Süreklilik (matematik)

Gelen matematik , süreklilik a, topolojik özelliği a fonksiyonu . Bir ilk yaklaşım olarak, bir fonksiyon $f$ olan , sürekli değişken bir sonsuz varyasyonları, varsa $, x$ , değeri sonsuz varyasyonlardan karşılık $f ( x )$ .

Süreklilik, kökeni geometrik olan bir süreklilik kavramıyla ilişkilidir . Düzlem veya uzay gibi bir geometrik süreklilikte, bir nokta başka bir noktaya keyfi bir hassasiyetle yaklaşmak için sürekli hareket edebilir . Süreklilik kavramı, matematikte titizlikle tanımlanmıştır.

Sürekli fonksiyonların ilk örneği, bir aralıkta tanımlanan ve grafiği kalemi kaldırmadan çizilebilen gerçek fonksiyonlarla ilgilidir . Bu ilk yaklaşım, kavram hakkında bir fikir verir (fonksiyon atlamaz ) ancak onu tanımlamak için yeterli değildir, dahası, örneğin eğriler gibi sürekli fonksiyonların bazı grafikleri bu şekilde çizilemez. Cantor merdiveni gibi fraktal özellikler .

Tarihsel olarak gerçek değişkenin işlevleri için tanımlanan süreklilik kavramı, metrik uzaylar arasındaki veya topolojik uzaylar arasındaki, yerel bir biçimde ve küresel bir biçimde fonksiyonlara genelleştirilir .

Sürekli fonksiyonların çalışma (malı sahip oldukları özellikler için verimli olduğu ortaya çıkıyor yakınsama anlamında olduğu “ $lim ( f ( x )) = f (lim ( x ))$ ,” teoremi ara değerler , teoremi sınırları , bütünleştirilebilirlik …).

Gerçek fonksiyonlar için tanım

Tanımı - Let $olmam$ bir gerçek aralık , üzerinde tanımlı bir işlev $I$ gerçek değerler ve sahip . $f: I \ to \ matebb {R}$ $bir \ ben$

Fonksiyon $f$ sürekli olduğu söylenir $bir$ edin:

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ dörtlü \ var \ eta> 0 \ dörtlü \ forall x \ in I \ dörtlü \ sol (\ sol [| xa | <\ eta \ Sağ Ok | f (x) -f (a) ) | <\ varepsilon \ sağ] \ sağ).}

Böylece $ön$ sürekli olarak $bir$ halinde ve sınır durumunda $f$ içinde $bir$ mevcuttur (bu daha sonra mutlaka $f eşit ( a )$ ) . Benzer şekilde, limit resmi tanımı , eşdeğer bir tanım değiştirilmesi ile elde edilir ile ya da tarafından . ${\ görüntü stili | xa | <\ eta}$ ${\ görüntü stili | xa | \ leq \ eta}$ ${\ görüntü stili | f (x) -f (a) | <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle | f (x) -f (a) | \ leq \ varepsilon}$

Bu, bir ε eşiğini sabitleyerek , $f$ $($ $x$ $)'$ in $f$ $($ $a$ $)$ $'$ dan ε'den daha az bir mesafede olduğu $a$ etrafında bir aralık bulabileceğimiz anlamına gelir .

Süreklilik (sadece sağda geçerliyse $x> a$ ), bunu söylemek $f$ en sağdaki süreklidir $bir$ . Aynı şekilde sol için $bir$ .
Söylemek için $f$ sürekli olan $bir$ o yani süreklidir sağa ve sola doğru $bir$ .
Fonksiyon $f$ (sürekli olan $I$ her noktasında sürekli ise) $a$ ait $I$ .
"Sıçramalar" sergileyen bir işlev süreksizdir. Sıçrama kavramı yandaki şekilde gösterilmiştir, sağda bir limitin ve solda bir limitin varlığına karşılık gelir ve her ikisi de $f ( a ) ile$ aynı değere sahip değildir .

Yorum Yap

Sürekli olmayan bir fonksiyona süreksiz denir .

Önemli olan önceden sabitlenmiş eşik ε fikridir . Bu tanım, XIX. yüzyıl matematikçilerinin sezgisel süreklilik kavramını kesinleştirme çabalarının bir sonucudur . In standart dışı analiz , daha sezgisel bir yaklaşım mümkündür: bunu diyecek $f$ sürekli olan $bir$ eğer $f ( x ) - f ( a )$ ise sonsuz küçük zaman $bir - x$ sonsuz küçüktür. O zaman her şey, sonsuz derecede küçük kesin bir tanımına dayanır ve bu tanım yalnızca standart işlevler olarak adlandırılanlar için geçerlidir.

