Kompakt istifleme

Kompakt yığın düzenlenmesi şekli olan küreler üst üste bu olmadan, kürelerin büyük yoğunluğa sahip olmak için boşlukta yayılabilir.

Bu, genellikle de bu bir sorundur kendimizi içinde Öklid geometrisi , üç boyutlu uzayda, ama aynı zamanda Öklid düzleme genelleme olabilir ( “alanları” daha sonra olmak çevreler a), Öklid alanı ile n- boyutlu ( n > 3 ) , hipersferlerle veya Öklid dışı bir uzayda .

Düzlemdeki dairelerin kompakt düzenlemesi

Bir düzlemde, aynı yarıçapa sahip bir dairenin etrafına en fazla altı r yarıçaplı daire yerleştirilebilir . Temas halinde olan üç dairenin merkezleri, birbirlerinden 2 r uzaklıkta oldukları için bir eşkenar üçgeni tanımlar . Her açı 60 ° ( π / 3 ) 'e eşit olduğundan , düzgün bir altıgen oluşturmak için ortak bir tepe noktası olan 6 üçgen koyabiliriz .

Aynı hacimdeki topları uygun büyüklükte bir muhafaza içinde depolayarak en kompakt organizasyon olduğunu kolayca görebiliriz.

Bu düzenlemenin yüzey yoğunluğu:

d=π23≃0.9069.{\ displaystyle d = {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} \ simeq 0 {,} 9069.} Gösteri

İkişer ikişer temas halinde olan dört daireyi düşünün. Bu dairelerin merkezleri, kenar 2 r ile bir eşkenar dörtgen oluşturur . Böylelikle düzlemi bir ağı tanımlayan bir elmas mozaik halinde kesmek mümkündür.

Her bir eşkenar dörtgen, bir, iki bölüm içerir, açılı disk merkezi de 2π / 3 merkezi bir açı diskin ve iki kısım π / 3 . Merkezinde bu dört açıların toplamı, böylece da eşit 2n dört diski bölümleri alanlarının toplamı, diğer bir deyişle tam bir disk alanına eşittir, böylece π r 2 .

Eşkenar dörtgenin kendisi için alan vardır . Diskler bu nedenle eşit bir yüzey alanı kaplar . 23 r2{\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}} \ r ^ {2}}d=π r223 r2{\ displaystyle d = {\ frac {\ pi \ r ^ {2}} {2 {\ sqrt {3}} \ r ^ {2}}}}

Joseph-Louis Lagrange , 1773'te hiçbir düzenli anlaşmanın bu kadar yoğun olmadığını kanıtladı. Daireler aynı boyutta olmadığında durum böyle değildir (narenciye dilimlerinin düzenine bakın).

Kompakt küre yığını

Bir düzlemde (düzlem A) temas halinde olan aynı çapta üç küre düşünün. Her zaman aynı çapta dördüncü bir küre yerleştirebiliriz, ilk üçü arasındaki boşluğa, düzenli bir dörtyüzlü oluşturan kürelerin merkezleri .

Kompakt A düzleminin oyuklarına bu şekilde küreler yerleştirerek, ikinci bir kompakt düzlem (B düzlemi) elde ederiz. Üçüncü bir düzlem eklediğimizde, küreleri ya birinci düzlemdekilerle (düzlem A) uyumlu olacak şekilde ya da yeni bir kompakt düzlemi (düzlem C) tanımlayan üçüncü bir yerleştirme olasılığına yerleştirebiliriz. Ve bunun gibi: A, B veya C düzlemlerinin üst üste gelmesi (düzenli veya değil) (ardışık iki harf her zaman farklı olmalıdır).

1611'de Johannes Kepler , bunun en kompakt uzaysal düzenleme olduğunu varsayar. 1831'de Carl Friedrich Gauss , düzenlemenin düzenli olması koşuluyla (bir ağ üzerinde) Kepler'in varsayımını gösterir . Genel durum, 1998'de Thomas Hales tarafından (matematikçiler tarafından dört yıl süren doğrulamalar izledi) gösterildi ve 2014'te hala Thomas Hales tarafından resmen kanıtlandı .

Bu nedenle, bir polipizm örneği oluşturan sonsuz sayıda kompakt istifleme türünü birleştirerek oluşturabilen üç tip kompakt A, B ve C tipi vardır  :

• ABAB… sözde “kompakt altıgen” yığın;
• ABCABC… buna karşılık gelen Bravais kafesinin adını taşıyan "kompakt kübik" veya "yüz merkezli kübik" yığın olarak adlandırılan yığın ;
• ABACABAC… sözde “çift altıgen” istifleme;
• ABCBABCB…;
• ...

Düzenleme ne olursa olsun, her küre diğer 12 küre ile çevrilidir ve hacim yoğunluğu her durumda:

d=π32≃0.74048.{\ displaystyle d = {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {2}}}} \ simeq 0 {,} 740 \, 48.}

Gösterim  - Hesaplama, yüz merkezli bir kübik istiflemeve kompakt bir altıgen istifleme üzerindebasit bir şekilde yapılabilir(kompaktlığın hesaplanması için harici bağlantıya bakın). Diğer kompakt yığınlar için, yapının yukarıda belirtilen durumlardan birinde son bulması için üç düzlemli gruplar halinde kesilmesi yeterlidir.

