojide haritalarının içinde her şey için böyle içinde , açık vardır homeomorfizma arasında hangi konjugatlarının ve  : f{\ displaystyle f} M{\ displaystyle M}VSβ{\ displaystyle C ^ {\ beta}}β{\ displaystyle \ beta} U{\ displaystyle U}VSβ{\ displaystyle C ^ {\ beta}}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}g{\ displaystyle g}U{\ displaystyle U} h{\ displaystyle h}M{\ displaystyle M}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}

h∘g∘h-1=f{\ displaystyle h \ circ g \ circ h ^ {- 1} = f}.

Uygulamada, örneklerin var olabilmesi için, süreklilikten kesinlikle daha güçlü olan bir düzenlilik alanında çalışmak gerekir. Ve genellikle mekanlarda çalışıyoruz . Fazla ayrıntıya girmeden, biz hangi diffeomorphisms (ve ayrıca akar) olduğunu gösterebilir C 1 tam -structurally istikrarlı Axiom A olanlar vardır ve ilave teknik hipotezi doğrulamak. Bu sonuçlardan aynısının C 2 topolojisinde de doğru olduğunu varsayıyoruz , ancak bu hala açık bir sorundur. VSr{\ displaystyle C ^ {r}}

Örnekler

Anosov sistemleri hiperbolik setin temel örnekleridir.

Notlar ve referanslar

1. (in) S. Smale , "  Diferansiye Edilebilir Dinamik Sistemler  " , Bull. Acı. Matematik. Soc. , cilt.  73,1967, s.  747-817 ( çevrimiçi okuyun )
2. (in) Maurício Peixoto  (in) ve Charles Pugh , "Yapısal kararlılık" içinde scholarpedia ( çevrimiçi okuma )
3. (içinde) Ricardo Mañé , "  C 1 istikrar varsayımının bir kanıtı  " , Publ. Matematik. IHES , cilt.  66,1987, s.  161-210 ( çevrimiçi okuyun )
4. (inç) Shuhei Hayashi , "  Değişmez manifoldların bağlanması ve akışlar için C 1 -stabilite ve Ω-kararlılık varsayımının çözümü  " , Ann. Matematik. , cilt.  145,1997, s.  81-137 JSTOR 2951824
5. (inç) Sen Hu , "  Üç boyutlu akışlar için C 1 kararlılık varsayımının bir kanıtı  " , Trans. Acı. Matematik. Soc. , cilt.  342, n o  21994, s.  753-772 ( çevrimiçi okuyun )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">