Topolojik uzaylar (aşağıya bakınız) çerçevesinde sürekliliğin global tanımı da ε'dan kurtulmayı mümkün kılar, ancak bu genel topolojinin formalizmi pahasına .

Örnekler

Her zamanki işlevlerinin çoğu onların üzerinde sürekli olan tanımının etki : polinom fonksiyonlar , rasyonel , üstel , logaritmik , hiperbolik , trigonometrik , kök n inci , güç n inci , mutlak .
Gerçekler üzerindeki tamsayı işlevi süreksizdir: her tam sayıya ulaşıldığında "kalem kaldırılır".
Bir noktada türevlenebilen gerçek bir fonksiyon bu noktada süreklidir. (Tersi yanlıştır: bkz. § “Kaçınılması gereken hatalar” .)
ℝ üzerinde tanımlanmış herhangi bir noktada sürekli olmayan fonksiyonlar vardır : Dirichlet fonksiyonu olarak adlandırılan, herhangi bir rasyonel noktada 1 ve başka bir yerde 0 değerinde olan of'nin gösterge fonksiyonunun durumudur . Sezgisel olarak, bu işlevi izlemek için her aralıkta sonsuz sayıda "kalemi kaldırmanın" gerekli olduğunu ve hepsinden önemlisi sıfırdan farklı uzunlukta hiçbir çizginin çizilemeyeceğini görebiliriz.
Bu “ patolojik ” örnek genellenebilir: herhangi F kümesi σ (bir herhangi birliği söylemek serinin ait kapalı bir önemsiz olmayan kapalı aralık içinde) $I$ ℝ arasında bir harita vardır $I$ süreksizlik noktaları ℝ içinde tam olarak bu kümenin öğeleridir ( aslında bu, F σ'nın bir karakterizasyonudur ).

Özellikleri

Gerçek fonksiyonlar için bir aralıkta süreklilik kavramı

$f ( x ) = m$ formundaki denklemlerin çözümlerinin varlığını kanıtlamak için kullanışlıdır ( ara değer teoremine bakınız );
char limitlerinin hesaplanmasını basitleştirir . $\ lim _ {{x \ to a}} f (x) = f (a)$

Sürekli fonksiyonların bileşimi sürekli bir fonksiyondur. Sürekli bir fonksiyon ve bir yakınsak dizinin bileşiği yakınsak bir dizidir.

Doğrusal kombinasyonla sürekliliğin kararlılık özellikleri (yani tüm $α, β$ gerçel ve $f$ , $g$ sürekli reel fonksiyonlar için, $α f + β g$ fonksiyonu süreklidir) ve iki fonksiyonun yan çarpımı , sürekli fonksiyonlar kümesini aşağıdakiler üzerinden bir cebir yapar . gerçek sayıların alanı .

Kaçınılması gereken hatalar

Bir noktada türevlenebilen bir fonksiyon bu noktada süreklidir ancak tersi yanlıştır. Örneğin, karekök ve mutlak değer fonksiyonları 0'da süreklidir ancak bu noktada türevlenebilir değildir (bkz. " Türevlenebilirlik " makalesi ).
$f : x \mapsto 1 / x'in$ gerçekten sürekli olduğu bir fonksiyon . $f'nin$ 0'da sürekli olmadığını söylemekten oluşan hata , tanım alanında kesinliğin olmamasıyla pekiştirilir: tanım alanının dışında bulunan bir noktadaki sürekliliğin hiçbir anlamı yoktur. Durumunda $f$ sürece bir değer için belirtilmemişse olarak $f (0)$ , biz kabul tanımının alanı ℝ olduğunu varsayalım gerekir *. Dolayısıyla, $f'nin$ 0'da sürekli olduğunu veya sürekli olmadığını söylemek anlamsızdır; sadece süreklilik ile 0'da sürekli bir fonksiyona genişletilemeyeceğini söyleyebiliriz.
Tarihte, bir fonksiyonun sürekliliği "tüm ara değerlerden geçmeden bir değerden diğerine geçememek" (genellikle "ara değerlerin özelliği" için PVI olarak adlandırılan bir özellik) olarak düşünülürdü, ancak bugün biliyoruz ki ikisi arasında bir denklik yoktur: 1 ile 0'a uzatılan $f : x \mapsto sin (1 / x )$ işlevi , ara değerlerin özelliğini karşılar ve yine de sıfırda süreksizdir.

