Cantor'un merdiveni

Cantor fonksiyonu ya da şeytan merdiven olan bir işlev grafiği $f$ devam artan üzerinde $[0, 1]$ , bu şekilde $f (0) = 0$ ve $m (1) 1 =$ olup, türevlenebilir hemen hemen her yerde , türev olmak neredeyse her yerde sıfır. Bununla birlikte, bu sürekli bir işlevdir , ancak mutlak olarak sürekli değildir .

Bazı temel analiz hatırlatıcıları

$F$ $I$ ⊂ ℝ aralığında türev $f '$ olan sürekli bir fonksiyon olsun . Eğer $f '$ üzerinde sıfırdır $I$ , ardından $f$ olan sabit . Bu, sonlu artış teoreminin acil bir sonucudur .

Cantor'un merdiveni, sadece $f'nin$ neredeyse her yerde yok olduğunu varsayarsak sonucun yanlış olduğunu gösterir .

Ancak, aşağıdaki sonuçlara sahibiz:

Eğer $f$ süreklidir ve türev var olduğu ve yok olursa tamamlayıcı a sayılabilir grubu daha sonra, $f$ sabittir (göre Cousin s' lemma veya sonlu artışlarla eşitsizliği );
Eğer $f$ olduğu Lipschitzian (ya da daha genel olarak: mutlak sürekli ) ve onun türevi var ve hemen hemen her yerde yok olursa, o zaman $ön$ sabiti (cf. “sıfır türevi hemen hemen her yerde ile Lipschitzian fonksiyonu” § cousin'nin lemma ilgili eşyanın).

İnşaat

Cantor K 3 setinin yapımını adım adım takip ediyoruz .

Biz almak $f 0 ( x =) x$ . Fonksiyon $f 1$ , 0 0 olarak eşittir 1 1 sürekli bir fonksiyonun afin parçalı ve $1 / 2$ üzerinde $[1 / 3, 2 / 3]$ .

Biz aynı şekilde devam $f , n$ için $f , n + 1$ değiştirerek $f , n$ , her bir aralıkta, $[ U , V ]$ geçerli olan parçaları ile sürekli bir fonksiyon afin ile sabit değildir, burada aralığın orta üçte $[$ $u$ $,$ $v$ $]$ . ${\ displaystyle {\ frac {f_ {n} (u) + f_ {n} (v)} {2}}}$

Sonra bunu her şey için kontrol ederiz , bu da fonksiyon serilerinin tekdüze yakınsadığını ve dolayısıyla $f$ $n$ dizisinin düzgün bir şekilde yakınsadığını gösterir. Sınır fonksiyonu $f$ sürekli, monotondur ve belirtildiği gibi $f$ $(0) = 0$ ve $f$ $(1) = 1'e$ sahibiz . Dahası, $f$ , Cantor kümesi K 3'ün tümleyicisi üzerinde sıfır türevine sahiptir , çünkü bu tamamlayıcı, $f'nin$ yapım gereği sabit olduğu aralıkların bir birleşimidir (dolayısıyla merdivenin adı!) ${\ displaystyle x, \ vert f_ {n + 1} (x) -f_ {n} (x) \ vert \ leq 2 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle \ toplamı _ {n \ geq 0} (f_ {n + 1} -f_ {n})}$

Bu örnek bize ne öğretiyor?

Doğrudur (bkz. " Analizin ilk temel teoreminin genelleştirilmesi ") eğer $f$ , ℝ'ya bağlı ölçülebilir bir fonksiyonsa, fonksiyon hemen hemen her yerde türevlenebilir ve türevidir $f$ . Ancak, hemen hemen her yerde türevlenebilir fonksiyonun türevinin integraline eşit olması yanlıştır, ikincisi integrallenebilir olsa bile . Cantor'un merdiveninin bize öğrettiği budur. Bu soru üzerinde tatmin edici sonuçlar elde etmek için, mutlak süreklilik kavramını ortaya koymak gerekir (çapraz başvuru " İkinci temel analiz teoremi "). ${\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t}$
Cantor'un merdiveni, türevi hemen hemen her yerde var olan, ancak dağılım anlamında türevle çakışmayan sürekli bir fonksiyon örneğidir . Kesintili fonksiyonlar (örneğin gösterge fonksiyonları) durumunda bu iyi bilinen fenomen, sürekli durumda daha az sezgiseldir.
Cantor'un merdiven dağılımı fonksiyonu bir gerçek rasgele değişkenin ait yaygın hukuk , Cantor yasası , olmadığı yoğunluk ve hatta hangi yabancı Lebesgue ölçüsüne . Bunda da ilginç (karşı) bir örnek bu . Biz, sadece gerçek rasgele değişken gösterebilir X , 0 olan ve dağılım fonksiyonu Cantor merdiven 1 arasında gelişigüzel alınan: bu rastgele ardışık basamak (0, 1 ya da 2) en çekmek için yeterli baz üç genleşme ve X biraz içinde özel yol, yani 0 veya 2 ile sınırlandırılmış eşlenebilir bağımsız çekilişlerde, 1 numara hariç tutulur.

Notlar ve referanslar

Harnack'in gösterdiğine inanılanın aksine bkz . Thomas Hawkins , Lebesgue's Theory of Integration: Its Origins and Development , AMS , 2001, 2 nci baskı. ( 1 st ed. 1970) ( çevrimiçi okuma ) "in Cantor'un Geliştirme Setleri Teorisi ve Uygulaması Entegrasyon Teorisi " , s. 71-79ve s. 60 ve Axel Harnack, " Fourier Serisi Teorisi ," Matematiksel ve Astronomik Bilimler Bülteni , cilt. 6, n o 1,1882, s. 242-260 ( çevrimiçi okuyun ), Teorem III s. 247 .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Dış bağlantı

Mathcurve.com'da Şeytan Merdiveni

Kaynakça

G. Cantor, " Mükemmel Puan Kümelerinin Gücü Üzerine ", Acta Math. , cilt. 4,1884, s. 381-392 ( DOI 10.1007 / BF02418423 )
(de) Ludwig Scheeffer (de) , " Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven " , Acta Math. , cilt. 5,1884, s. 49-82 ( DOI 10.1007 / BF02421552 )