Daha yüksek boyutlar

3'ten büyük boyuttaki Öklid uzaylarında, kompakt yığınlama problemi hipersferlere genelleşir . En kompakt düzenli düzenlemelerin yoğunlukları, boyut 8'e kadar ve boyut 24 için bilinmektedir (" Hermit sabiti  " makalesine bakın  ).

2016'da Maryna Viazovska , E ağının 8  (inç) boyutunun 8 boyutunda en uygun yığını (düzenli olması gerekmez ) sağladığını duyurdu ve kısa bir süre sonra diğer matematikçilerle işbirliği yaparak Leech ağının en uygun olduğunu gösteren benzer kanıtlar üretti . boyut 24.

Asimptotik olarak, en kompakt düzenlemenin yoğunluğu (düzenli veya değil), boyut n'nin bir fonksiyonu olarak üssel olarak azalır . En yoğun düzenlemelerin genellikle düzenli olduğunu düşünmek için hiçbir neden yok. Bununla birlikte, en iyi bilinen kılavuz her iki durumda da aynıdır: ddeğil{\ displaystyle d_ {n}}ddeğil{\ displaystyle d_ {n}}

2-değil-Ö(değil)≤ddeğil≤2-0.5990değil+Ö(değil).{\ displaystyle 2 ^ {- hayır (n)} \ leq d_ {n} \ leq 2 ^ {- 0 {,} 5990n + o (n)}.}

Kristalografide uygulama

Gelen kristalografi , atomlar ya da iyonlar küçük tabakalar halinde organize olurlar olabilir. Bu özellikle metalik yapılar için geçerlidir, kristaller sadece bir tip partikülden oluşur. Kürelerle modellendiyse, küreler temas halinde olduğunda yığın kompakttır.

İki ana kompakt yığın türü şunlardır:

• Altıgen kompakt (ya da hcp hc içiçe kapalı bir altıgen ): sırası istifleme atomu katmanları ABAB , koordinasyonu polihedron atomu bir bir anticuboctahedron  ;
• yüz merkezli kübik cfc (veya kübik yakın paketlenmiş için ccp ): ABC düzeninde yığılmış atom katmanları, atomların koordinasyon polihedronu bir küpoktahedrondur .

Örnekler:

• cfc: östenit , alüminyum .

Hacim yoğunluğuna kompaktlık denir . Doldurma oranı, yaklaşık 74 olan  % (% 26 vakum).

Yapı vs. ağ

Olarak kompakt kübik yapısı , atomlar düğümlerin bağlantılı olarak yer almakta olan yüzey merkezli kübik kafes ve bu nedenle kompakt kübik yapısı genellikle aynı zamanda bir yüzey merkezli kübik yapısı olarak adlandırılır.

Öte yandan, kompakt altıgen yapıda atomlar ağın düğümlerinde değil , uzay grubunda eşdeğer olan ⅓, ⅔, ¼ ve ⅔, ⅓, ¾ konumundadırlar ( P 6 3 / mmc , n ° 194). Ağ kompakt altıgen yapısında bir ilkel altıgen bir ağdır.

Referanslar

1. Conway ve Sloane 1999 , bölüm. 1, s. 8.
2. (inç) Frank Morgan, "  8 Numara Küre Ambalaj  " , The Huffington Post'ta ,Mart 21, 2016( 10 Nisan 2016'da erişildi )
3. (de) Andreas Loos, "  Mathematik: So stapeln Mathematiker Melonen  " , Die Zeit ,Mart 21, 2016( ISSN  0044-2070 , çevrimiçi okuma , 10 Nisan 2016'da erişildi )
4. (en-US) Lisa Grossman , "  Yeni matematik kanıtı portakalların 24 boyutta nasıl istifleneceğini gösteriyor  " , New Scientist ,Mart 28, 2016( 10 Nisan 2016'da erişildi )
5. (inç) Erica Klarreich , "  Daha Yüksek Boyutlarda Çözülmüş Küre Paketleme  " , Quanta Dergisi ,Mart 30, 2016( çevrimiçi okuyun , 23 Mart 2021'de danışıldı )
6. Conway ve Sloane 1999 , bölüm. 1, s. 20.

Ayrıca görün

Kaynakça

• (tr) John Horton Conway ve Neil Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , Springer ,1999, 3 e  ed. ( 1 st  ed. 1993) ( okuma çizgi )
• ( fr ) Thomas Hales, "  Kepler varsayımının bir kanıtı  " , Ann. Matematik. , cilt.  162,2005, s.  1065-1185 ( çevrimiçi okuyun )
• Joseph Oesterlé , "  Kürelerin istiflenmesi  ", Bourbaki Semineri , cilt.  32, n o  727, 1989-1990 ( çevrimiçi okuyun )
• Joseph Oesterlé, "  3. boyutta istiflenmiş kürelerin maksimum yoğunluğu  ", Bourbaki Semineri , cilt.  41, n o  863, 1998-1999 ( çevrimiçi okuyun )

İlgili Makaleler

• Kristal yapı
• Teorem çemberleri yığınları  (tr)
• Steiner'ın gözenekliliği
• Maryna Viazovska

Dış bağlantılar

• Kompaktlığın hesaplanması
• Souhir Boujday, “  Kompakt istifleme  ” üzerine, UPMC
• ( Fr ) Herminio López Arroyo, “  Biraz topları uzağa vereyim  ” üzerine, Matifutbol kompakt istifleme Beton örneği -.