Metrik uzaylarda tanım

Gerçek hattı a, metrik uzay , normal mesafe ile R olmak olan iki sayının kendi farkın mutlak değeri ile birleşen bu. Bu nedenle yukarıdaki tanım doğal olarak genelleştirilmiştir:

Tanım

Tanım - Let $( E , D )$ ve $( E ' d' )$ iki metrik alanlar, $f$ için bir uygulama $E$ içinde $E '$ ve $sahip$ bir noktaya $E$ .

Biz haritası söylemek $f$ noktasında süreklidir $a$ ise:

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ dörtlü \ var \ eta> 0 \ dörtlü \ forall x \ in E \ dörtlü \ sol [d (x, a) <\ eta \ Rightarrow d '(f (x), f) (a)) <\ varepsilon \ sağ].}

Yine, $ön$ böylece sürekli $bir$ ancak ve ancak sınır $f$ içinde $bir$ mevcut (o zorunlu olan $f ( a )$ ).

Örnekler

İki metrik uzay arasındaki herhangi bir düzgün sürekli uygulama - özellikle herhangi bir Lipschitzian uygulaması - süreklidir.
Bir doğrusal haritası itibaren normalize vektör alanı diğerine ise o sınırlandırılan ve ancak eğer sürekli üzerinde birim topu (ve daha sonra Lipschitzian olduğu).

Başlangıç uzayı sonlu boyutta ise bu her zaman böyledir , ancak sınırsız durum sonsuz boyutta meydana gelir: norm olarak seçerek, gerçek polinomların ℝ [ X ] uzayı üzerindeki türevini lineer bir harita olarak ele alalım . bir polinom, katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı . Tüm monomials $X$ $, n$ bunların türetilmiş polinomlar formu vardır Ancak norm 1. olan $NX$ $N$ $-1$ , bu nedenle norm, $n$ ile $n$ rasgele büyük. Dolayısıyla türev ailesi sınırsızdır ve türev sürekli bir harita değildir.

Topolojik uzaylar için iki eşdeğer tanım veriyoruz .

Yerel tanım

Sürekliliğin yerel tanımını (yani bir nokta için) limit kavramına dayandırabiliriz :

Tanım - Let $E$ ve $F$ , iki topolojik alanlardır $f$ için bir uygulama $E$ olarak $F$ ve $sahip$ bir noktaya $E$ .

Fonksiyon $f$ olduğu söylenir noktasında devamlı $a$ ise $f ( a )$ bir sınırı $f$ bu noktada.

Eğer $F$ olduğu ayrılmış (ya da hatta sınırlandırılmış T 1 herhangi bir benzeri) metriklenebilir alanı için, bu yeterli olması için bir sınır $f$ bu noktada.

sıralı karakterizasyon Eğer

E

metriklenebilir (ya da daha genel olarak: bir kalıtımsal olarak sıralı ),

f

sürekli olarak

bir

varsa herhangi bir sekans için ((ve sadece) x n yakınsak)

bir

sekans

f ( x , n )

için yakınsak

f ( a )

; ve ayrıca

F

T 1 olduğunda (veya sadece tek bir ardışık limitle bile ), a'ya yakınsayan herhangi bir dizi

( x n )

için

f ( x n )

dizisinin bir limit kabul etmesi yeterlidir .

Gerçek işlevler için kullanılan eşik kavramı kavramı ile genelleştirilmiş mahalle : mahallelerde setini belirtir $bir$ ve bu $f$ $($ $a$ $)$ . Daha sonra kanıtlıyoruz: ${\ matematiksel {V}} (a)$ ${\ matematiksel {V}} \ sol (f (a) \ sağ)$

Teoremi - fonksiyon $f$ noktasında sürekli $a$ , ancak ve ancak ters görüntüsü herhangi bir mahalle bir $W$ ve $f ( a )$ bir mahalle $x$ yazılır:

\ forall W \ {\ matematik {V}} (f (a)), \ dörtlü f ^ {{- 1}} (W) \ {\ matematiksel {V}} (a).

Bunun için, bu özellik, herhangi bir için belirlenmiş olması yeterli $W$ a bölgelerinden esas arasında $f ( a )$ herhangi biri için, örneğin, açık $B$ içeren $f$ $($ $a$ $)$ .

$f$ fonksiyonu , $E'nin$ her noktasında sürekli ise , $A$ üzerinde sürekli (veya basitçe sürekli) olarak adlandırılır . Bu olduğu söylenir sürekli bir parçası $A$ ve $E$ de, eğer kısıtlama için $A$ (sahip neden topoloji ) sürekli ( bunun için, bu yeterli için $f$ herhangi bir noktada sürekli olarak $A$ ).

Küresel karakterizasyonlar

Yerel tanımdan, uygulamaların (başlangıç uzayının herhangi bir noktasında) sürekli olan üç eşdeğer karakterizasyonunu çıkarabiliriz.

Bunlardan ilki, bir uygulamanın, ancak ve ancak varış boşluğunda açık olan her şeyin karşılıklı görüntüsünün kalkış boşluğunda bir açık olması durumunda sürekli olmasıdır. Aşağıdaki, benzer şekilde kapalı olarak yazılmıştır . Dördüncüsü, yapışma ve doğrudan görüntü kavramlarını ve son ikisi, yapışma veya sınır ve karşılıklı görüntü kavramlarını kullanır .

Sezgisel kavramla bağlantı şu şekildedir: bir fonksiyon "atladığında", başlangıç boşluğuna çok yakın noktaların, varışta çok uzak noktalarda bulunduğu anlamına gelir. Ancak, sürekli bir uygulama için, bu sıçramalar imkansızdır, çünkü bir başlangıç noktasını ve varış noktasındaki görüntüsünü düşünürsek , bu başlangıç noktasının tüm bir mahallesinin varış noktasının yakınına varması gerektiğini biliriz .

Teoremi - Let $E$ ve $F$ , iki topolojik boşluk olabilir ve $f$ için bir uygulama $E$ olarak $F$ . Aşağıdaki özellikler eşdeğerdir:

$f$ , $E'nin$ herhangi bir noktasında süreklidir ;
herhangi bir açık $O$ arasında $F$ , $f -1 ( O )$ açık olan $E$ ;
Herhangi bir kapalı için $G$ ve $F$ , $f -1 ( G )$ a kapalıdır $E$ ;
herhangi bir bölümü için $A$ ve $E$ , $f (A)$ dahildir $f ( A );$
herhangi bir bölümü için $B$ ve $F$ , $f -1 ( B )$ dahil $f -1 (B)$ ;
herhangi bir bölümü için $C$ arasında $F$ , $\partial f -1 ( C )$ dahildir $f -1 (\partial Cı )$ .

Karakterizasyon 2 ve 3, tam tersine , sürekli olduğunu bildiğimiz bir uygulamayı dahil ederek belirli bir kümenin açık (veya kapalı) olduğunu göstermek için sıklıkla kullanılır . Örneğin :
- İçinde R 2 , hiperbol denklemi $xy = 1$ arasında karşılıklı bir görüntü olarak, kapalı olduğu tekil : Sürekli harita "ürün" {1} $R ' 2 \to R ( x , y ) \mapsto xy$ .
- Grafik sürekli harita ve $f : E \to F$ kapalıdır $e \times olarak F$ kısa sürede $F$ olduğu ayrıldı .
- Yoğun bir kısım üzerinde çakışan ayrı bir uzayda değerleri olan iki sürekli harita eşittir. Örnek sürekli fonksiyonların kümesi olduğunu göstermek için bu mümkün kılan R için R sadece sahiptir kesintisiz güç onun o nedenle kardinalitesi olduğunu daha sıkı küçük | R R | = | P ( R ) |.
Karakterizasyon 4 ve 5'te karşılıklı eklemeler genellikle yanlıştır. Örneğin, eğer $ön$ sürekli haritasıdır R de R için $x$ ortakları 1 ise $X \leq 1$ ve $1 / X$ ise $x \geq 1$ , 0 does not ait $f (R)$ ait olduğu süre $f ( R )$ ve yapar değil ait $f -1 (] 0, 1 [)$ ait olduğu, oysa $f -1 (] 0, 1 [)$ .
Bu teoreme göre, sürekli bir haritanın herhangi bir kısıtlama-kısıtlaması süreklidir ( indüklenmiş topolojiler için ).
Bu teorem ayrıca, eğer $E$ , $f'nin$ bu açıklıkların her birine olan kısıtlaması sürekli olacak şekilde bir açıklıklar birliği ise, o zaman $f'nin$ sürekli olduğunu ve aynı şekilde, $E'nin$ sonlu sayıda kapalı olanın birliği olduğu takdirde, bunun da gösterilmesini mümkün kılar . $f'nin$ bu kapalıların her birine kısıtlaması süreklidir. “Belirtilmemiş parçaların” bir araya gelmesi (hatta sonlu) için, bu tür bir sonucumuz yok ( bkz. “ Dirichlet fonksiyonu ”).
Eğer $D$ olan sıralı daha sonra $ön$ üzerinde sürekli olduğu $E$ ise herhangi bir nokta için (ve sadece) $a$ ait $E$ ve herhangi bir dizi $( x n )$ yakınsak $bir$ sekans $f ( x , n )$ için yakınsak $f ( a )$ .

Örnekler

Bir topolojik uzaydan diğerine sabit bir uygulama süreklidir. Gerçekten de, herhangi bir parçanın karşılıklı görüntüsü ya boş kümedir ya da başlangıç kümesinin tamamıdır .
Başlangıç uzayı ayrık topoloji veya kaba topolojinin varış uzayı ile sağlanan herhangi bir uygulama süreklidir.
Kimlik uygulaması , başka topoloji ile donatılmış aynı setine belli topoloji ile donatılmış bir dizi, ancak ve ancak başlangıç sette topoloji ise süreklidir ince üzerine daha 'setinde. Gelişi . Bu durumda, iki topoloji eşit olmadıkça karşılıklı tahmin sürekli değildir.
A , X topolojik uzayının bir parçası olsun ve 1 A onun karakteristik fonksiyonu olsun :
- ve $X$ de ℝ (arasında corestriction, ya da, $X,$ içinde bir çift ayrı topoloji ile donatılmış {0, 1}) noktaları $X$ ki burada 1 bir kesintili noktaları olan sınır bölgesinin $A$ ;
- ve $X$ de Sierpinski alanı , noktaları (çift {0, 1} topoloji {∅, {1}, {0, 1}} sahip) $X$ ki burada 1 bir kesintili sonra tek noktalardır bir non iç için $A$ .

Bir metrik uzayın ( E , d ) ilişkili bir $τ$ topolojisi vardır . Herhangi bir nokta için $a$ ait $E$ , açık topları merkezi ile $a$ ve kesinlikle olumlu yarıçapları mahallelerde bir temel teşkil $bir$ topoloji için. Eğer $τ '$ (Bir metrik alanı ile ilişkili topoloji belirtmektedir D' , D ' ), sonra:

İşletme - bir fonksiyon $f$ (mesafede E , D olarak) ( E ' d' ) 'in bir noktada sürekli bir $E$ (bir fonksiyonu olarak kabul ancak ve ancak bu noktada sürekli ise, E , $τ$ (in) e ' , $τ'$ ).

Gerçekten de, işlev sürekli olarak $bir$ görünüm, ancak ve ancak topolojik noktasından (kullanarak d ' mahallelerde bir temel oluşturan -toplar $f ( a ))$ : $\ forall \ varepsilon> 0 \ dörtlü f ^ {{- 1}} \ sol (B (f (a), \ varepsilon) \ sağ) \ {\ matematiksel {V}} (a).$ Kullanılarak $d$ mahallelerde bir temel oluşturan -toplar $bir$ , bu durum yeniden yazılır: $\ forall \ varepsilon> 0 \ dörtlü \ var \ eta> 0 \ dörtlü B (a, \ eta) \ alt küme f ^ {{- 1}} \ sol (B (f (a), \ varepsilon) \ sağ)$ veya: $\ forall \ varepsilon> 0 \ dörtlü \ var \ eta> 0 \ dörtlü \ forall x \ in B (a, \ eta) \ dörtlü f (x) \ B (f (a), \ varepsilon),$ mesafeler tarafından biçimlendirilmiş süreklilik tanımına tam olarak karşılık gelir.

Tarihte süreklilik kavramı

Süreklilik her zaman önceki şekilde tanımlanmamıştır.

Euler onun içinde analysin infinitorum Introductio tek sonlu veya sonsuz analitik ekspresyonu (tarafından tanımlanan bir fonksiyonu olarak, sürekli işlev tanımlar tüm dizi ) ve aralıklarına bağlı olarak kesintili ya da karışık fonksiyonlara sahip olanlar çeşitli analitik ifadelerin çağırır. Sylvestre Lacroix (1810), tüm değerleri aynı yasadan tanımlanan veya aynı denkleme bağlı olan sürekli bir fonksiyon olarak adlandırır. Bu süreklilik kavramına Euler sürekliliği denir ve mevcut tanımdan daha kısıtlayıcıdır. Örneğin, herhangi bir negatif gerçek için $f ( x ) = x ile$ ve herhangi bir pozitif gerçek için $f ( x ) = x 2 ile tanımlanan$ fonksiyon, mevcut anlamda süreklidir ve Euler anlamında karışıktır (süreksiz).

Bugün kullandığımız tanım, Bernard Bolzano'nun fonksiyonlar teorisinde verdiği tanımdır : “ $f ( x )$ fonksiyonu , $x$ değeri için süreklilik yasasına göre, eğer fark $| f ( x+w ) -f ( x ) |$ belki verilen herhangi bir değerden daha küçük yapılmıştır. »(Prag 1816).

Augustin Louis Cauchy onun içinde Kraliyet Polytechnic School analizi Course , tanımlar süreklilik içinde $X$ için: $f$ sürekli olan $x$ farkı sayısal değeri ise $f ( x + a ) - f ( x )$ bu belirsiz bir süre azalır $bir$ böylece sonsuz küçük kavramlarını kullanarak.

Sürekliliğin Cauchy'den esinlenen bir başka tanımı sıralı karakterizasyondur ( yukarıya bakınız ). Küresel süreklilik sıralı tanımı sadece üzerinde modern tanıma eşdeğerdir sıralı alanı .

Bu resmi bir tanım olmasına rağmen, başında sürekliliği kalıntılarının kullanılması XIX E bir Cauchy aşağıdaki muhakeme tutmak gördüğünde büyük ölçüde sezgisel yüzyılda, ara değerlerin teoremi göstermek için: "fonksiyonu $f$ noktaları arasında sürekli olarak $x 0$ ve $x$ , denklemi sahip eğri $, y = f ( x )$ noktaları arasında sürekli olacaktır $( x 0 , f ( x 0 ))$ ve $( x , f ( x ))$ ve denklem doğrultusunda $y = b$ geçecek $f ( x 0 )$ ve $f ( x )$ koordinatları arasında ancak belirtilen eğri aralığında buluşabilir. "

Daha güçlü bir süreklilik kavramı da vardır: mesafenin $| f ( x ) -f ( x' ) |$ herhangi bir çift $( x , x ' )$ için istediğimiz kadar küçük yapılabilir $,$ öyle ki mesafe $| x - x' |$ yeterince düşüktür. Klasik süreklilik (süreklilik bir Aksine sabit nokta $a$ ), üst sınır düzeltmek için gerek kalmadan doğru muntazam sürekliliğini sağlayan $bir$ . Bu kavram 1872'de Eduard Heine tarafından açıklığa kavuşturuldu .

Notlar ve referanslar

Örneğin bkz. S. Ferrigno, A. Muller-Gueudin, D. Marx, F. Bertrand ve M. Maumy-Bertrand, Mathematics for Engineering Sciences , Dunod ,2013( çevrimiçi okuyun ) , s. 146, tanım 36.2.
(içinde) Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner ve Andrew M. Bruckner (in) , Elementary Real Analysis , cilt. 1, www.classicalrealanalysis.com,2008, 2 nci baskı. ( 1 st ed. , 2001, Prentice-Hall), 365 s. ( ISBN 978-1-4348-4161-2 , çevrimiçi sunum , çevrimiçi okuma ) , s. 261.
bir gösteri için, örneğin bkz bölüm "Süreklilik ve Homeomorfizmler" ders "Genel topoloji" nin Vikiversite üzerinde .
A. Dahan-Dalmedico ve J. Peiffer , A History of Mathematics: Roads and Mazes ,1986[ baskıların detayı ], s. 222 .
Jacques Bouveresse , Jean Itard ve Émile Sallé, Matematik tarihi [ basımların ayrıntıları ], s. 34 .
Michel Guillemot'a, "Bolzano ve ara değerlerin teoremin gösteri", Tarihte matematiksel gösteri , irem Lyon.

Şuna da bakın: